余弦定理課件

1．1.2余弦定理1．1.2余弦定理余弦定理課件1．Rt△ABC中，∠C＝90°，則a2＋b2＝

.2．若α為銳角，則cosα

0；若α為鈍角，則

cosα

0；若α為直角，則cosα

0.c2＞＜＝1．Rt△ABC中，∠C＝90°，則a2＋b2＝(1)語言敘述三角形任何一邊的平方等于

減去

的積的

．(2)公式表達(dá)a2＝

；b2＝

；c2＝

.其他兩邊的平方和這兩邊與它們夾角的余弦兩倍b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC(1)語言敘述其他兩邊的平方和這兩邊與它們夾角的余弦兩倍b2(3)推論cosA＝

；cosB＝

；cosC＝

.(3)推論2．余弦定理及其推論的應(yīng)用應(yīng)用余弦定理及其推論可解決兩類解三角形的問題，一類是已知

解三角形，另一類是已知

解三角形．兩邊及其夾角三邊兩邊及其夾角三邊余弦定理課件1．已知三角形任意兩邊與一角，借助于正、余弦定理是否能求出其他元素？【提示】

能．已知三角形兩邊與一角有如圖所示的兩種情況：1．已知三角形任意兩邊與一角，借助于正、余弦定理是否能求出其圖①中已知角A和邊a，b，可由正弦定理先求角B和角C，繼而可求邊c.圖②中已知角A和邊b、c，可先由余弦定理求邊a，繼而可由正弦定理求角B和角C.余弦定理課件【思路點撥】

既可以先用正弦定理求出角C，再求其余的邊和角，也可以先由余弦定理列出邊長a的方程．解出a后再用正弦定理求角A和角C【思路點撥】既可以先用正弦定理求出角C，再求其余的邊和角，余弦定理課件余弦定理課件通過比較兩種解法，可以看出．方法一利用余弦定理列出關(guān)于a的等量關(guān)系建立方程，運用解方程的方法求出a邊的長，這樣可免去判斷取舍的麻煩．方法二直接運用正弦定理，先求角再求邊，運算較簡，但要判斷解的情況進(jìn)行取舍．兩種方法各有優(yōu)劣．通過比較兩種解法，可以看出．方法一利用余弦定理列出關(guān)于a的等余弦定理課件余弦定理課件

已知三邊(或三邊關(guān)系)解三角形在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5,求最大角和sinC.【思路點撥】

先確定最大角，再用余弦定理求出其余弦值從而求出最大角，最后用正弦定理求sinC.

余弦定理課件余弦定理課件余弦定理課件已知三角形三邊求角可先用余弦定理，再用正弦定理．利用余弦定理求角時，角是唯一確定的，用正弦定理求角時，則需根據(jù)三角形邊角關(guān)系確定角的取值，要防止產(chǎn)生增解或漏解．已知三角形三邊求角可先用余弦定理，再用正弦定理．利用余弦定理2．在△ABC中，已知(sinB＋sinC)：(sinC＋sinA)：(sinA＋sinB)＝4∶5∶6，求△ABC的最大角．2．在△ABC中，已知(sinB＋sinC)：(sinC＋s余弦定理課件

判斷三角形的形狀在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，確定△ABC的形狀．【思路點撥】

既可以將條件統(tǒng)一為邊的條件，利用邊的關(guān)系進(jìn)行判斷，也可以將條件轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，通過角來判斷． 判斷三角形的形狀余弦定理課件余弦定理課件余弦定理課件余弦定理課件判斷三角形的形狀，通常有兩個途徑：(1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；(2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應(yīng)用∠A＋∠B＋∠C＝π這個結(jié)論．在兩種方法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項提取公因式，以免漏解．判斷三角形的形狀，通常有兩個途徑：3．在△ABC中，bcosA＝acosB，試判斷△ABC的形狀．【解析】方法一：(利用余弦定理的推論將角轉(zhuǎn)化為邊)∵bcosA＝acosB，∴b·＝a·，∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2，∴a2＝b2，a＝b，∴△ABC為等腰三角形．3．在△ABC中，bcosA＝acosB，試判斷△ABC方法二：(利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角)∵bcosA＝acosB，又b＝2RsinB，a＝2RsinA，∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，∴sin(A－B)＝0.又∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π，∴A－B＝0，即A＝B，∴△ABC為等腰三角形．余弦定理課件

正、余弦定理的綜合應(yīng)用如圖，在四邊形ABCD中，BC＝a，DC＝2a，四個內(nèi)角A、B、C、D的度數(shù)之比為3∶7∶4∶10，求AB的長．【思路點撥】

先根據(jù)內(nèi)角和為360°求出各內(nèi)角的大小，在△BCD中，由余弦定理求BD，再在△ABD中，用正弦定理求AB. 正、余弦定理的綜合應(yīng)用余弦定理課件余弦定理課件解多邊形的問題，要通過作輔助線轉(zhuǎn)化為三角形中的問題，并根據(jù)給出條件選擇余弦定理或正弦定理求解．本題中求∠ADB的度數(shù)是關(guān)鍵，要善于挖掘隱含條件BC2＋BD2＝CD2.也可通過余弦定理求出∠BDC的度數(shù)．解多邊形的問題，要通過作輔助線轉(zhuǎn)化為三角形中的問題，并根據(jù)給4．如圖所示，已知在四邊形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的長．4．如圖所示，已知在四邊形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10余弦定理課件余弦定理課件1．余弦定理證明的其他方法(1)用坐標(biāo)法證明余弦定理如圖：以A為原點，邊AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，1．余弦定理證明的其他方法則A(0,0)、B(c,0)、C(bcosA，bsinA)，由兩點間距離公式得BC2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A，即a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可證：b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.余弦定理課件余弦定理課件余弦定理課件(3)余弦定理是勾股定理的推廣，而勾股定理是余弦定理的特例，兩者反映了特殊與一般的關(guān)系，從特殊到一般的學(xué)習(xí)過程，是認(rèn)識事物的最基本的規(guī)律．(4)由余弦定理以及余弦函數(shù)的公式知：①在△ABC中，若a2＜b2＋c2，則0°＜A＜90°；反之，若0°＜A＜90°，則a2＜b2＋c2.②在△ABC中，若a2＝b2＋c2，則A＝90°；反之，若A＝90°，則a2＝b2＋c2.③在△ABC中，若a2＞b2＋c2，則90°＜A＜180°；反之，若90°＜A＜180°，則a2＞b2＋c2.(3)余弦定理是勾股定理的推廣，而勾股定理是余弦定理的特例，3．解三角形問題的類型歸納解三角形的問題可以分為以下四類：(1)已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，解三角形．此種情況的基本解法是先由正弦定理求出另一條邊所對的角，用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個角，再用正弦定理求出第三邊，注意判斷解的個數(shù)．余弦定理課件(2)已知三角形的兩角和任一邊，解三角形．此種情況的基本解法是若所給邊是已知角的對邊時，可由正弦定理求另一邊，再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角，再由正弦定理求第三邊.若所給邊不是已知角的對邊時，先由三角形內(nèi)角和定理求第三個角，再由正弦定理求另外兩邊．(3)已知兩邊和它們的夾角，解三角形．此種情況的基本解法是先用余弦定理求第三邊，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形內(nèi)角和定理求第三個角．(2)已知三角形的兩角和任一邊，解三角形．(4)已知三角形的三邊，解三角形．此種情況的基本解法是先用余弦定理求出一個角，再用正弦定理或余弦定理求出另一個角，最后用三角形內(nèi)角和定理，求出第三個角．要解三角形，必須已知三角形的一邊的長．若已知條件中一條邊的長也不給出，三角形可以是任意的，因此無法求解．余弦定理課件余弦定理課件【錯因】

運用余弦定理求邊長時，易產(chǎn)生增解，因此要結(jié)合題目中隱含條件進(jìn)行判斷．余弦定理課件余弦定理課件2．已知鈍角三角形ABC的三邊分別為a＝m，b＝m＋2，c＝m＋4，求m的取值范圍．2．已知鈍角三角形ABC的三邊分別為a＝m，b＝m＋2，c＝【錯因】

忽略了三角形成立的條件m＋(m＋2)＞m＋4，即m＞2.【錯因】忽略了三角形成立的條件m＋(m＋2)＞m＋4，即m余弦定理課件1．在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，則角C大小為(

)A．60°

B．45°或135°C．120° D．30°【答案】

A余弦定理課件【答案】

C

【答案】C3．已知△ABC的三邊AB＝2，BC＝3，AC＝4，則此三角形是____．【答案】

鈍角三角形余弦定理課件4．在△ABC中，若s