2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版浙江專版必修2講學(xué)案1空間點直線平面之間的位置關(guān)系

DIERZHANG/ ....：：!!：/巖直氟旱磁鮒便置飜1：1空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.1平面課前口主學(xué)習(xí).基植才愷權(quán)高預(yù)習(xí)課本P40?43,思考并完成以下問題平面的表示方法有哪些?2.公理1、公理2、公理3的內(nèi)容是什么?3.公理1、公理2、公理3各自的作用是什么?4?點、線、面之間的位置關(guān)系用符號怎樣表示?［新知初探］平面的概念幾何里所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的?幾何里的平面是無限延展的.平面的畫法水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，它的銳角通常畫成 45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍.如圖①.如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫出

來.如圖②.平面的表示法圖①的平面可表示為平面 a平面ABCD、平面AC或平面BD.［點睛］(1)平面和點、直線一樣，是只描述而不加定義的原始概念，不能進行度量;(2)平面無厚薄、無大小，是無限延展的.4.平面的基本性質(zhì)公理內(nèi)容S形公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)A€l,B€1,且A€a,B€a?l?a用來證明直線在平面內(nèi)公理2過不在一條直線上A,B,C三點不共線 ？存在唯一的a使A,B,C€a用來確定一個平面的三點，有且只有一個平面g/公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P€a,P€S ?aClS=l,且P€l用來證明空間的點共線和線共點［點睛］對公理2必須強調(diào)是不共線的三點.［嘗試應(yīng)用］TOC\o"1-5"\h\z1.判斷下列命題是否正確.(正確的打錯誤的打“X” )空間不同三點確定一個平面 ( )空間兩兩相交的三條直線確定一個平面 ( )和同一直線都相交的三條平行線在同一平面內(nèi) ( )答案：⑴X(2)X(3)V2.有以下命題：8個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚；有一個平面的長是50m,寬是20m;⑶平面是無厚度、可以無限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念.

TOC\o"1-5"\h\z其中正確命題的個數(shù)為( )A.0解析：選B平面是無厚度的，故(1)錯；平面是無限延展的，不可度量，故 (2)錯；平面是無厚度、無限延展的，故(3)正確.正確命題的個數(shù)為 1.3?根據(jù)右圖，填入相應(yīng)的符號： A 平面ABC,A 平面BCD,BD 平面ABC，平面ABCn平面ACD= .課堂講竦設(shè)計，舉一能課堂講竦設(shè)計，舉一能通類題文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)化［典例］根據(jù)圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關(guān)系.［典例］根據(jù)圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關(guān)系.點P與直線AB;點C與直線AB;⑶點M與平面AC;⑷點A1與平面AC;(5)直線AB與直線BC;⑹直線AB與平面AC;(7)平面A1B與平面AC.［解］⑴點P€直線AB.⑵點C?直線AB.⑶點M€平面AC.⑷點A1?平面AC.(5)直線ABn直線BC=點B.⑹直線AB?平面AC.(7)平面A1Bn平面AC=直線AB.用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示.根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別.［活學(xué)活用］1.若點M在直線a上，a在平面a內(nèi)，則M,a,a間的關(guān)系可記為( )A.M€a,a€a B.M€a,a?aC.M?a,a?a D.M?a,a€a解析：選B根據(jù)點與線、線與面之間位置關(guān)系的符號表示可知 B正確.2.用符號語言表示下列語句，并畫出圖形：三個平面a,3,丫相交于一點P,且平面a與平面B相交于PA，平面a與平面丫相交于PB，平面3與平面丫相交于PC；平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC.解：⑴符號語言表示： aCl3門Y=P,aCl3=PA,aCly=PB,3門Y=PC,圖形表示：如圖(1).(2)符號語言表示：平面 ABDC平面BDC=BD，平面ABCC平面ADC=AC,圖形表示：如圖⑵.平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用題點一：點線共面問題1.如圖，已知直線 a//b//c,lCa=A,lCb=B,lCc=C.求證：a,b,c,l共面.證明：???a//b,Aa,b確定一個平面a.?/lCa=A,lCb=B,二A€a,B€a.又TA€l,B€l,???I?a???b//c,?b,c確定一個平面3同理可證l?3于是b?a,l?a,b?3,l?3,即aC3=b,aC3=l.又???b與I不重合,

???a與B重合，???a,b,c,l共面.點線共面問題是指證明一些點或直線在同一平面內(nèi)的問題，主要依據(jù)是公理 1、公理解決該類問題通常有三種方法： （1）納入平面法，先由部分元素確定一個平面，再證其他元素也在該平面內(nèi)；（2）輔助平面法（平面重合法），先由有關(guān)的點、線確定平面 a,再由其余元素確定平面B最后證明平面a,B重合；（3）反證法.通常情況下采用第一種方法.題點二：點共線問題2.如圖，在正方體ABCD-AiBiCiDi中，設(shè)線段AiC與平面ABCiDi交于點Q,求證：B,Q,Di三點共線.證明：如圖，連接AiB,CDi，顯然B€平面AiBCDi,Di€平面AiBCDi.BDi?平面AiBCDi.同理BDi?平面ABCiDi.?平面ABCiDiH平面AiBCDi=BDi.TAiCH平面ABCiDi=Q,Q€平面ABCiDi.又???AiC?平面AiBCDi,?Q€平面AiBCDi.Q在平面AiBCDi與ABCiDi的交線上，即Q€BDi,B,Q,Di三點共線.3.解決此類問3.解決此類問li,〔2,〔3,且li,〔2不平行?求證：1i,〔2,題常用以下兩種方法：（i）首先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，根點共線問題是證明三個或三個以上的點在同一條直線上，主要依據(jù)是公理據(jù)公理3知，這些點都在這兩個平面的交線上； （2）選擇其中兩點，確定一條直線，然后證明其他點也在這條直線上.題點三：三線共點問題3.已知：平面a,B丫兩兩相交于三條直線13相交于一點.證明：如圖，aHAli, 尸12,aH尸b.???li?B12?B且li,I2不平行，li與12必相交.設(shè)liH12=P,貝UP€li?a,P€12?yP€aH=13,li,12,13相交于一點P.證明三線共點問題的基本方法是，先確定待證的三線中的兩條相交于一點，再證明第三條直線也過該點.常結(jié)合公理 3,證出該點在不重合的兩個平面內(nèi)，故該點在它們的交線 （第三條直線）上，從而證明三線共點.課右層級訓(xùn)練■步步提升能力課右層級訓(xùn)練■步步提升能力層級一學(xué)業(yè)水平達標(biāo)1.下列說法中正確的是（ ）A.三點確定一個平面四邊形一定是平面圖形C.梯形一定是平面圖形D.兩個不同平面a和B有不在同一條直線上的三個公共點解析：選C不共線的三點確定一個平面，故 A不正確；四邊形有時指空間四邊形，故B不正確；梯形的上底和下底平行，可以確定一個平面，故 C正確；兩個平面如果相交，-定有一條交線，所有這兩個平面的公共點都在這條交線上，故 D不正確.故選C..給出以下四個命題：不共面的四點中，其中任意三點不共線；若點A,B,C,D共面，點A,B,C,E共面，則點A,B,C,D,E共面；若直線a,b共面，直線a,c共面，則直線b,c共面；依次首尾相接的四條線段必共面.TOC\o"1-5"\h\z其中正確命題的個數(shù)是（ ）A.0 B.12 D.3解析：選B①假設(shè)其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面，這與四點不共面矛盾，故其中任意三點不共線，所以①正確；②如圖，兩個相交平面有三個公共點 A,B,C,但A,B,C,D,E不共面；③顯然不正確；④不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上，如空間四邊形..在空間四邊形ABCD中，在AB,BC,CD,DA上分別取E,F,G,H四點，如果GH,EF交于一點P,則（ ）P一定在直線BD上P一定在直線AC上C.P在直線AC或BD上D.P既不在直線BD上，也不在AC上解析：選B由題意知GH?平面ADC.因為GH,EF交于一點P,所以P€平面ADC.同理，P€平面ABC.因為平面ABC門平面ADC=AC,由公理3同理，P€平面ABC.因為平面ABC門平面ADC=AC,由公理3可知點P一定在直線AC上.4.用一個平面截正方體所得的截面圖形不可能是 ( )A.六邊形B.五邊形C.菱形D?直角三角形解析：選D可用排除法，正方體的截面圖形可能是六邊形、五邊形、菱形，故選D.5.下列各圖均是正六棱柱， P,Q,R,S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的圖形PS//QR，即在此三個圖形中6.用符號表示"點A在直線I上，I在平面a外”為答案：A€l,l?a7.如圖，看圖填空:(1)平面(1)平面ABiH平面AiCi=(2)平面AiCiCA門平面AC=答案：AiB答案：AiBiAC8.已知空間四點中無任何三點共線，那么這四點可以確定平面的個數(shù)是解析：其中三個點可確定唯一的平面，當(dāng)?shù)谒膫€點在此平面內(nèi)時，可確定i個平面，當(dāng)?shù)谒膫€點不在此平面內(nèi)時，則可確定 4個平面.答案：i或49.如圖,在正方體ABCD-AiBiCiDi答案：i或49.如圖,在正方體ABCD-AiBiCiDi中，判斷下列命題是否正確,并說明理由.(i)由點A,O,(2)由點A,Ci,C可以確定一個平面；Bi確定的平面為平面ADCiBi.解：⑴不正確.因為點A,O,C在同一條直線上，故不能確定一個平面.A,Bi,Ci不共線，所以可確定一個平面.又因為AD//BiCi，所以點(2)正確.因為點D€平面ABiCi.所以由點A,Ci,Bi確定的平面為平面ADCiBi.iO.按照給出的要求，完成圖中兩個相交平面的作圖，圖中所給線段AB分別是兩個平面的交線.解：以解：以AB為其中一邊，分別畫出表示平面的平行四邊形?如圖.則（）故則（）故l?a.B顯然正確；CD不正），因此經(jīng)過正方⑷⑸⑹層級二應(yīng)試能力達標(biāo)1.如果直線a?平面a,直線b?平面a,M€a,N€b,M€l,N€l,A.l?a B.l?aC.ma=M D.lAa=N解析：選A?/M€a,a?a,AM€a,同理，N€a，又M€I,N€l,2.下列命題正確的是（ ）A.一條直線和一點確定一個平面B.兩條相交直線確定一個平面C.四點確定一個平面D?三條平行直線確定一個平面解析：選B根據(jù)一條直線和直線外的一點確定一個平面，知A不正確;中四點不一定共面，故C不正確；三條平行直線可以確定一個平面或三個平面，確.故選B.下列命題中，正確的是（ ）A.經(jīng)過正方體任意兩條面對角線，有且只有一個平面B.經(jīng)過正方體任意兩條體對角線，有且只有一個平面C.經(jīng)過正方體任意兩條棱，有且只有一個平面D.經(jīng)過正方體任意一條體對角線與任意一條面對角線，有且只有一個平面解析：選B因為正方體的四條體對角線相交于同一點 （正方體的中心

4.在正方體ABCD-AiBiCiDi中，M,N分另U是棱DDi和BBi上的點，MD=&DDi,NB3iTOC\o"1-5"\h\z=3BBi，那么正方體的過點M,N,Ci的截面圖形是（ ）B?四邊形AB?四邊形C.五邊形DC.五邊形解析：選C在正方體ABCD-AiBiCiDi中，M,N分別是棱DDii和BBi上的點，MD=3DDi,NB=§BBi.如圖，延長CiM交CD于點P,延長CiN交CB于點Q,連接PQ交AD于點E,AB于點F，連接NF,ME，則正方體的過點M,N,Ci的截面圖形是五邊形?故選 C.5.已知a,B是不同的平面，I,m,n是不同的直線，P為空間中一點.若aA3=l,m?a,n?3,mAn=P,則點P與直線I的位置關(guān)系用符號表示為 解析：因為m?a,n?3,mAn=P,所以P€a且P€3又aA3=I,所以點P在直線I上，所以P€I.答案：P€I6.在長方體ABCD-AiBiCiDi的所有棱中，既與AB共面，又與CCi共面的棱有 條.解析：作圖并觀察可知既與 AB共面，又與CCi共面的棱有CD,BC,BBi,AAi,CiDi,共5條.答案：57.如圖所示，ABAa=P,CDAa=P,A,D與B,C分別在平面a的兩側(cè)，ACAa=Q,BDAa=R.求證：P,Q,R三點共線.證明：?/ABAa=P,CDAa=P,???ABACD=P.???AB,CD可確定一個平面，設(shè)為3?/A€AB,C€CD,B€AB,D€CD,-A€3,C€3,B€3,D€3AC?3BD?3,平面a,3相交.TABAa=P,ACAa=Q,BDAa=R,P,Q,R三點是平面a與平面3的公共點.P,Q,R都在a與3的交線上，故P,Q,R三點共線.8.如圖，在直四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，AD>BC,P,Q,M,N分別為AAi,BBi,CCi,DDi上的點，設(shè)PQ與NM的交點為S,AB與DC的交點為R,AiBi與DiCi的交點為G.求證：R,S,G三點共線.證明：因為P,Q,M,N分別為AAi,BBi,CCi,DDi上的點，PQHNM=S,所以S€MN,MN?平面CCiDiD,S€PQ,PQ?平面AA1B1B,所以S€平面CCiDiD，且S€平面AAiBiB,所以S在平面AAiBiB與平面CCiDiD的交線上.同理可證：R,G也在平面AAiBiB與平面CCiDiD的交線上，所以R,S,G三點共線.2.i?2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系課前口主學(xué)刖.竝穗才能樓亦課前口主學(xué)刖.竝穗才能樓亦預(yù)習(xí)課本P44?47,思考并完成以下問題i?空間兩直線有哪幾種位置關(guān)系？?什么是異面直線??什么是異面直線所成的角?.平行公理的內(nèi)容是什么?.等角定理的內(nèi)容是什么?［新知初探］異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線.異面直線的畫法:空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系特點相交同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點平行同一平面內(nèi)，沒有公共點異面直線不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點［點睛］(1)異面直線的定義表明異面直線不具備確定平面的條件?異面直線既不相交，也不平行.(2)不能把異面直線誤認為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線，如圖中，雖然有即a,b分別在兩個不同的平面內(nèi)，但是因為 anb=0,所以a與b不是異面直線.3?平行公理(公理4)(1)文字表述：平行于同一條直線的兩條直線互相平行?這一性質(zhì)叫做空間平行線的傳遞性.(2)符號表述：a//bb//c}?a//c等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補. 異面直線所成的角定義：已知兩條異面直線 a,b,經(jīng)過空間任一點0作直線a'//a,b'//b,我們把a'與b'所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).異面直線所成的角 B的取值范圍：0°< 90°.當(dāng)0=90°時,a與b互相垂直，記作a丄b.［點睛］⑴異面直線所成角的范圍是 0°V0W90°，所以垂直有兩種情況：異面垂直和相交垂直.(2)公理4也稱為平行公理，表明空間的平行具有傳遞性，它在直線、平面的平行關(guān)系中得到了廣泛的應(yīng)用.［小試身手］TOC\o"1-5"\h\z1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“/',錯誤的打“X” )兩條直線無公共點，則這兩條直線平行 ( )兩直線若不是異面直線，則必相交或平行 ( )過平面外一點與平面內(nèi)一點的連線，與平面內(nèi)的任意一條直線均構(gòu)成異面直線 ( )和兩條異面直線都相交的兩直線必是異面直線 ( )答案：⑴X(2)V(3)X⑷X2.如果兩條直線a和b沒有公共點，那么a與b的位置關(guān)系是( )A.共面 B.平行

C?異面 D?平行或異面解析：選D空間中兩直線的位置關(guān)系有：①相交；②平行；③異面?兩條直線平行和兩條直線異面都滿足兩條直線沒有公共點，故 a與b的位置關(guān)系是平行或異面.3.已知AB//PQ,BC//QR，若/ABC=30°，則/PQR等于( )A.30°B.30°或150°C.150°D.以上結(jié)論都不對解析：選B由等角定理可知/PQR與/ABC相等或互補，故/PQR=30°或150題型一兩直線位置關(guān)系的判定［典例］如圖，在長方體ABCD-A題型一兩直線位置關(guān)系的判定［典例］如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是 直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是 ⑶直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是 (4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是 .［解析］ ⑴在長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1D1綊BC,「.四邊形A1BCD1為平行四邊形,二A1B//D1C.直線A1B與直線B1C不同在任何一個平面內(nèi).⑶直線D1D與直線D1C相交于點D1.(4)直線AB與直線B1C不同在任何一個平面內(nèi).［答案］⑴平行(2)異面(3)相交(4)異面(i)判定兩條直線平行或相交的方法判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條直線平行也可以用公理 4判斷.(2)(2)判定兩條直線是異面直線的方法①定義法：②重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線.用符號語言可表示為 A?a,B€a,l?a,B?l?AB與I是異面直線(如圖).［活學(xué)活用］1.在空間四邊形ABCD中，E,F分別為對角線AC,BD的中點，貝UBE與CF()A?平行 B?異面C.相交 D.以上均有可能解析：選B假設(shè)BE與CF是共面直線，設(shè)此平面為a,則E,F,B,C€a,所以BF,CE?a,而A€CE,D€BF,所以A,D€a,即有A,B,C,D€a,與ABCD為空間四邊形矛盾，所以BE與CF是異面直線,故選B.2.若a,b為異面直線,直線c//a,則c與b的位置關(guān)系是( )B?異面D.異面或相交由空間直線的位置關(guān)系，知 B?異面D.異面或相交由空間直線的位置關(guān)系，知 c與b可能異面或相交.解析：選D平行公理與等角定理的應(yīng)用 ［典例］如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M,皿！分別是棱AD和A1D1的中點.求證：四邊形BB1M1M為平行四邊形；求證：/BMC=ZB1M1C1.［證明］(1)在正方形ADD1A1中，M,M1分別為AD,A1D1的中點，A1M1綊AM,???四邊形AMM1A1是平行四邊形,?-A1A綊M1M.又TA1A綊B1B,???M1M綊B1B,?四邊形BB1M1M為平行四邊形.⑵由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,B1M1/BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，--C*M1//CM.由平面幾何知識可知，/BMC和/B1M1C1都是銳角.BMC=ZB1M1C1.(1)空間兩條直線平行的證明：①定義法：即證明兩條直線在同一個平面內(nèi)沒有公共點;②利用公理4找到一條直線,使所證的直線都與這條直線平行.(2)“等角”定理的結(jié)論是相等或互補，在實際應(yīng)用時，一般是借助于圖形判斷是相等,

還是互補，這是兩種情況都有可能.［活學(xué)活用］如圖，已知在棱長為a的正方體ABCD-AiBiCiDi中，M,N分別是棱CD,AD的中占八、、?求證：⑴四邊形MNAiCi是梯形；(2)/DNM=ZD1A1C1.證明：⑴如圖，連接AC,在厶acd中，???M,N分別是cd,ad的中點，???MN是厶ACD的中位線，1MN//AC,MN=^AC.由正方體的性質(zhì)得：AC//A1C1,Ac=A1C1.1MN//A1C1,且MN=2AiCi,即MN豐AiCi,二四邊形MNAiCi是梯形.(2)由(i)可知MN//AiCi.又???ND//AiDi,：/DNM與/DiAiCi相等或互補.而/DNM與/DiAiCi均為銳角，DNM=ZDiAiCi.卜「車掃■ 異面直線所成角［典例］在正方體ABCD-AiBiCiDi中，E,F分別是AiBi,BiCi的中點，求異面直線DBi與EF所成角的大小.［解］法一：如圖i所示，連接AiCi,BiDi，并設(shè)它們相交于點0,取DDi的中點G,連接OG,AiG,CiG,貝VOG/BiD,EF//AiCi,?/GOAi為異面直線DBi與EF所成的角(或其補角).???GAi=GCi,0為AiCi的中點，--GO_LAiCi.?異面直線DBi與EF所成的角為90°.圖1法二：如圖2所示，連接AiD，取AiD的中點H，連接HE,1則HE綊2DBi，于是/HEF為異面直線DBi與EF所成的角（或其補角）.連接HF，設(shè)AAi=1,則EF=-22,HE=~23,取AiDi的中點I，連接HI,IF,則HI丄IF,???HF2=HI2+IF2=5,4???HF2=EF2+HE2,：/HEF=90°???異面直線DBi與EF所成的角為90法三：如圖3，連接AiCi，分別取AAi,CCi的中點M,N，連接MN.?/E,F分別是AiBi,BiCi的中點，二EF//AiCi，又MN//AiCi,：MN//EF.連接DM,BiN,MBi,DN，則BiN綊DM,?四邊形DMBiN為平行四邊形，?MN與DBi必相交，設(shè)交點為P,則/DPM為異面直線DBi與EF所成的角（或其補角）.設(shè)AAi=k(k>0)，貝VMP="2^,DM二子心DP二于人?DM2=DP2+MP2,?/DPM=90°???異面直線DBi與EF所成的角為90圖3 圖■!法四：如圖4，在原正方體的右側(cè)補上一個全等的正方體，連接 BiQ，易得BiQ//EF,???/DBiQ就是異面直線DBi與EF所成的角(或其補角).設(shè)AA1=k(k>0),則BiD=3k,DQ=5k,BiQ=2k,?BiD又AD=BC，?EG=FG=2AD.EG與GF所成的銳角(或直角又AD=BC，?EG=FG=2AD.EG與GF所成的銳角(或直角)即為AD與BC所成的角.i vS在厶EFG中，TEG=FG=?AD，又EF="2"AD，EG2+FG2=EF2，即卩EG丄FG.?/EGF=90°.故AD與BC所成角為90???異面直線DBi與EF所成的角為90°(i)作：根據(jù)所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角；⑵證：證明作出的角就是要求的角；計算：求角的值，常利用解三角形得出.可用一作二證三計算”來概括?同時注意異面直線所成角范圍是 0°V90.［活學(xué)活用］如圖所示，點A是厶BCD所在平面外一點，AD=BC,E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，當(dāng)EF 時，求異面直線AD和BC所成的角.解：如圖所示，設(shè)G為AC的中點，連接EG，F(xiàn)G.?/E，F(xiàn)，G分別為AB，CD，AC的中點.1?EG//BC，且EG=BC-，iFG//AD，且FG=^AD.課后層級訓(xùn)練.歩歩提升陡力層級一學(xué)業(yè)水平達標(biāo)1.若空間三條直線 a,b,c滿足a丄b,b//c,則直線a與c（）A.一定平行 B.一定相交C.一定是異面直線 D.一定垂直解析：選D因為a丄b,b/c,則a丄c,故選D.2.一條直線與兩條平行線中的一條成為異面直線，則它與另一條 （ ）A.相交 B.異面D.平行CD.平行解析：選CBiCi是異面直線,

與AiDi相交，與3.在正方體如圖所示的長方體ABCD-AiBiCiDi中，直線AAi與直線與BiCi平行的直線有A解析：選CBiCi是異面直線,

與AiDi相交，與3.在正方體G,ABCD-AiBiCiDi中，E,F分別是平面AAiDiD、平面CCiDiDG,H分別是線段AB,BC的中點，則直線EF與直線GH的位置關(guān)系是（ ）B.異面D.垂直B.異面D.垂直C.平行解析：選C如圖，連接ADi,CDi,AC,則E,F分別為ADi,CDi的中點.由三角形的中位線定理，知 EF//AC,GH//AC,所以EF//GH，故選C.已知直線a,b,c,下列三個命題：①若a與b異面，b與c異面，則a與c異面；若a/b,a和c相交，則b和c也相交；若a丄b,a丄c,貝Ub/c.TOC\o"1-5"\h\z其中，正確命題的個數(shù)是（ ）A.0 B.iC.2 D.3n：0解析：選A①不正確如圖；②不正確，有可能相交也有可能異面；③不正確.可能平行，可能相交也可能異面.異面直線a,b,有a?a,b?B且aA3=c,則直線c與a,b的關(guān)系c與a,b都相交c與a,b都不相交c至多與a,b中的一條相交c至少與a,b中的一條相交解析：選D若c與a,b都不相交，tc與a在a內(nèi)，二a/c.

又c與b都在B內(nèi)，???b//c.由公理4,可知a//b,與已知條件矛盾.如圖，只有以下三種情況.6.如圖，正方體ABCD-AiBiCiDi中，AC與BCi所成角的大小是解析：連接ADi，則AD,BCi.aZCADi（或其補角）就是AC與BCi所成的角，連接CDi，在正方體ABCD-AiBiCiDi中，AC=ADi=CDi,???/CADi=60°,即AC與BCi所成的角為60°.答案：607.如圖，點P,Q,R,S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線 PQ與RS是異面直線的一個圖是 （填序號）.答案：③8.如圖，在正方體ABCD-AiBiCiDi中，M,N分別是棱CD,CCi的中點，則異面直線AiM與DN所成的角的大小是 .解析：如圖，過點M作ME//DN交CCi于點E，連接AiE，則/AiME為異面直線AiM與DN所成的角（或其補角）.設(shè)正方體的棱長為a,貝VAiM=3a,ME="Ta,AiE^T^a,2 4 4所以AiM2+ME2=AiE2，所以/AiME=90°，即異面直線AiM與DN所成的角為90答案：90°9.如圖所示,占八、、?E,F分別是長方體AiBiCiDi-ABCD的棱AiA,CiC的中求證：四邊形BiEDF是平行四邊形.證明：設(shè)Q是DDi的中點，連接EQ,QCi.?/E是AAi的中點，eq綊a1d1.又在矩形AiBiCiDi中，AiDi綊BiCi,???EQ綊BiCi（平行公理）.???四邊形EQCiBi為平行四邊形????BiE綊CiQ.又?/Q,F是DDi,CiC兩邊的中點，?QD綊CiF.?四邊形QDFCi為平行四邊形.?-CiQ綊DF.???BiE綊DF.?四邊形BiEDF為平行四邊形.iO.如圖所示，空間四邊形ABCD中，AB=CD,AB丄CD,E,分別為BC,AD的中點，求EF和AB所成的角.解：如圖所示，取BD的中點G,連接EG,FG.?/e,f分別為bc,ad的中點，ab=cd,i i?eg//cd,gf//ab,且eg=2CD,gf=2AB.???/GFE就是EF與AB所成的角，EG=GF.?/AB丄CD,「.EG丄GF.???/EGF=90°???△efg為等腰直角三角形.???/GFE=45°，即EF與AB所成的角為45層級二應(yīng)試能力達標(biāo)i.在正方體ABCD-AiBiCiDi中，E,F分別是線段BC,CiD的中點，則直線AiB與直線ef的位置關(guān)系是（ ）A?相交B?異面C.平行d.垂直解析：選A如圖所示，連接BDi,CDi,CDi與SD交于點可得四邊形AiBCDi是平行四邊形，在平行四邊形 AiBCDi中，E,線段BC,CDi的中點，所以EF//BDi，所以直線AiB與直線EF選A.2.在三棱錐A-BCD中，AC丄BD,E,F,G,H分別是AB,四邊形efgh是（ ）C?梯形D.正方形解析：選B如圖，在△ABD中，點H,E分別為邊AD,i i所以HE綊尹D,同理GF綊尹D,所以HE綊GF，所以四邊形行四邊形.又AC丄BD，所以HG丄HE，所以四邊形EFGHB.3.在正三棱柱ABC-AiBiCi中，若AB=2BBi，則ABi與BC,所成的角的大小是A.60°B.75°C.90°D.i05°解析：選C設(shè)BBi=1，如圖，延長CCi至C2，使CiC2=CCi=1,連接B1C2，則B1C2//BCi，所以/AB1C2為ABi與BCi所成的角（或其補角）.連接AC2，因為ABi= 3,BiC2= 3,AC?= 6,所以AC2=AB?+BiC2,則/ABiC2=90°4.在正方體ABCD-AiBiCiDi中，點P在線段ADi上運動，則異面直線的角B的取值范圍是（ ）A.0°V9<60°B.0°W0<60°D.0°< 60°解析：選D如圖，連接CDi,AC,因為CDi//BAi,BAi所成的角就是CP與CDi所成的角，即9=ZDiCP.當(dāng)點運動時，/DiCP從0°增大到60°，但當(dāng)點P與Di重合時,與CP與BAi為異面直線矛盾，所以異面直線CP與BAi所成的角B的取7P從Di向A值范圍是0°< 60°.5.如圖所示，正方體ABCD-AiBiCiDi中，E,F分別是棱BC,CCi的中點，則異面直線EF與BiDi所成的角為解析：連接BCi,ADi,ABi,則EF BCCi的中位線,4,10q1???EF//BCi.又???AB綊CD綊CiDi,?四邊形ABCiDi為平行四邊形.?-BCi/ADi.EF//ADi.???/ADiBi為異面直線EF和BiDi所成的角或其補角.在厶ABq?中，易知Ab?=B1D1=AD1,AB?D?為正三角形，?/AD?B?=601在厶SAB中，SA=SB=a,AF=FB=qa,???SF丄AB,且SF=-23a.同理可得CF丄AB,且CF=-23a.在厶SFC中，SF=CF=-23a,SE=EC,FE丄SC且FE=SF2-SE2=￥a.在厶SAB中，F(xiàn)G是中位線，?FG=1sA=|.1 a在厶SBC中，GE是中位線，?GE=?BC=；.2在厶EGF中，F(xiàn)G2+GE2=a=FE2,2△EGF是以/FGE為直角的等腰直角三角形，???/EFG=45°.???異面直線SA與EF所成的角為45°.2.1.3&2.1.4空間中直線與平面之間的位置關(guān)系、平面與平面之間的位置關(guān)系課前口土學(xué)習(xí).胚植才能樓高預(yù)習(xí)課本P48?50,思考并完成以下問題1?直線與平面的位置關(guān)系有哪幾種？2.平面與平面的位置關(guān)系有哪幾種?.直線與平面的幾種位置關(guān)系分別是怎樣定義與表示的?.平面與平面的幾種位置關(guān)系分別是怎樣定義與表示的?［新知初探］1.直線與平面的位置關(guān)系宀護￥方位置大糸直線a在平面a內(nèi)直線a在平面a外

直線a與平面o相交直線a與平面a平行公共點無數(shù)個公共點一個公共點沒有公共點付號表示a?aaCa=Aa//a圖形表示ZH7a2.兩個平面的位置關(guān)系宀護￥方位置大糸兩平面平行兩平面相交公共點沒有公共點有無數(shù)個公共點（在一條直線上）付號表示a//3aC3=I圖形表示\^7\［點睛］⑴判斷面面位置關(guān)系時，要利用好長方體 （或正方體）這一模型.（2）畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應(yīng)邊平行.［小試身手］TOC\o"1-5"\h\z判斷下列命題是否正確.（正確的打錯誤的打“X” ）（1）若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行 （ ）（2） 若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行 （ ）（3） 若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行 （ ）（4）若兩個平面都平行于同一條直線，則這兩個平面平行 （答案：⑴X（2）X（3）V⑷X2.如圖所示，用符號語言可表示為（2.如圖所示，用符號語言可表示為（ ）B.a//3,I€aD.a//3,I?a且I?a.A.aCl3=lC.I//3,l?a解析：選D顯然圖中all3.平面a//平面3直線a?a,則a與3的位置關(guān)系是 課堂講練設(shè)計，舉一能通類題直線與平面的位置關(guān)系課堂講練設(shè)計，舉一能通類題直線與平面的位置關(guān)系［典例］下列命題中，正確命題的個數(shù)是 （ ）如果a,b是兩條平行直線，那么a平行于經(jīng)過b的任何一個平面;如果直線a和平面a滿足a//a,那么a與平面a內(nèi)的任何一條直線平行;如果直線a,b滿足a/a,b//a,則a/b;如果直線a,b和平面a滿足a//b,a/a,b?a,那么b//a;如果平面a的同側(cè)有兩點A,B到平面a的距離相等，貝UAB//a.C.2 D.3［解析］如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，AA' //BB',AA'在過BB'的平面ABB'A'內(nèi)，故命題①不正確；AA'//平面BCC'B',BC?平面BCC'B'，但AA'不平行于BC,故命題②不正確；AA' //平面BCC'B',A'D' //平面BCC'B'，但AA'與A'D'相交，所以③不正確；④中，假設(shè) b與a相交，因為a//b,所以a與a相交,這與a//a矛盾，故b//a,即④正確；⑤顯然正確，故答案為 C.們可以借助空間幾何圖形，把要判斷關(guān)系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中，以便于正確作出判斷，避免憑空臆斷.［活學(xué)活用］下列說法：若直線I平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線，則I//a；若直線a在平面a外，則a//a；若直線a//b,b?a,則a//a；若直線a//b,b?a,那么直線a平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線.其中正確的個數(shù)為（ ）解析：選A?-I不一定平行于交，???a和a不對于①，???直線I解析：選A?-I不一定平行于交，???a和a不a,①錯誤；對于②，???直線 a在平面a外包括兩種情況：a//a和a與a相定平行，②錯誤；對于③，直線 a//b,b?a,只能說明a和b沒有公共點,a可能在平面a內(nèi)，?a不一定平行于a,③錯誤；對于④，???a//b,b?a,那么a?a或a//a,a與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線平行，④正確.題型二'平面與平面的位置關(guān)系1 V

［典例］a,B是兩個不重合的平面，下面說法中正確的是 （ ）A.平面a內(nèi)有兩條直線a,b都與平面B平行，那么a//3B.平面a內(nèi)有無數(shù)條直線平行于平面 3,那么all3C.若直線a與平面a和平面3都平行，那么all3D.平面a內(nèi)所有的直線都與平面 3平行，那么all3［解析］A、B都不能保證a,3無公共點，如圖⑴所示；C中當(dāng)a//a,all3時，a與3可能相交，如圖⑵所示；只有D說明a,3一定無公共點，即 all3兩個平面的位置關(guān)系同平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系類似，可以從有無公共點區(qū)分：如果兩個平面有一個公共點，那么由公理 3可知，這兩個平面相交于過這個點的一條直線；如果兩個平面沒有公共點，那么就說這兩個平面互相平行.這樣我們可以得出兩個平面的位置關(guān)系：①平行一一沒有公共點；②相交一一有且只有一條公共直線.若平面a與3平行，記作all3；若平面a與3相交，且交線為I，記作aA3=l.［活學(xué)活用］1.在底面為正六邊形的六棱柱中，互相平行的面視為一組，則共有 組互相平行的面.與其中一個側(cè)面相交的面共有 個.解析：六棱柱的兩個底面互相平行，每個側(cè)面與其直接相對的側(cè)面平行，故共有 4組互相平行的面.六棱柱共有8個面圍成，在其余的7個面中，與某個側(cè)面平行的面有1個，其余6個面與該側(cè)面均為相交的關(guān)系.答案：4 6如圖所示，平面ABC與三棱柱ABC-AiBiCi的其他面之間有什么位置關(guān)系？解：???平面ABC與平面AiBiCi無公共點，.??平面ABC與平面AiBiCi平行.???平面ABC與平面ABBiAi有公共直線AB,???平面ABC與平面ABBiAi相交.同理可得平面ABC與平面ACCiAi及平面BCCiBi均相交.題樂三線面、面面交線問題題樂三線面、面面交線問題［典例］在直三棱柱ABC-AiBiCi中，E,F分別為AiBi,BiCi的中點.求證：平面ACCiAi與平面BEF相交.

［證明］???在矩形AAiBiB中，E為AiBi的中點，???AAi與BE不平行，則AAi,BE的延長線相交于一點，設(shè)此點為 G,???G€AAi,G€BE.又AA1?平面ACC1A1,BE?平面BEF,?G€平面ACCiAi,G€平面BEF,?平面ACCiAi與平面BEF相交.判斷或證明平面與平面的位置關(guān)系時主要考慮平面與平面有無公共點，如果沒有公共點，則兩平面平行；如果可以找到一個公共點，則兩平面相交.［活學(xué)活用］如圖所示，G是正方體ABCD-AiBiCiDi的棱DDi延長線上的一點，E,F是棱AB,BC的中點.試分別畫出過下列各點、直線的平面與正方體表面的交線.⑴過點G及AC;(2)過三點E,F,Di.4_&4_&/￡：E⑵解：⑴畫法：連接GA交AiDi于點M，連接GC交CiDi于點N;連接MN,AC,則MA,CN,MN,AC為所求平面與正方體表面的交線.如圖①所示.⑵畫法：連接EF交DC的延長線于點P,交DA的延長線于點Q;連接DiP交CCi于點M，連接DiQ交AAi于點N;連接MF,NE，貝VDiM,MF,FE,EN,NDi為所求平面與正方體表面的交線.如圖②所示.課右層級訓(xùn)練?歩步提升徙力課右層級訓(xùn)練?歩步提升徙力層級一學(xué)業(yè)水平達標(biāo)i?正方體的六個面中互相平行的平面有 ( )A.2對 B.3對C．4對 D．5對解析：選B作出正方體觀察可知，3對互相平行的平面．2．三棱臺的一條側(cè)棱所在直線與其對面所在的平面之間的關(guān)系是 （）A?相交 B?平行C.直線在平面內(nèi) D.平行或直線在平面內(nèi)解析：選A延長各側(cè)棱恢復(fù)成棱錐的形狀可知，三棱臺的一條側(cè)棱所在直線與其對面所在的平面相交.TOC\o"1-5"\h\z.若a//a,b//a,則直線a,b的位置關(guān)系是（ ）A.平行或異面 B.平行或相交C?相交或異面 D?平行、相交或異面解析：選D若a//a,b/a,則直線a,b的位置關(guān)系可能是平行、相交或異面.?若直線a,b是異面直線，且a//a,則直線b與平面a的位置關(guān)系是（ ）A.b?a B.b/aC.b與a相交 D.以上都有可能解析：選D首先明確空間中線、面位置關(guān)系有且只有三種：平行、相交、直線在平面內(nèi).本題中直線b與平面a可能平行，可能相交，也可能在平面內(nèi)，故選 D..若M€平面a,M€平面3,則a與B的位置關(guān)系是（ ）A.平行 B.相交C.異面 D.不確定解析：選B???M€平面a,M€平面3-a與3相交于過點M的一條直線.6.已知ab是兩條直線a3是兩個平面則下列說法中正確的序號為 .若a//b,b?a,則直線a就平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線；若a//3a?a,b?3則a與b是異面直線；若a/3a?a則a/3；若an3=b,a?a,則a與3一定相交.解析：①中a//b,b?a,所以不管a在平面內(nèi)或平面外，都有結(jié)論成立，故①正確；②中直線a與b沒有交點，所以a與b可能異面也可能平行，故②錯誤；③中直線 a與平面3沒有公共點，所以a//3,故③正確；④中直線 a與平面3有可能平行，故④錯誤.答案：①③7.若直線m不平行于平面a,且m?a,則m與a的位置關(guān)系是 .答案：相交空間中三個平面將空間分成 部分.解析：①當(dāng)三個平面兩兩平行時將整個空間分成4部分；1條②當(dāng)三個平面中有兩個互相平行且同時與第三個平面相交或三個平面兩兩相交有1條交線時，分成6部分;當(dāng)三個平面兩兩相交且交線為3條互相平行的直線時，分成7部分;當(dāng)三個平面兩兩相交于共點的三條直線時，分成 8部分.答案4或6或7或8如圖，已知平面a和B相交于直線l，點A€a,點B€且A?I,B?l，直線AB與I不平行，那么，平面ABC與平面有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論.解：平面ABC與平面3的交線與I相交.證明如下:?/AB與I不平行，AB?a,I?a,???AB與I是相交直線.設(shè)ABAI=P,則點P€AB,點P€I.又???AB?平面ABC,I?3?P€平面ABC且P€平面3即點P是平面ABC與平面3的