24矩形菱形正方形

矩形菱形與正方形一.選擇題1.(2015山東青島，第7題,3分)如圖，菱形ABCD的對角線AC、BC相交于點O，E、F分別是AB、BC邊上的中點，連接EF，若EF=，BD=4，則菱形ABCD的周長為（）． A．4 B．4C．4 D．28【答案】C考點：菱形的性質(zhì)、三角形中位線性質(zhì)、勾股定理.2,（2015?淄博第9題,4分）如圖，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A、B、E在同一直線上，P是線段DF的中點，連接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，則=（） A． B． C． D． 考點： 菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．.專題： 計算題；壓軸題．分析： 可通過構(gòu)建全等三角形求解．延長GP交DC于H，可證三角形DHP和PGF全等，已知的有DC∥GF，根據(jù)平行線間的內(nèi)錯角相等可得出兩三角形中兩組對應的角相等，又有DP=PF，因此構(gòu)成了全等三角形判定條件中的（AAS），于是兩三角形全等，那么HP=PG，可根據(jù)三角函數(shù)來得出PG、CP的比例關(guān)系．解答： 解：如圖，延長GP交DC于點H，∵P是線段DF的中點，∴FP=DP，由題意可知DC∥GF，∴∠GFP=∠HDP，∵∠GPF=∠HPD，∴△GFP≌△HDP，∴GP=HP，GF=HD，∵四邊形ABCD是菱形，∴CD=CB，∴CG=CH，∴△CHG是等腰三角形，∴PG⊥PC，（三線合一）又∵∠ABC=∠BEF=60°，∴∠GCP=60°，∴=；故選B．點評： 本題主要考查了菱形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定等知識點，根據(jù)已知和所求的條件正確的構(gòu)建出相關(guān)的全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2015·湖南省衡陽市，第9題3分）下列命題是真命題的是（）．A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形B．對角線相等的四邊形是矩形C．對角線互相垂直的四邊形是菱形D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形4．（2015·湖北省孝感市，第7題3分）下列命題：①平行四邊形的對邊相等；②對角線相等的四邊形是矩形；③正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；④一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形．其中真命題的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4考點：命題與定理．.分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)對①進行判斷；根據(jù)矩形的判定方法對②進行判斷；根據(jù)正方形的性質(zhì)對③進行判斷；根據(jù)菱形的判定方法對④進行判斷．解答：解：平行四邊形的對邊相等，所以①正確；對角線相等的平行四邊形是矩形，所以②錯誤；正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，所以③正確；一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形，所以④正確．故選C．點評：本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．5．（2015·湖南省益陽市，第5題5分）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，以下說法錯誤的是（）A．∠ABC=90°B．AC=BDC．OA=OBD．OA=AD考點： 矩形的性質(zhì)．分析： 矩形的性質(zhì)：四個角都是直角，對角線互相平分且相等；由矩形的性質(zhì)容易得出結(jié)論．解答： 解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，∴A、B、C正確，D錯誤，故選：D．點評： 本題考查了矩形的性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．6.（2015湖南岳陽第6題3分）下列命題是真命題的是（）A．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形B．對角線互相垂直的平行四邊形是矩形C．四條邊相等的四邊形是菱形D．正方形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形考點： 命題與定理．.分析： 根據(jù)平行四邊形的判定方法對A進行判斷；根據(jù)矩形的判定方法對B進行判斷；根據(jù)菱形的判定方法對C進行判斷；根據(jù)軸對稱和中心對稱的定義對D進行判斷．解答： 解：A、一組對邊平行，且相等的四邊形是平行四邊形，所以A選項錯誤；B、對角線互相垂直，且相等的平行四邊形是矩形，所以B選項錯誤；C、四條邊相等的四邊形是菱形，所以C選項正確；D、正方形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，所以D選項錯誤．故選C．點評： 本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．7.（2015湖北鄂州第8題3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，點E是BC的中點，連接AE，將△ABE沿AE折疊，點B落在點F處，連接FC，則sin∠ECF=（）A． B． C． D．【答案】D.考點：翻折問題.8.（2015湖北鄂州第10題3分）在平面直角坐標系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3……按如圖所示的方式放置，其中點B1在y軸上，點C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3……在x軸上，已知正方形A1B1C1D1的邊長為1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……則正方形 A．B．C． D．【答案】D.考點：1.正方形的性質(zhì)；2.解直角三角形．9．（2015?廣東梅州,第6題4分）下列命題正確的是（）A．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形B．對角線相互垂直的四邊形是菱形C．對角線相等的四邊形是矩形D．對角線相互垂直平分且相等的四邊形是正方形考點： 命題與定理．分析： 根據(jù)矩形、菱形、平行四邊形的知識可判斷出各選項，從而得出答案．解答： 解：A、一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形也可能是等腰梯形，此選項錯誤；B、對角線相互垂直的四邊形是菱形也可能是梯形，此選項錯誤；C、對角線相等的四邊形是矩形也可能是等腰梯形，此選項錯誤；D、對角線相互垂直平分且相等的四邊形是正方形，此選項正確；故選D．點評： 本題主要考查了命題與定理的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形、菱形以及矩形的性質(zhì)，此題難度不大．10.（2015?浙江衢州,第8題3分）如圖，已知某廣場菱形花壇的周長是24米，，則花壇對角線的長等于【】A.米B.米C.米D.米【答案】A.【考點】菱形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值.【分析】∵菱形花壇的周長是24，∴，，.∵，∴.∴（米）.故選A.11.（2015?浙江湖州，第9題3分）如圖，AC是矩形ABCD的對角線，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，現(xiàn)將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG，點F，G分別在AD，BC上，連結(jié)OG，DG，若OG⊥DG，且☉O的半徑長為1，則下列結(jié)論不成立的是()A.CD+DF=4 B.CD?DF=2?3 C.BC+AB=2+4 D.BC?【答案】A.【解析】試題分析：如圖，設(shè)⊙O與BC的切點為M,連接MO并延長MO交AD于點N,利用“AAS”易證△OMG≌△GCD,所以O(shè)M=GC=1,CD=GM=BC－BM－GC=BC－2.又因AB=CD,所以可得BC?AB=2.設(shè)AB=a，BC=b,AC=c,⊙O的半徑為r，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓可得r=（a+b－c），所以c=a+b－2.在Rt△ABC中，由勾股定理可得，整理得2ab－4a－4b+4=0，又因BC?AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）－4a－4（2+a）+4=0，解得，所以，即可得BC+AB=2+4.再設(shè)DF=x，在Rt△ONF中,FN=，OF=x，ON=,由勾股定理可得，解得，所以CD?DF=，CD+DF=.綜上只有選項A錯誤，故答案選A.考點：矩形的性質(zhì)；直角三角形內(nèi)切圓的半徑與三邊的關(guān)系；折疊的性質(zhì)；勾股定理；12.（2015?浙江寧波，第12題4分）如圖，小明家的住房平面圖呈長方形，被分割成3個正方形和2個長方形后仍是中心對稱圖形.若只知道原住房平面圖長方形的周長，則分割后不用測量就能知道周長的圖形標號為【】A.①②B.②③C.①③D.①②③【答案】A.【考點】多元方程組的應用（幾何問題）.【分析】如答圖，設(shè)原住房平面圖長方形的周長為，①的長和寬分別為，②③的邊長分別為.根據(jù)題意，得，，得，將代入③，得（定值），將代入，得（定值），而由已列方程組得不到.∴分割后不用測量就能知道周長的圖形標號為①②.故選A.13.（2015?四川南充,第9題3分）如圖，菱形ABCD的周長為8cm，高AE長為cm，則對角線AC長和BD長之比為（）（A）1:2（B）1:3（C）1:（D）1:【答案】D【解析】試題分析：設(shè)AC與BD的交點為O，根據(jù)周長可得AB=BC=2，根據(jù)AE=可得BE=1，則△ABC為等邊三角形，則AC=2，BO=，即BD=2，即AC:BD=1：.考點：菱形的性質(zhì)、直角三角形.14．（2015?四川資陽,第7題3分）若順次連接四邊形ABCD四邊的中點，得到的圖形是一個矩形，則四邊形ABCD一定是A．矩形 B．菱形 C．對角線相等的四邊形 D．對角線互相垂直的四邊形考點：中點四邊形．.分析：首先根據(jù)三角形中位線定理知：所得四邊形的對邊都平行且相等，那么其必為平行四邊形，若所得四邊形是矩形，那么鄰邊互相垂直，故原四邊形的對角線必互相垂直，由此得解．解答：已知：如右圖，四邊形EFGH是矩形，且E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，求證：四邊形ABCD是對角線垂直的四邊形．證明：由于E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，根據(jù)三角形中位線定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；∵四邊形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，故選：D．點評：本題主要考查了矩形的性質(zhì)和三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形利用三角形的中位線定理解答．15．（2015?四川資陽,第10題3分）如圖6，在△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC=1，E、F為線段AB上兩動點，且∠ECF=45°，過點E、F分別作BC、AC的垂線相交于點M，垂足分別為H、G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①AB=；②當點E與點B重合時，MH=；③AF+BE=EF；④MG?MH=，其中正確結(jié)論為A．①②③ B．①③④C．①②④ D．①②③④考點：相似形綜合題．.分析：①由題意知，△ABC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形即可作出判斷；②如圖1，當點E與點B重合時，點H與點B重合，可得MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，進一步得到FG是△ACB的中位線，從而作出判斷；③如圖2所示，SAS可證△ECF≌△ECD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理即可作出判斷；④根據(jù)AA可證△ACE∽△BFC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AF?BF=AC?BC=1，由題意知四邊形CHMG是矩形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換得到MG?MH=AE×BF=AE?BF=AC?BC=，依此即可作出判斷．解答：解：①由題意知，△ABC是等腰直角三角形，∴AB==，故①正確；②如圖1，當點E與點B重合時，點H與點B重合，∴MB⊥BC，∠MBC=90°，∵MG⊥AC，∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，∴MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，∴MH=MB=CG，∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，∴CE=AF=BF，∴FG是△ACB的中位線，∴GC=AC=MH，故②正確；③如圖2所示，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠5=45°．將△ACF順時針旋轉(zhuǎn)90°至△BCD，則CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；∵∠2=45°，∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，∴∠DCE=∠2．在△ECF和△ECD中，，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF=DE．∵∠5=45°，∴∠BDE=90°，∴DE2=BD2+BE2，即E2=AF2+BE2，故③錯誤；④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，∵∠A=∠5=45°，∴△ACE∽△BFC，∴=，∴AF?BF=AC?BC=1，由題意知四邊形CHMG是矩形，∴MG∥BC，MH=CG，MG∥BC，MH∥AC，∴=；=，即=；=，∴MG=AE；MH=BF，∴MG?MH=AE×BF=AE?BF=AC?BC=，故④正確．故選：C．點評：考查了相似形綜合題，涉及的知識點有：等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強，有一定的難度．16、（2015?四川自貢,第10題4分）如圖，在矩形中，,是邊的中點，是線段邊上的動點，將△沿所在直線折疊得到△,連接,則的最小值是 （）A.B.6C.D.4考點：矩形的性質(zhì)、翻折（軸對稱）、勾股定理、最值.分析：連接后抓住△中兩邊一定，要使的長度最小即要使最小(也就是使其角度為0°)，此時點落在上,此時.略解：∵是邊的中點，∴∵四邊形矩形∴∴在△根據(jù)勾股定理可知：又∵∴.根據(jù)翻折對稱的性質(zhì)可知∵△中兩邊一定，要使的長度最小即要使最小(也就是使其角度為0°)，此時點落在上（如圖所示）.∴∴的長度最小值為.故選A17.（2015?浙江濱州,第8題3分）順次連接矩形ABCD各邊的中點，所得四邊形必定是（）A.鄰邊不等的平行四邊形B.矩形C.正方形D.菱形【答案】D考點：菱形的判定18.（2015?四川省內(nèi)江市，第11題，3分）如圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE最小，則這個最小值為（）A．B．2C．2D．考點： 軸對稱－最短路線問題；正方形的性質(zhì)．.分析： 由于點B與D關(guān)于AC對稱，所以BE與AC的交點即為P點．此時PD+PE=BE最小，而BE是等邊△ABE的邊，BE=AB，由正方形ABCD的面積為12，可求出AB的長，從而得出結(jié)果．解答： 解：由題意，可得BE與AC交于點P．∵點B與D關(guān)于AC對稱，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最?。哒叫蜛BCD的面積為12，∴AB=2．又∵△ABE是等邊三角形，∴BE=AB=2．故所求最小值為2．故選B．點評： 此題考查了軸對稱﹣﹣最短路線問題，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，找到點P的位置是解決問題的關(guān)鍵．19.（2015?浙江省臺州市，第8題）如果將長為6cm，寬為5A.8cmB.cmC.5.5cmD20.（2015?浙江省臺州市，第9題）.如圖，在菱形ABCD中，AB=8，點E、F分別在AB、AD上，且AE=AF，過點E作EG∥AD交CD于點G，過點F作FH∥AB交BC于點H，EG與FH交于點O，當四邊形AEOF與四邊形CGOH的周長之差為12時，AE的值為（）A.6.5B.6C.5.521．(2015·深圳，第12題分)如圖，已知正方形ABCD的邊長為12，BE=EC，將正方形邊CD沿DE折疊到DF，延長EF交AB于G，連接DG，現(xiàn)在有如下4個結(jié)論：eq\o\ac(○,1)⊿ADG≌⊿FDG；eq\o\ac(○,2)GB=2AG；eq\o\ac(○,3)⊿GDE∽BEF；eq\o\ac(○,4)S⊿BEF=。在以上4個結(jié)論中，正確的有（）A、B、C、D、【答案】C.【解析】由折疊可知，DE＝DC＝DA，∠DEF＝∠C＝90°∠DFG＝∠A＝90°22,（（2015?山東日照，第6題3分））小明在學習了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個條件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中選兩個作為補充條件，使?ABCD為正方形（如圖），現(xiàn)有下列四種選法，你認為其中錯誤的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④考點： 正方形的判定．.分析： 利用矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系與區(qū)別，結(jié)合正方形的判定方法分別判斷得出即可．解答： 解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，當①AB=BC時，平行四邊形ABCD是菱形，當②∠ABC=90°時，菱形ABCD是正方形，故此選項錯誤；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當②∠ABC=90°時，平行四邊形ABCD是矩形，當AC=BD時，這是矩形的性質(zhì)，無法得出四邊形ABCD是正方形，故此選項正確；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，當①AB=BC時，平行四邊形ABCD是菱形，當③AC=BD時，菱形ABCD是正方形，故此選項錯誤；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當②∠ABC=90°時，平行四邊形ABCD是矩形，當④AC⊥BD時，矩形ABCD是正方形，故此選項錯誤．故選：B．點評： 此題主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，正確掌握正方形的判定方法是解題關(guān)鍵．23．（2015·山東濰坊第9題3分）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步驟作圖：第一步，分別以點A、D為圓心，以大于AD的長為半徑在AD兩側(cè)作弧，交于兩點M、N；第二步，連接MN分別交AB、AC于點E、F；第三步，連接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，則BE的長是（）A．2B．4C．6D．8考點： 平行線分線段成比例；菱形的判定與性質(zhì)；作圖—基本作圖．.分析： 根據(jù)已知得出MN是線段AD的垂直平分線，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四邊形AEDF是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AE=DE=DF=AF，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出=，代入求出即可．解答： 解：∵根據(jù)作法可知：MN是線段AD的垂直平分線，∴AE=DE，AF=DF，∴∠EAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥AC，同理DF∥AE，∴四邊形AEDF是菱形，∴AE=DE=DF=AF，∵AF=4，∴AE=DE=DF=AF=4，∵DE∥AC，∴=，∵BD=6，AE=4，CD=3，∴=，∴BE=8，故選D．點評： 本題考查了平行線分線段成比例定理，菱形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的應用，能根據(jù)定理四邊形AEDF是菱形是解此題的關(guān)鍵，注意：一組平行線截兩條直線，所截得的對應線段成比例．24．（2015?甘肅蘭州,第7題，4分）下列命題錯誤的是A.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形B.平行四邊形的對角線互相平分C.矩形的對角線相等D.對角線相等的四邊形是矩形【答案】D【考點解剖】本題考查特殊平行四邊形的性質(zhì)和判定【解答過程】略【題目星級】★★★25．（2015?廣東梅州,第5題，3分）下列命題正確的是（）A．對角線互相垂直的四邊形是菱形B．一組對邊相等，另一組對邊平等的四邊形是平行四邊形C．對角線相等的四邊形是矩形D．對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形考點：命題與定理．.分析：根據(jù)矩形、菱形、平行四邊形的知識可判斷出各選項，從而得出答案．解答：解：A、對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，故本選項錯誤；B、一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形不一定是平行四邊形，也可能是等腰梯形，故本選項錯誤；C、對角線相等的四邊形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本選項錯誤；D、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故本選項正確．故選D．點評：本題主要考查了命題與定理的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形、菱形以及矩形的性質(zhì)，此題難度不大．26．（2015?甘肅蘭州,第10題，4分）如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連結(jié)EF，則△AEF的面積是A.B.C.D.【答案】B【考點解剖】本題考查了菱形和正三角形的性質(zhì)中的相關(guān)知識點【知識準備】菱形的四條邊相等，對角相等，對角線互相垂直平分；等腰三角形底邊上的高線平分底邊和頂角?！舅悸伏c拔】由菱形的性質(zhì)以及現(xiàn)有條件，可得△AEF是正三角形，而正三角形的面積等于邊長的平方的倍【解答過程】連結(jié)AC和BD，并記它們的交點為G，則有AC⊥BD，且AG=CG，BG=CG，△ABC中，AB=CB，∠ABC=60°，所以△ABC是正三角形，正三角形△ABC中，AE和BG是中線，也是高線，可求得AE=BG=AB=，△BCD中，因為E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，所以EF∥BD，且EF=BD=BG=，記AC與EF的交點H，因為EF∥BD，AC⊥BD，所以AH⊥EF，且由相似形的性質(zhì)，可得CH=CG=AC=1，則AH=AC－CH=4－1=3則?！绢}目星級】★★★★27．（2015?安徽省,第9題，4分）如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．點E在邊AB上，點F在邊CD上，點G、H在對角線AC上．若四邊形EGFH是菱形，則AE的長是[（）]A．2eq\r(5)B．3eq\r(5)C．5D．6考點：菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．.分析：連接EF交AC于O，由四邊形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE=OF，由于四邊形ABCD是矩形，得到∠B=∠D=90°，AB∥CD，通過△CFO≌△AOE，得到AO=CO，求出AO=AC=2，根據(jù)△AOE∽△ABC，即可得到結(jié)果．解答：解；連接EF交AC于O，∵四邊形EGFH是菱形，∴EF⊥AC，OE=OF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB，在△CFO與△AOE中，，∴△CFO≌△AOE，∴AO=CO，∵AC==4，∴AO=AC=2，∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，∴△AOE∽△ABC，∴，∴，∴AE=5．故選C．點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練運用定理是解題的關(guān)鍵．28.（2015山東省德州市，11，3分）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，得到下面四個結(jié)論：①OA=OD;②AD⊥EF;③當∠A=90°時，四邊形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正確的是（）A.②③B.②④C.①③④D.②③④第11題圖【答案】D考點：角平分線的性質(zhì)；正方形的判定方法；全等三角形的判定、勾股定理考點：幾何動態(tài)問題函數(shù)圖象29.（2015?江蘇徐州,第7題3分）如圖，菱形中，對角線AC、BD交于點O，E為AD邊中點，菱形ABCD的周長為28，則OE的長等于（） A．3.5 B． 4 C． 7 D． 14考點： 菱形的性質(zhì)．.分析： 根據(jù)菱形的四條邊都相等求出AB，再根據(jù)菱形的對角線互相平分可得OB=OD，然后判斷出OE是△ABD的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求解即可．解答： 解：∵菱形ABCD的周長為28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E為AD邊中點，∴OE是△ABD的中位線，∴OE=AB=×7=3.5．故選A．點評： 本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵．30.（2015?山東臨沂,第12題3分）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE=AD，連接EB，EC，DB.添加一個條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是（）(A)AB=BE.(B)BE⊥DC.(C)∠ADB=90°.(D)CE⊥DE.【答案】B考點：矩形的判定31.（2015?四川瀘州,第6題3分）菱形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是A.兩組對邊分別平行B.兩組對角分別相等C.對角線互相平分D.對角線互相垂直考點：菱形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．.分析：根據(jù)菱形的特殊性質(zhì)可知對角線互相垂直．解答：解：A、不正確，兩組對邊分別平行；B、不正確，兩組對角分別相等，兩者均有此性質(zhì)正確，；C、不正確，對角線互相平分，兩者均具有此性質(zhì)；D、菱形的對角線互相垂直但平行四邊形卻無此性質(zhì)．故選D．點評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形對角線垂直及平行四邊形對角線平分的性質(zhì)的理解．二.填空題AUTONUM．(2015?江蘇無錫,第14題2分)如圖，已知矩形ABCD的對角線長為8cm，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的點，則四邊形EFGH的周長等于16cm．考點： 點四邊形．分析： 連接AC、BD，根據(jù)三角形的位線求HG、GF、EF、EH的長，再求四邊形EFGH的周長即可．解答： 解：如圖，連接C、BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD=8cm∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的點，∴HG=EF=AC=4cm，EH=FG=BD=4cm，∴四邊形EFGH的周長等于4cm+4cm+4cm+4故答案為：16．點評： 本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形的位線的應用，能求四邊形的各個邊的長是解此題的關(guān)鍵，注意：矩形的對角線相等，三角形的位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．3,（2015?江蘇泰州,第16題3分）如圖，矩形中，AB=8，BC=6，P為AD上一點，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于點O，且OE=OD，則AP的長為__________.【答案】4.8.【解析】試題分析：由折疊的性質(zhì)得出EP=AP,∠E=∠A=90°,BE=AB=8，由ASA證明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，設(shè)AP=EP=x，則PD=GE=6－x，DG=x，求出CG、BG，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程即可.試題解析：如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8根據(jù)題意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°,BE=AB=8，在△ODP和△OEG中∴△ODP≌△OEG∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP設(shè)AP=EP=x，則PD=GE=6－x，DG=x，∴CG=8－x，BG=8－（6－x）=2+x根據(jù)勾股定理得：BC2+CG2=BG2即：62+（8－x）2=（x+2）2解得：x=4.8∴AP=4.8.考點：1.翻折變換（折疊問題）；2.勾股定理；3.矩形的性質(zhì).4.（2015?江蘇徐州,第17題3分）如圖，正方形ABCD的邊長為1，以對角線AC為邊作第二個正方形，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，第n個正方形的邊長為（）n﹣1．考點： 正方形的性質(zhì)．.專題： 規(guī)律型．分析： 首先求出AC、AE、HE的長度，然后猜測命題中隱含的數(shù)學規(guī)律，即可解決問題．解答： 解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=1，∠B=90°，∴AC2=12+12，AC=；同理可求：AE=（）2，HE=（）3…，∴第n個正方形的邊長an=（）n﹣1．故答案為（）n﹣1．點評： 該題主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理及其應用問題；應牢固掌握正方形有關(guān)定理并能靈活運用．5．（4分）（（2015?山東日照，第14題3分））邊長為1的一個正方形和一個等邊三角形如圖擺放，則△ABC的面積為．考點： 正方形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．.分析： 過點C作CD和CE垂直正方形的兩個邊長，再利用正方形和等邊三角形的性質(zhì)得出CE的長，進而得出△ABC的面積即可．解答： 解：過點C作CD和CE垂直正方形的兩個邊長，如圖，∵一個正方形和一個等邊三角形的擺放，∴四邊形DBEC是矩形，∴CE=DB=，∴△ABC的面積=AB?CE=×1×=，故答案為：．點評： 此題考查正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)得出BE和CE的長．6．（2015?四川廣安，第15題3分）如圖，已知E、F、G、H分別為菱形ABCD四邊的中點，AB=6cm，∠ABC=60°，則四邊形EFGH的面積為9cm考點： 中點四邊形；菱形的性質(zhì)．.分析： 連接AC、BD，首先判定四邊形EFGH的形狀為矩形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)求出AC與BD的值，進而求出矩形的長和寬，然后根據(jù)矩形的面積公式計算其面積即可．解答： 解：連接AC，BD，相交于點O，如圖所示，∵E、F、G、H分別是菱形四邊上的中點，∴EH=BD=FG，EH∥BD∥FG，EF=AC=HG，∴四邊形EHGF是平行四邊形，∵菱形ABCD中，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四邊形EFGH是矩形，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴AO=AB=3，∴AC=6，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB==3，∴BD=6，∵EH=BD，EF=AC，∴EH=3，EF=3，∴矩形EFGH的面積=EF?FG=9cm2故答案為：9．點評： 本題考查了中點四邊形和菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是判定四邊形EFGH的形狀為矩形．7.（2015?四川省內(nèi)江市，第24題，6分）如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，O是EG的中點，∠EGC的平分線GH過點D，交BE于點H，連接OH，F(xiàn)H，EG與FH交于點M，對于下面四個結(jié)論：①CH⊥BE；②HOBG；③S正方形ABCD：S正方形ECGF=1：；④EM：MG=1：（1+），其中正確結(jié)論的序號為②．考點： 四邊形綜合題．.分析： 證明△BCE≌△DCG，即可證得∠BEC=∠DGC，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理證得∠EHG=90°，則HG⊥BE，然后證明△BGH≌△EGH，則H是BE的中點，則OH是△BGE的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理即可判斷②．根據(jù)△DHN∽△DGC求得兩個三角形的邊長的比，則③④即可判斷．解答： 解：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=90°，同理可得CE=CG，∠DCG=90°，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG，∴∠BEC=∠DGC，∵∠EDH=∠CDG，∠DGC+∠CDG=90°，∴∠EDH+∠BEC=90°，∴∠EHD=90°，∴HG⊥BE，則CH⊥BE錯誤，則故①錯誤；∵在△BGH和△EGH中，，∴△BGH≌△EGH，∴BH=EH，又∵O是EG的中點，∴HOBG，故②正確；設(shè)EC和OH相交于點N．設(shè)HN=a，則BC=2a，設(shè)正方形ECGF的邊長是2b，則NC=b，CD=2∵OH∥BC，∴△DHN∽△DGC，∴，即，即a2+2ab﹣b2=0，解得：a=或a=（舍去），則，則S正方形ABCD：S正方形ECGF=（）2=，故③錯誤；∵EF∥OH，∴△EFM∽△OMH，∴=，∴，∴===．故④錯誤．故正確的是②．故答案是：②．點評： 本題考查了正方形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確求得兩個三角形的邊長的比是解決本題的關(guān)鍵．8.（2015?四川省宜賓市，第12題，3分）如圖，在菱形ABCD中，點P是對角線AC上的一點，PE⊥AB于點E，若PE=3，則點P到AD的距離為.321·cn·jy·com9,（2015?四川省宜賓市，第16題，3分）如圖，在正方形ABC'D中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E、F，連結(jié)BD、DP，BD與CF相交于點H.給出下列結(jié)論：①△ABE≌△DCF；②eq\f(FP,PH)=eq\f(3,5)；③DP2=PH·PB；④eq\f(S△BPD,S正方形ABCD)=eq\f(eq\r(\s\do1(),3)–1,4).其中正確的是(寫出所有正確結(jié)論的序號).①③④10,（2015上海,第16題4分）已知E是正方形ABCD的對角線AC上一點，AE＝AD，過點E作AC的垂線，交邊CD于點F，那么∠FAD＝________度．【答案】22.5.【解析】11．(2015·南寧，第16題3分)如圖7，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊△ADE，則BED的度數(shù)是．考點：正方形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．.分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得AB與AD的關(guān)系，∠BAD的度數(shù)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AE與AD的關(guān)系，∠AED的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠AEB與∠ABE的關(guān)系，根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得∠AEB的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得答案．解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等邊三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案為：45°．點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，先求出∠BAE的度數(shù)，再求出∠AEB，最后求出答案．12．(2015·河南，第15題3分)如圖，正方形ABCD的邊長是16，點E在邊AB上，AE=3，點F是邊BC上不與點B、C重合的一個動點，把△EBF沿EF折疊，點B落在B′處，若△CDB′恰為等腰三角形，則DB′的長為.EEFCDBA第15題B′【分析】若△CD恰為等腰三角形，判斷以CD為腰或為底邊分為三種情況：①DB′=DC；②CB′=CD；③CB′=DB′，針對每一種情況利用正方形和折疊的性質(zhì)進行分析求解.16或【解析】本題考查正方形、矩形的性質(zhì)和勾股定理的運用，以及分類討論思想..根據(jù)題意，若△CD恰為等腰三角形需分三種情況討論：（1）若DB′=DC時，則DB′=16（易知點F在BC上且不與點C、B重合）；（2）當CB′=CD時，∵EB=EB′，CB=CB′∴點E、C在BB′的垂直平分線上，∴EC垂直平分BB′，由折疊可知點F與點C重合，不符合題意，舍去；（3）如解圖，當CB′=DB′時，作BG⊥AB與點G，交CD于點H.∵AB∥CD，∴B′H⊥CD，∵CB′=DB′，∴DH=CD=8，∴AG=DH=8，∴GE=AG－AE=5，在Rt△B′EG中，由勾股定理得B′G=12，∴B′H=GH－B′G=4.在Rt△B′DH中，由勾股定理得DB′=，綜上所述DB′=16或.第15題解圖13．(2015·黑龍江綏化，第18題分)如圖正方形ABCD的對角線相交于點O，△CEF是正三角形，則∠CEF=__________．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．．分析：根據(jù)正方形、等邊三角形的性質(zhì)，可得AO=BO，OE=OF，根據(jù)SSS可得△AOE≌△BOF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得對應角相等，根據(jù)角的和差，可得答案．解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOB=90°．∵△OEF是正三角形，∴OE=OF，∠EOF=60°．在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（SSS），∴∠AOE=∠BOF，∴∠AOE=（∠AOB﹣∠EOF）÷2=（90°﹣60°）÷2=15°，故答案為15°．點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形、等邊三角形的性質(zhì)，利用SSS證明三角形全等得出∠AOE=∠BOF是解題的關(guān)鍵．14.（2015呼和浩特，13，3分）如圖，四邊形ABCD是菱形，E、F、G、H分別是各邊的中點，隨機地向菱形ABCD內(nèi)擲一粒米，則米粒落到陰影區(qū)域內(nèi)的概率是__________.考點分析：概率初步——結(jié)合其他考點（轉(zhuǎn)化思想） 特殊四邊形的性質(zhì)特殊代替一般詳解：EQ\F(1,2)概率初步結(jié)合其他幾何知識的考點有：面積比、點坐標存在、幾何中充分條件等。一般而言難度不高。本題考查的是面積比，正規(guī)作法是連接HF，如右圖。易證AH與BF平行且相等，所以四邊形AHFB是平行四邊形，那么不管E是否為AB的中點，S△HEF=EQ\F(1,2)S□AHFB,(同底等高)，同理可證S△HGF=EQ\F(1,2)S□HDCF,所以陰影部分的面積占整個菱形面積的一半。講過，比平行四邊形特殊的是菱形和矩形，比菱形特殊的是正方形。當客觀題中出現(xiàn)菱形，且沒有說對角線是否相等，那么你完全可以按照正方形處理，這就是本例的一個小應用。想讓同學記住的是，本例用這個方法意義不大，因為你只要具備一定數(shù)學思想，眼里畫上給出的HF，在轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)眼珠，答案就出來了，所以教你的東西可以在以后的類似有比值呀、定值呀的題目中使用。如右圖的正方形，一個中心十字，面積比一目了然，當然你腦子足夠快的話，這個十字可以不畫，其實拿到題目第一時間就是把它看成正方形，之后馬上得出正確結(jié)論。15．（2015?廣東省,第12題，4分）如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠ABC=60°，則對角線AC的長是▲.【答案】6.【考點】菱形的性質(zhì)；等邊三角形的判定和性質(zhì).【分析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=6.∵∠ABC=60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AC=AB=BC=6.16.（2015?浙江濱州,第14題4分）如圖，菱形ABCD的邊長為15，sin∠BAC=，則對角線AC的長為.【答案】24考點：菱形的性質(zhì)，解直角三角形17．（2015?廣東梅州,第14題，3分）如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點A與點C重合，折痕為EF，若AB=4，BC=2，那么線段EF的長為．考點：翻折變換（折疊問題）．.分析：如圖，AC交EF于點O，由勾股定理先求出AC的長度，根據(jù)折疊的性質(zhì)可判斷出RT△EOC∽RT△ABC，從而利用相似三角形的對應邊成比例可求出OE，再由EF=2OE可得出EF的長度解答：解：如圖所示，AC交EF于點O，由勾股定理知AC=2，又∵折疊矩形使C與A重合時有EF⊥AC，則Rt△AOE∽Rt△ABC，∴，∴OE=故EF=2OE=．故答案為：．點評：此題考查了翻折變換、勾股定理及矩形的性質(zhì)，難度一般，解答本題的關(guān)鍵是判斷出RT△AOE∽RT△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)得出OE的長．18.（2015?浙江湖州，第15題4分）如圖，已知拋物線C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都經(jīng)過原點，頂點分別為A，B，與x軸的另一個交點分別為M、N，如果點A與點B，點M與點N都關(guān)于原點O成中心對稱，則拋物線C1和C2為姐妹拋物線，請你寫出一對姐妹拋物線C1和C2，使四邊形ANBM恰好是矩形，你所寫的一對拋物線解析式是_______________________和_________________________【答案】,(答案不唯一，只要符合條件即可).【解析】試題分析：因點A與點B，點M與點N都關(guān)于原點O成中心對稱，所以把拋物線C2看成拋物線C1以點O為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°得到的，由此即可知a1，a2互為相反數(shù)，拋物線C1和C2的對稱軸直線關(guān)于y軸對稱，由此可得出b1=b2.拋物線C1和C2都經(jīng)過原點，可得c1=c2，設(shè)點A(m，n)，由題意可知B（－m，－n），由勾股定理可得.由圖象可知MN=︱4m︱，又因四邊形ANBM是矩形，所以AB=MN,即，解得，設(shè)拋物線的表達式為，任意確定m的一個值，根據(jù)確定n的值，拋物線過原點代入即可求得表達式，然后在確定另一個表達式即可.l例如，當m=1時，n=，拋物線的表達式為，把x=0，y=0代入解得a=，即，所以另一條拋物線的表達式為.考點：旋轉(zhuǎn)、矩形、二次函數(shù)綜合題19.（2015?浙江湖州，第16題4分）已知正方形ABC1D1的邊長為1，延長C1D1到A1，以A1C1為邊向右作正方形A1C1C2D2，延長C2D2到A2，以A2C2為邊向右作正方形A2C2C3D3(如圖所示)，以此類推…，若A1C1=2，且點A，D2，D3，…，【答案】. 考點：正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定及性質(zhì)；規(guī)律探究題.20.（2015?浙江麗水，第15題4分）如圖，四邊形ABCD與四邊形AECF都是菱形，點E，F(xiàn)在BD上，已知∠BAD=120°，∠EAF=30°，則=▲.【答案】.【考點】菱形的性質(zhì)；等腰直角三角形和含30度角直角三角形的性質(zhì)；特殊元素法的應用.【分析】如答圖，過點E作EH⊥AB于點H，∵四邊形ABCD與四邊形AECF都是菱形，∠BAD=120°，∠EAF=30°，∴∠ABE=30°，∠BAE=45°.不妨設(shè)，∴在等腰中，；在中，.∴.∴.21,（2015?浙江寧波，第15題4分）命題“對角線相等的四邊形是矩形”是▲命題（填“真”或“假”）【答案】假.【考點】命題的真假判定；矩形的判定.【分析】根據(jù)矩形的判定，對角線相等的平行四邊形才是矩形，而對角線相等的四邊形也可能是等腰梯形等，故命題“對角線相等的四邊形是矩形”是假命題.22.（2015湖北荊州第17題3分）如圖，將一張邊長為6cm的正方形紙片按虛線裁剪后，恰好圍成底面是正六邊形的棱柱，則這個六棱柱的側(cè)面積為36﹣12cm考點： 展開圖折疊成幾何體．分析： 這個棱柱的側(cè)面展開正好是一個長方形，長為6，寬為6減去兩個六邊形的高，再用長方形的面積公式計算即可求得答案．解答： 解：∵將一張邊長為6的正方形紙片按虛線裁剪后，恰好圍成一個底面是正六邊形的棱柱，∴這個正六邊形的底面邊長為1，高為，∴側(cè)面積為長為6，寬為6﹣2的長方形，∴面積為：6×（6﹣2）=36﹣12．故答案為：36﹣12．點評： 此題主要考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及剪紙問題的應用．此題難度不大，注意動手操作拼出圖形，并能正確進行計算是解答本題的關(guān)鍵．三.解答題1.（2015?浙江嘉興，第19題8分）如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于點G.（1）觀察圖形，寫出圖中所有與∠AED相等的角.（2）選擇圖中與∠AED相等的任意一個角，并加以證明.考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．.分析：（1）由圖示得出∠DAG，∠AFB，∠CDE與∠AED相等；（2）根據(jù)SAS證明△DAE與△ABF全等，利用全等三角形的性質(zhì)即可證明．解答：解：（1）由圖可知，∠DAG，∠AFB，∠CDE與∠AED相等；（2）選擇∠DAG=∠AED，證明如下：∵正方形ABCD，∴∠DAB=∠B=90°，AD=AB，∵AF=DE，在△DAE與△ABF中，，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠ADE=∠BAF，∵∠DAG+∠BAF=90°，∠GDA+∠AED=90°，∴∠DAG=∠AED．點評：此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)SAS證明△DAE與△ABF全等．2.（2015?浙江嘉興，第24題14分）類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”.（1）概念理解如圖1，在四邊形ABCD中，添加一個條件使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”.請寫出你添加的一個條件.（2）問題探究 ①小紅猜想：對角線互相平分的“等鄰邊四邊形”是菱形.她的猜想正確嗎？請說明理由。 ②如圖2，小紅畫了一個Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并將Rt△ABC沿∠ABC的平分線BB＇方向平移得到△A＇B＇C＇，連結(jié)AA＇，BC＇.小紅要是平移后的四邊形ABC＇A＇是“等鄰邊四邊形”，應平移多少距離（即線段BB＇的長）？（3）應用拓展 如圖3，“等鄰邊四邊形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD==90°，AC，BD為對角線，AC=2AB.試探究BC，CD，BD的數(shù)量關(guān)系.考點：四邊形綜合題．.分析：（1）由“等鄰邊四邊形”的定義易得出結(jié)論；（2）①先利用平行四邊形的判定定理得平行四邊形，再利用“等鄰邊四邊形”定義得鄰邊相等，得出結(jié)論；②由平移的性質(zhì)易得BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，再利用“等鄰邊四邊形”定義分類討論，由勾股定理得出結(jié)論；（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABF≌△ADC，由全等性質(zhì)得∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，F(xiàn)B=CD，利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD，由相似的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和得∠CBF=90°，利用勾股定理，等量代換得出結(jié)論．解答：解：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任寫一個即可）；（2）①正確，理由為：∵四邊形的對角線互相平分，∴這個四邊形是平行四邊形，∵四邊形是“等鄰邊四邊形”，∴這個四邊形有一組鄰邊相等，∴這個“等鄰邊四邊形”是菱形；②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，∴AC=，∵將Rt△ABC平移得到△A′B′C′，∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，（I）如圖1，當AA′=AB時，BB′=AA′=AB=2；（II）如圖2，當AA′=A′C′時，BB′=AA′=A′C′=；（III）當A′C′=BC′=時，如圖3，延長C′B′交AB于點D，則C′B′⊥AB，∵BB′平分∠ABC，∴∠ABB′=∠ABC=45°，∴∠BB′D=′∠ABB′=45°，∴B′D=B，設(shè)B′D=BD=x，則C′D=x+1，BB′=x，∵在Rt△BC′D中，BD2+（C′D）2=（BC′）2∴x2+（x+1）2=（）2，解得：x1=1，x2=﹣2（不合題意，舍去），∴BB′=x=，（Ⅳ）當BC′=AB=2時，如圖4，與（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+（C′D）2=（BC′）2，設(shè)B′D=BD=x，則x2+（x+1）2=22，解得：x1=，x2=（不合題意，舍去），∴BB′=x=；（3）BC，CD，BD的數(shù)量關(guān)系為：BC2+CD2=2BD2，如圖5，∵AB=AD，∴將△ADC繞點A旋轉(zhuǎn)到△ABF，連接CF，∴△ABF≌△ADC，∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，F(xiàn)B=CD，∴∠BAD=∠CAF，==1，∴△ACF∽△ABD，∴==，∴BD，∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣（∠BAD+∠BCD）=360°﹣90°=270°，∴∠ABC+∠ABF=270°，∴∠CBF=90°，∴BC2+FB2﹣CF2=（BD）2=2BD2，∴BC2+CD2=2BD2．點評：本題主要考查了對新定義的理解，菱形的判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)等，理解新定義，分類討論是解答此題的關(guān)鍵．3.（2015?浙江金華，第21題8分）如圖，在矩形ABCD中，點F在邊BC上，且AF=AD，過點D作DE⊥AF，垂足為點E.（1）求證：DE=AB；（2）以D為圓心，DE為半徑作圓弧交AD于點G，若BF=FC=1，試求的長.【答案】解：（1）證明：∵DE⊥AF，∴∠AED=90°.又∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B=90°.∴∠DAE=∠AFB，∠AED=∠B=90°.又∵AF=AD，∴△ADE≌△FAB（AAS）.∴DE=AB.（2）∵BF=FC=1，∴AD=BC=BF+FC=2.又∵△ADE≌△FAB，∴AE=BF=1.∴在Rt△ADE中，AE=AD.∴∠ADE=30°.又∵DE=，∴.【考點】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定和性質(zhì)；含30度角直角坐標三角形的性質(zhì)；勾股定理；弧長的計算.【分析】（1）通過應用AAS證明△ADE≌△FAB即可證明DE=AB.（2）求出∠ADE和DE的長即可求得的長.4．（2015·四川甘孜、阿壩，第27題10分）已知E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊BC，CD上的點，AF，DE相交于點G，當E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點時，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．試探究下列問題：（1）如圖1，若點E不是邊BC的中點，F(xiàn)不是邊CD的中點，且CE=DF，上述結(jié)論①，②是否仍然成立？（請直接回答“成立”或“不成立”），不需要證明）（2）如圖2，若點E，F(xiàn)分別在CB的延長線和DC的延長線上，且CE=DF，此時，上述結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由；（3）如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，連接AE和BF，若點M，N，P，Q分別為AE，EF，F(xiàn)D，AD的中點，請判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種，并證明你的結(jié)論．考點：四邊形綜合題．.專題：綜合題．分析：（1）由四邊形ABCD為正方形，CE=DF，易證得△ADF≌△DCE（SAS），即可證得AF=DE，∠DAF=∠CDE，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可證得AF⊥DE；（2）由四邊形ABCD為正方形，CE=DF，易證得△ADF≌△DCE（SAS），即可證得AF=DE，∠E=∠F，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可證得AF⊥DE；（3）首先設(shè)MQ，DE分別交AF于點G，O，PQ交DE于點H，由點M，N，P，Q分別為AE，EF，F(xiàn)D，AD的中點，即可得MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，然后由AF=DE，可證得四邊形MNPQ是菱形，又由AF⊥DE即可證得四邊形MNPQ是正方形．解答：解：（1）上述結(jié)論①，②仍然成立，理由為：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（2）上述結(jié)論①，②仍然成立，理由為：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠E=∠F，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（3）四邊形MNPQ是正方形．理由為：如圖，設(shè)MQ，DE分別交AF于點G，O，PQ交DE于點H，∵點M，N，P，Q分別為AE，EF，F(xiàn)D，AD的中點，∴MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，∴四邊形OHQG是平行四邊形，∵AF=DE，∴MQ=PQ=PN=MN，∴四邊形MNPQ是菱形，∵AF⊥DE，∴∠AOD=90°，∴∠HQG=∠AOD=90°，∴四邊形MNPQ是正方形．點評：此題屬于四邊形的綜合題，考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)．注意證得△ADF≌△DCE（SAS），掌握三角形中位線的性質(zhì)是關(guān)鍵．5．（2015·山東濰坊第23題12分）如圖1，點O是正方形ABCD兩對角線的交點，分別延長OD到點G，OC到點E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG，DE．（1）求證：DE⊥AG；（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如圖2．①在旋轉(zhuǎn)過程中，當∠OAG′是直角時，求α的度數(shù)；②若正方形ABCD的邊長為1，在旋轉(zhuǎn)過程中，求AF′長的最大值和此時α的度數(shù)，直接寫出結(jié)果不必說明理由．考點：幾何變換綜合題．.分析：（1）延長ED交交AG于點H，易證△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后運用等量代換證明∠AHE=90°即可；（2）①在旋轉(zhuǎn)過程中，∠OAG′成為直角有兩種情況：α由0°增大到90°過程中，當∠OAG′=90°時，α=30°，α由90°增大到180°過程中，當∠OAG′=90°時，α=150°；②當旋轉(zhuǎn)到A、O、F′在一條直線上時，AF′的長最大，AF′=AO+OF′=+2，此時α=315°．解答：解：（1）如圖1，延長ED交AG于點H，∵點O是正方形ABCD兩對角線的交點，∴OA=OD，OA⊥OD，∵OG=OE，在△AOG和△DOE中，，∴△AOG≌△DOE，∴∠AGO=∠DEO，∵∠AGO+∠GAO=90°，∴∠AGO+∠DEO=90°，∴∠AHE=90°，即DE⊥AG；（2）①在旋轉(zhuǎn)過程中，∠OAG′成為直角有兩種情況：（Ⅰ）α由0°增大到90°過程中，當∠OAG′=90°時，∵OA=OD=OG=OG′，∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O==，∴∠AG′O=30°，∵OA⊥OD，OA⊥AG′，∴OD∥AG′，∴∠DOG′=∠AG′O=30°，即α=30°；（Ⅱ）α由90°增大到180°過程中，當∠OAG′=90°時，同理可求∠BOG′=30°，∴α=180°﹣30°=150°．綜上所述，當∠OAG′=90°時，α=30°或150°．②如圖3，當旋轉(zhuǎn)到A、O、F′在一條直線上時，AF′的長最大，∵正方形ABCD的邊長為1，∴OA=OD=OC=OB=，∵OG=2OD，∴OG′=OG=，∴OF′=2，∴AF′=AO+OF′=+2，∵∠COE′=45°，∴此時α=315°．點評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)的綜合運用，有一定的綜合性，分類討論當∠OAG′是直角時，求α的度數(shù)是本題的難點．6．（2015?北京市,第28題，7分）在正方形ABCD中，BD是一條對角線，點P在射線CD上（與點C、D不重合），連接AP，平移，使點D移動到點C，得到，過點Q作于H，連接AH，PH。(1)若點P在線段CD上，如圖1。①依題意補全圖1；②判斷AH與PH的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明；(2)若點P在線段CD的延長線上，且，正方形ABCD的邊長為1，請寫出求DP長的思路。（可以不寫出計算結(jié)果）AABCDPABCD圖1備用圖【考點】正方形及其平移【難度】較難【答案】【點評】此題主要考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)對稱等知識點。這是一道綜合習題7．（2015?甘肅蘭州,第25題，9分）如圖，四邊形ABCD中AB∥CD，AB≠CD，BD=AC。（1）求證：AD=BC；（2）若E，F(xiàn)，F(xiàn)，H分別是AB，CD，AC，BD的中點，求證：線段EF與線段GH互相垂直平分?！究键c解剖】本題考查特殊四邊形的性質(zhì)，和等腰三角形性質(zhì)中的相關(guān)知識點。【知識準備】在同一個三角形中，相等的邊所對的角相等；平行四邊形對邊相等【思路點拔】（1）要說明AD=BC，只要能說明△ACD≌△BDC，現(xiàn)已有AC=BD，CD=DC，那么關(guān)鍵是如何說明∠1=∠2；這里需要注意的是：由AC=BD，并不能直接得出結(jié)論∠1=∠2，因為AC和BD并非同一個三角形中的元素。能否以某一角為媒介，使得∠1和∠2都與之相等？結(jié)合已知條件中的AC=BD，如果能夠構(gòu)造出以AC和BD為其中兩邊的三角形，那么它們所對的角自然相等。為此，可將AC平移，使點A到點B位置（如圖），那么有∠2=∠K，而∠K=∠1，則有∠2=∠1，問題得以解決；（2）要說明線段EF與線段GH互相垂直平分，只要能說明線段EF與GH是菱形的兩條對角線即可。【解答過程】（1）延長DC至K，使CK=AB，∵ABCK，∴四邊形ABKC是平行四邊形，則在□ABKC中，有ACBK，∴∠1=∠K，∵BD=AC，AC=BK，∴BD=BK，則有∠2=∠K，∵∠2=∠K，∠1=∠K，∴∠1=∠2?！鰽CD和△BDC中，∵，∴△ACD≌△BDC（SAS），∴AD=BC；（2）分別連結(jié)EH，HF，F(xiàn)G和GE，∵E，H分別是AB，DB的中點，∴EHAD，同理：GFAD，EGBC，HFBC，∵AD=BC，∴EH=HF=FG=GE，∴四邊形EHFG是菱形，∴EF與GH互相垂直平分（菱形的對角線互相垂直平分）?！绢}目星級】★★★★【解題策略】很多時候，在直接說明某兩個量相等（如本題中需證明∠1=∠2）有困難時，我們往往可以尋找第三方媒介，分別說明目標的兩個量與第三方的這個量相等，從而達到說明兩個目標量相等的目的。例如證明本題中的∠1=∠2，以及本卷第19題中的，或者S1=S2。8.（2015山東省德州市，20，8分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的對角線OB，AC相交于點D，且BE∥AC,AE∥OB.(1)求證：四邊形AEBD是菱形；(2)如果OA=3,OC=2,求出經(jīng)過點E的反比例函數(shù)解析式.【答案】（1）見解析；（2）∴所求的反比例函數(shù)解析式為.考點：平行四邊形的判定、菱形的判定；矩形、菱形的性質(zhì)；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式．9,（2015山東濟寧，19，8分）(本題滿分8分)如圖，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一個外角.實踐與操作：根據(jù)要求尺規(guī)作圖，并在圖中標明相應字母（保留作圖痕跡，不寫作法）.（1）作∠DAC的平分線AM；（2）作線段AC的垂直平分線，與AM交于點F，與BC邊交于點E，連接AE、CF.猜想并證明：判斷四邊形AECF的形狀并加以證明.【答案】試題解析：（1）（2）猜想：四邊形AECF是菱形證明：∵AB=AC，AM平分∠CAD∴∠B=∠ACB，∠CAD=2∠CAM∵∠CAD是△ABC的外角∴∠CAD=∠B+∠ACB∴∠CAD=2∠ACB∴∠CAM=∠ACB∴AF∥CE∵EF垂直平分AC∴OA=OC,∠AOF=∠COE=∴AOF≌△COE∴AF=CE在四邊形AECF中，AF∥CE，AF=CE∴四邊形AECF是平行四邊形又∵EF⊥AC∴四邊形AECF是菱形考點：角平分線，線段的垂直平分線的基本作圖，等腰三角形的內(nèi)外角，三角形全等，菱形的判定10.（2015?江蘇泰州,第25題12分）如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的動點，且AE=BF=CG=DH（1）求證：四邊形EFGH是正方形；（2）判斷直線EG是否經(jīng)過一個定點，并說明理由；（3）求四邊形EFGH面積的最小值?！敬鸢浮?1)證明見解析；（2）直線EG經(jīng)過一個定點，這個定點為正方形的中心（AC、BD的交點）；理由見解析；（3）32cm2【解析】（2）解：直線EG經(jīng)過一個定點，這個定點為正方形的中心（AC、BD的交點）；理由如下：連接AC、EG，交點為O；如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠OAE=∠OCG，在△AOE和△COG中，，∴△AOE≌△COG（AAS），∴OA=OC，即O為AC的中點，∵正方形的對角線互相平分，∴O為對角線AC、BD的交點，即O為正方形的中心；（3）解：設(shè)四邊形EFGH面積為S，設(shè)BE=xcm，則BF=（8－x）cm，根據(jù)勾股定理得：EF2=BE2+BF2=x2+（8－x）2，∴S=x2+（8－x）2=2（x－4）2+32，∵2＞0，∴S有最小值，當x=4時，S的最小值=32，∴四邊形EFGH面積的最小值為32cm2考點：四邊形綜合題．11.（2015?江蘇徐州,第23題8分）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F(xiàn)分別在直線AD的兩側(cè)，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．（1）求證：四邊形BFCE是平行四邊形；（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，則BE=4時，四邊形BFCE是菱形．考點：平行四邊形的判定；菱形的判定．.分析：（1）由AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，易證得△AEC≌△DFB，即可得BF=EC，∠ACE=∠DBF，且EC∥BF，即可判定四邊形BFCE是平行四邊形；（2）當四邊形BFCE是菱形時，BE=CE，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得到結(jié)果．解答：（1）證明：∵AB=DC，∴AC=DF，在△AEC和△DFB中，∴△AEC≌△DFB（SAS），∴BF=EC，∠ACE=∠DBF∴EC∥BF，∴四邊形BFCE是平行四邊形；（2）當四邊形BFCE是菱形時，BE=CE，∵AD=10，DC=3，AB=CD=3，∴BC=10﹣3﹣3=4，∵∠EBD=60°，∴BE=BC=4，∴當BE=4時，四邊形BFCE是菱形，故答案為：4．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用，注意掌握輔助線的作法．12,（2015?山東東營,第24題10分）如圖，兩個全等的△和△重疊在一起，固定△，將△進行如下變換：（1）如圖1，△沿直線CB向右平移（即點F在線段CB上移動），連接AF、AD、BD，請直接寫出與的關(guān)系；（2）如圖2，當點F平移到線段BC的中點時，若四邊形AFBD為正方形，那么△應滿足什么條件？請給出證明；（3）在（2）的條件下，將△沿DF折疊，點E落在FA的延長線上的點G處，連接CG，請你在圖3的位置畫出圖形，并求出的值．【答案】(1)(1)S△ABC=S四邊形AFBD；△ABC為等腰直角三角形，即：AB=AC，∠BAC=90°,證明見解析；圖形見解析；sin∠CGF=.【解析】試題分析：(1)由平移可知AD=BE，從而可得S△DBE=S△DFA，S△ABC=S△DFE，S△DFE=S△DFB+S△DBE，S△ABC=S四邊形AFBD；若四邊形AFBD是正方形，則∠AFB=90°，AF=BF，又CF=BF，從而可知AF=AF=BF，從而可得∠BAC=90°，AB=AC；（3）由（2）知，△ABC為等腰直角三角形,從而可知GF=2CF，設(shè)CF=,則GF=EF=CB=2k，由勾股定理，得：CG=k,從而可求得sin∠CGF=.試題解析：(1)S△ABC=S四邊形AFBD；(2)△ABC為等腰直角三角形，即：AB=AC，∠BAC=90°,理由如下：∵Ｆ為BC的中點，∴CF=BF，∵CF=AD，∴AD=BF，又∵AD∥BF，∴四邊形AFBD為平行四邊形，∵AB=AC,Ｆ為BC的中點，∴AF⊥BC，∴平行四邊形AFBD為矩形，∵∠BAC=90°,F為BC的中點，∴AF=BC=BF，∴四邊形AFBD為正方形；正確畫出圖形由（2）知，△ABC為等腰直角三角形,AF⊥BC，設(shè)CF=k，則GF=EF=CB=2k，由勾股定理，得：CG=k,sin∠CGF===.考點：三角形綜合題.13.（2015?山東聊城,第21題8分）如圖，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四邊形ABED是平行四邊形，DE交BC于點F，連接CE．求證：四邊形BECD是矩形．考點：矩形的判定．.專題：證明題．分析：根據(jù)已知條件易推知四邊形BECD是平行四邊形．結(jié)合等腰△ABC“三線合一”的性質(zhì)證得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一內(nèi)角為直角的平行四邊形是矩形”得到?BECD是矩形．解答：證明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD=CD．∵四邊形ABED是平行四邊形，∴BE∥AD，BE=AD，∴四邊形BECD是平行四邊形．∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴?BECD是矩形．點評：本題考查了矩形的判定．矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．14．(2015·南寧，第23題8分)如圖12，在□ABCD中，E、F分別是AB、DC邊上的點，且AE=CF，（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）若DEB=90°，求證四邊形DEBF是矩形.圖12圖12考點：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定．.專題：證明題．分析：（1）由在?ABCD中，AE=CF，可利用SAS判定△ADE≌△CBF．（2）由在?ABCD中，且AE=CF，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可證得四邊形DEBF是平行四邊形，又由∠DEB=90°，可證得四邊形DEBF是矩形．解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=CB，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）．（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∵AE=CF，∴BE=DF，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠DEB=90°，∴四邊形DEBF是矩形．點評：此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意有一個角是直角的平行四邊形是矩形，首先證得四邊形ABCD是平行四邊形是關(guān)鍵．15.（2015?四川成都,第27題10分）已知分別為四邊形和的對角線，點在內(nèi)，。（1）如圖①，當四邊形和均為正方形時，連接。1)求證：∽；2）若，求的長。（2）如圖②，當