2019中考數(shù)學分類匯編：知識點26等腰三角形與等邊三角形

一、選擇題12．（2019·煙臺）如圖，AB是的直徑，直線DE與相切于點C，過點A，B分別作，，垂足為點D，E，連接AC，BC．若，，則的長為（）．A．B．C．D．第12題答圖第12題答圖【答案】D【解題過程】連接OC，因為，，所以所以因為AB是的直徑，所以，所以，所以，在△ADC與△CED,因為，所以△ADC∽△CED,所以在Rt△ACB中，，所以，又因為，所以△AOC是等邊三角形，所以，因為直線DE與相切于點C，所以，因為，，所以AD//OC，所以，所以，所以，所以△AOC是等邊三角形，所以，，所以的長為．8．（2019·婁底）如圖（2），邊長為的等邊△ABC的內(nèi)切圓的半徑為（）1B．C．2D．【答案】A【解析】由等邊三角形的內(nèi)心即為中線，底邊高，角平分線的交點，則在直角三角形OCD中，從而解得．如圖（2－1），設D為⊙O與AC的切點，連接OA和OD，∵等邊三角形的內(nèi)心即為中線，底邊高，角平分線的交點，∴OD⊥AC，∠OAD＝30°，OD即為圓的半徑．又∵，∴∴在直角三角形OAD中，，代入解得：OD＝1．故答案為1．1.（2019·濰坊）如圖已知∠AOB，按照以下步驟作圖：①以點O為圓心，以適當?shù)拈L為半徑作弧，分別交∠AOB的兩邊于C，D兩點，連接CD．②分別以點C，D為圓心，以大于線段OC的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點E，連接CE，DE．③連接OE交CD于點M．下列結論中錯誤的是（）A．∠CEO=∠DEOB．CM=MDC．∠OCD=∠ECDD．S四邊形OCED=CD·OE【答案】C【解析】由作圖可知OC=OD，CE＝DE，OE＝OE，所以△OCE≌ODE，∴∠CEO=∠DEO，選項A正確，根據(jù)“三線合一”可知，CM=MD，CD⊥OE，所以選項B、D正確；選項C錯誤；故選C.2.（2019·衢州）“三等分角”大約是在公元前五世紀由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角。這個三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點相連并可繞O轉動。C點固定，OC=CD=DE，點D，E可在槽中滑動，若∠BDE=75°，則∠CDE的度數(shù)是A.60° B.65° C.75° D.80°【答案】D【解析】本題考查等腰三角形及三角形外角的性質(zhì)，因為OC=CD=DE，所以∠O=∠CDO,∠DCE=∠CED.所以∠DCE=2∠O，∠EDB=3∠O=75°,所以∠O=25°,∠CED=∠ECD=50°,所以∠CDE=180°-∠CED-∠ECD=180°-50°-50°=80°，故選D.3.（2019·重慶A卷）如圖，在△ABC中，D是AC邊上的中點，連結BD，把△BDC′沿BD翻折，得到△，與AB交于點E，連結，若AD＝＝2，BD＝3，則點D到的距離為（）A．B．C．D．第第12題圖【答案】B【解析】如答圖，過點D作DM⊥于點M，過點B作BN⊥于點N，由翻折可知＝DC＝AD＝2，∠BDC＝∠B．∵AD＝＝2，∴△是等邊三角形，從而∠＝∠B＝∠BDC＝60°．在Rt△BDN中，DN＝BD＝，BN＝，從而＝．于是，＝＝．∵＝，∴DM＝＝＝．故選B．4.(2019·聊城)如圖在等腰直角三角形ABC中,∠BAC＝90°,一個三角尺的直角頂點與BC邊的中點O重合,且兩條直角邊分別經(jīng)過點A和點B,將三角尺繞點O按順時針方向旋轉任意一個銳角,當三角尺的兩直角邊與AB,AC分別交于點E,F時,下列結論中錯誤的是A.AE+AF＝AC B.∠BEO+∠OFC＝180° C.OE+OF＝BC D.S四邊形AEOF＝S△ABC【答案】C【解析】連接AO,易得△AEO≌△CFO,∴AE+AF＝CF+AF＝AC,故A正確；∠BEO+∠OFC＝∠BEO+∠AEO＝180°,故B正確；隨著三角形的轉動,OE和OF的長度會變化,故C錯誤；S四邊形AEOF＝S△AEO+S△AFO＝S△CFO+S△AFO＝S△ABC,故D正確；故選C.5.6.7.8.9.10.二、填空題14．（2019·紹興）如圖，在直線AP上方有一個正方形ABCD，∠PAD=30°，以點B為圓心，AB為半徑作弧，與AP交于點A,M，分別以點A,M為圓心，AM長為半徑作弧，兩弧交于點E，連結ED，則∠ADE的度數(shù)為.【答案】15°或45°【解析】因為∠PAD＝30°，以點B為圓心，AB為半徑作弧，與AP交于點A,M，而∠BAM＝60°，所以△BAM是等邊三角形；又以點A,M為圓心，AM長為半徑作弧，交點有兩個E或B有兩種情況：①由題意△AME是等邊三角形，所以∠EAM＝60°，所以∠DAE＝30°+120°＝150°，又AD＝AM＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝（180°－150°）＝15°；②點E與B重合，所以∠ADB（E）＝45°.14．（2019·常德）如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，點D在AC邊上，將△ABD繞點A逆時針旋轉45°得到△ACD′，且點D′、D、B三點在同一直線上，則∠ABD的度數(shù)是．【答案】22.5°【解析】根據(jù)題意可知△ABD≌△ACD′，∴∠BAC＝∠CAD′＝45°，AD′＝AD，∴∠ADD′＝∠AD′D＝＝67.5°，∵D′、D、B三點在同一直線上，∴∠ABD＝∠ADD′－∠BAC＝22.5°．1.（2019·懷化）若等腰三角形的一個底角為72°，則這個等腰三角形的頂角為________.【答案】36°.【解析】解：∵等腰三角形的一個底角為72°，∴這個等腰三角形的頂角為180°-72°×2=36°.故答案為36°.2.3.4.5.6.7.8.三、解答題19.（2019浙江省杭州市，19，8分）(本題滿分8分)如圖在△ABC中，AC＜AB＜BC.(1)已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點P，連接AP，求證:∠APC=2∠B.(2)以點B為圓心，線段AB的長為半徑畫弧，與BC邊交于點Q，連接AQ.若∠AQC=3∠B，求∠B的度數(shù).（第19（第19題(2)）（第19題(1)）【解題過程】（1）證明：∵線段AB的垂直平分線與BC邊交于點P，∴PA=PB，∴∠B=∠BAP，∵∠APC=∠B+∠BAP，∴∠APC=2∠B；（2）根據(jù)題意可知BA=BQ，∴∠BAQ=∠BQA，∵∠AQC=3∠B，∠AQC=∠B+∠BAQ，∴∠BQA=2∠B，∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°．25．（2019江蘇鹽城卷，25，10）如圖①是一張矩形紙片，按以下步驟進行操作：（=1\*ROMANI）將矩形紙片沿DF折疊，使點A落在CD邊上點E處，如圖②；（=2\*ROMANII）在第一次折疊的基礎上，過點C再次折疊，使得點B落在邊CD上點B、處，如圖③，兩次折痕交于點O；（=3\*ROMANIII）展開紙片，分別連接OB、OE、OC、FD，如圖④【探究】（1）證明：△OBC≌△OED；（2）若AB=8，設BC為x，OB2為y，求y關于x的關系式.圖①圖②圖③圖④【解題過程】解：（1）由折疊可知BC=AD=AF=DE，∴CB=CB、，由兩次折疊可知∠BCO=∠DCO=∠ODE=45O，∴△OCD是等腰直角三角形，OC=OD∴△OBC≌△OED（2）如圖，過O向BC做ON⊥BC于N，則△OCN是等腰直角三角形，又△OCD是等腰直角三角形，OC=OD，∴CD=8，OC=,ON=CN=4，在直角三角形BON中，OB2=BN2+ON2∴=（4<x＜8）25．（2019·株洲）四邊形ABCD是⊙O的圓內(nèi)接四邊形，線段AB是⊙O的直徑，連結AC、BD．點H是線段BD上的一點，連結AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延長線與CD的延長線相交于點P．（1）求證：四邊形ADCH是平行四邊形；（2）若AC＝BC，PB＝PD，AB＋CD＝2(＋1)．①求證：△DHC為等腰直角三角形；②求CH的長度．【解題過程】(1)∵∠CBD=∠CAD,∠ACH＝∠CBD，∴∠CAD=∠ACH，∴CH∥AD，∵AD＝CH，∴四邊形ADCH是平行四邊形（2）①∵AB是直徑，∴∠ADB=∠ACB=90°，∵CH∥AD，∴∠CHD=∠ADB=90°，∵AC＝BC，∴∠CAB=45°，∴∠CDB=∠CAB=45°，∴△DHC為等腰直角三角形②∵四邊形ABCD是⊙O的圓內(nèi)接四邊形，∴∠PDA=∠PBC，∵∠P=∠P，∴△PDA∽△PBC，∴,∵△DHC和△ABC為等腰直角三角形，∴AB=,CD=,∴∵AB＋CD＝2(＋1)∴CD+CD=2(＋1)∴CD=2，∴CH=26．（2019·常德）在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于點M，BN⊥AC交AC于點N．（1）在圖12中，求證：△BMC≌△CNB；（2）在圖13中的線段CB上取一動點P，過P作PE∥AB交CM于點E，作PF∥AC交NB于點F，求證：PE+PF＝BM；（3）在圖14中動點P在線段CB的延長線上，類似（2）過P作PE∥AB交CM的延長線于點E，作PF∥AC交NB的延長線于點F，求證：AM·PF+OM·BN＝AM·PE．【解題過程】（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵CM⊥AB，BN⊥AC，∴∠BMC＝∠CNB＝90°，又∵BC＝BC，∴△BMC≌△CNB；（2）連接OP，∵PE∥AB，PF∥AC，∴∠BMC＝∠PEC＝90°，∠CNB＝∠PFB＝90°，∵＝＋，∴OC·BM＝OB·PF＋OC·PE．∵△BMC≌△CNB，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴PE+PF＝BM；（3）同上連接OP，∵＝－，∴OC·BM＝OC·PE－OB·PF，∵OB＝OC，∴PE－PF＝BM．∵∠BMC＝∠ANB＝90°，∠BMO＝∠NBA，△BOM∽△BAN，∴，∴OM·BN＝BM·AN＝（PE－PF）·AN，∵AB＝AC，BM＝CN，∴AM＝AN，∴OM·BN＝＝（PE－PF）·AM，∴AM·PF+OM·BN＝AM·PE．1.（2019·重慶A卷）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點，連結AD，BE平分∠ABC交AC于點E，過點E作EF∥BC交AB于點F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度數(shù)；（2）求證：FB＝FE．第第20題圖解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝36°．∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝108°．∵AB＝AC，D是BC邊上的中點，∴AD平分∠BAC．∴∠BAD＝∠BAC＝54°．（2）證明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE．∴∠ABE＝∠FEB．∴FB＝FE．2.（2019·重慶B卷）如圖，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于點D．若∠C=42°，求∠BAD的度數(shù)；若點E在邊AB上，EF∥AC交AD的延長線于點F．求證：AE=FE解：（1）（方法一）：∵AB=AC，∠C=42°，∴∠B=∠C=42°，∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－42°－42°=96°∵AD⊥BC∴∠BAD=∠BAC=×96°=48°（方法二）：∵AB=AC∠C=42°∴∠B=∠C=42°∵AD⊥BC于點D∴∠ADB=90°∴∠BAD=180°－90°－42°=48°（2）證明：∵EF∥AC∴∠CAF=∠F∵AB=AC，AD⊥BC∴∠CAF=∠BAF∴∠F=∠BAF∴AE=FE3.（2019·眉山）如圖，在四邊形ABCD中AB∥DC，點E是CD的中點，AE=BE．求證：∠D=∠C．證明：∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∵DC∥AB，∴∠DEA=∠EAB，∠CEB=∠EBA，∴∠DEA=∠CEB，在△EDA和△CEB中，，∴△EDA≌△CEB（SAS），∴∠D=∠C.4.（2019·無錫）如圖，在△ABC中，AB=AC,點D、E分別在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相