2018版高中數(shù)學(xué)（人教A版）必修2同步練習(xí)題：第1章 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)6

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(六)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．設(shè)正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是()A.eq\f(4,3)π B.eq\f(8π,3)C．4eq\r(3)π D．32eq\r(3)π【解析】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為a，由題意可知，6a2＝24，∴a＝2.設(shè)正方體外接球的半徑為R，則eq\r(3)a＝2R，∴R＝eq\r(3)，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.【答案】C2．兩個(gè)球的體積之比為8∶27，那么這兩個(gè)球的表面積之比為()A．2∶3 B．4∶9C.eq\r(2)∶eq\r(3) D.eq\r(8)∶eq\r(27)【解析】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πr3))∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πR3))＝r3∶R3＝8∶27，∴r∶R＝2∶3，∴S1∶S2＝r2∶R2＝4∶9.【答案】B3．體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A．12π B.eq\f(32,3)πC．8π D．4π【答案】A[設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則a3＝8，所以a＝2.所以正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2eq\r(3)，所以正方體外接球的半徑為eq\r(3)，所以球的表面積為4π·(eq\r(3))2＝12π，故選A.]4．一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，球心到這個(gè)平面的距離是4cm，則該球的體積是()A.eq\f(100π,3)cm3 B.eq\f(208π,3)cm3C.eq\f(500π,3)cm3 D.eq\f(416\r(13π),3)cm3【解析】根據(jù)球的截面性質(zhì)，有R＝eq\r(r2＋d2)＝eq\r(32＋42)＝5，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500,3)π(cm3)．【答案】C5．等邊圓柱(軸截面是正方形)、球、正方體的體積相等，它們的表面積的大小關(guān)系是()A．S球<S圓柱<S正方體 B．S正方體<S球<S圓柱C．S圓柱<S球<S正方體 D．S球<S正方體<S圓柱【解析】設(shè)等邊圓柱底面圓半徑為r，球半徑為R，正方體棱長(zhǎng)為a，則πr2·2r＝eq\f(4,3)πR3＝a3，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,r)))eq\s\up12(3)＝eq\f(3,2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,r)))eq\s\up12(3)＝2π，S圓柱＝6πr2，S球＝4πR2，S正方體＝6a2eq\f(S球,S圓柱)＝eq\f(4πR2,6πr2)＝eq\f(2,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,r)))eq\s\up12(2)＝eq\r(3,\f(2,3))<1，eq\f(S正方體,S圓柱)＝eq\f(6a2,6πr2)＝eq\f(1,π)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,r)))eq\s\up12(2)＝eq\r(3,\f(4,π))>1，故選A.【答案】A二、填空題6．一個(gè)幾何體的三視圖(單位：m)如圖1-3-19所示，則該幾何體的體積為________m3.圖1-3-19【解析】由三視圖知，幾何體下面是兩個(gè)球，球半徑為eq\f(3,2)；上面是長(zhǎng)方體，其長(zhǎng)、寬、高分別為6、3、1，所以V＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(3)×2＋1×3×6＝9π＋18.【答案】9π＋187．湖面上漂著一個(gè)小球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰面上留下了一個(gè)直徑為6cm，深為1cm的空穴，則該球半徑是________cm，表面積是________cm2.【解析】設(shè)球心為O，OC是與冰面垂直的一條球半徑，冰面截球得到的小圓圓心為D，AB為小圓D的一條直徑，設(shè)球的半徑為R，則OD＝R－1，則(R－1)2＋32＝R2，解得R＝5cm，所以該球表面積為S＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2)．【答案】5100π三、解答題8．如圖1-3-20，一個(gè)圓柱形的玻璃瓶的內(nèi)半徑為3cm，瓶里所裝的水深為8cm，將一個(gè)鋼球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm，求鋼球的半徑．圖1-3-20【解】設(shè)球的半徑為R，由題意可得eq\f(4,3)πR3＝π×32×0.5，解得R＝1.5(cm)，所以所求球的半徑為1.5cm.9．如圖1-3-21所示(單位：cm)四邊形ABCD是直角梯形，求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積和體積．圖1-3-21【解】eq\f(1,2)S球＝eq\f(1,2)×4π×22＝8π(cm2)，S圓臺(tái)側(cè)＝π(2＋5)eq\r(5－22＋42)＝35π(cm2)，S圓臺(tái)下底＝π×52＝25π(cm2)，即該幾何體的表面積為8π＋35π＋25π＝68π(cm2)．又V圓臺(tái)＝eq\f(π,3)×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×23＝eq\f(16π,3)(cm3)．所以該幾何體的體積為V圓臺(tái)－V半球＝52π－eq\f(16π,3)＝eq\f(140π,3)(cm3)．[能力提升]10．如圖1-3-22，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是eq\f(28π,3)，則它的表面積是()圖1-3-22A．17π B．18πC．20π D．28π【答案】A[由三視圖可知其對(duì)應(yīng)幾何體應(yīng)為一個(gè)切去了eq\f(1,8)部分的球，由eq\f(4,3)πr3×eq\f(7,8)＝eq\f(28π,3)，得r＝2，所以此幾何體的表面積為4πr2×eq\f(7,8)＋3×eq\f(1,4)πr2＝17π，故選A.]11．軸截面為正三角形的圓錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，若圓錐的底面半徑為2，求球的體積.【解】如圖所示，作出軸截面，因?yàn)椤鰽BC是正三角形，所以CD＝eq\f(1,2)AC＝2，所以AC＝4，AD＝eq\f(\r(3),2)×4＝2eq\r(3)，因?yàn)镽t△AOE∽R(shí)t△ACD，所以eq\f(OE,AO)＝eq\f(CD,AC).設(shè)OE＝R，則AO＝2eq\r(3)－R，所以eq\f(R,2\r(3)－R)＝eq\f(1,2)，所以R＝eq\f