十章二階線(xiàn)偏微分方程的分類(lèi)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第十章二階線(xiàn)性偏微分方程分類(lèi)

本章將介紹二階線(xiàn)性偏微分方程基本概念、分類(lèi)方法和偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)化.尤其對(duì)于常系數(shù)二階線(xiàn)性偏微分方程化簡(jiǎn)方法也進(jìn)行了詳細(xì)討論，這對(duì)后面偏微分方程求解是十分有用.第1頁(yè)10.1基本概念(1)

偏微分方程含有未知多元函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)方程，如其中是未知多元函數(shù)，而

是未知變量；

為偏導(dǎo)數(shù).有時(shí)為了書(shū)第2頁(yè)寫(xiě)方便，通常記(2)方程階偏微分方程中未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)最高階數(shù)稱(chēng)為方程階．(3)方程次數(shù)偏微分方程中最高階偏導(dǎo)數(shù)冪次數(shù)稱(chēng)為偏微分方程次數(shù)．第3頁(yè)(4)線(xiàn)性方程一個(gè)偏微分方程對(duì)未知函數(shù)和未知函數(shù)全部（組合）偏導(dǎo)數(shù)冪次數(shù)都是一次，就稱(chēng)為線(xiàn)性方程，高于一次以上方程稱(chēng)為非線(xiàn)性方程．(5)準(zhǔn)線(xiàn)性方程一個(gè)偏微分方程，假如僅對(duì)方程中全部最高階偏導(dǎo)數(shù)是線(xiàn)性，則稱(chēng)方程為準(zhǔn)線(xiàn)性方程．(6)自由項(xiàng)在偏微分方程中，不含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)稱(chēng)為自由項(xiàng)．第4頁(yè)比如：方程通解和特解概念二階線(xiàn)性非齊次偏微分方程通解為其中是兩個(gè)獨(dú)立任意函數(shù)．因?yàn)榉匠虨槎A，所以是兩個(gè)任意函數(shù)．若給函數(shù)指定為特殊，則得到解第5頁(yè)稱(chēng)為方程特解．

n階常微分方程通解含有n個(gè)任意常數(shù)，而n階偏微分方程通解含有n個(gè)任意函數(shù)．10.2數(shù)學(xué)物理方程分類(lèi)第6頁(yè)

在數(shù)學(xué)物理方程建立過(guò)程中，我們主要討論了三種類(lèi)型偏微分方程：波動(dòng)方程；熱傳導(dǎo)方程；穩(wěn)定場(chǎng)方程．這三類(lèi)方程描寫(xiě)了不一樣物理現(xiàn)象及其過(guò)程，后面我們將會(huì)看到它們解也表現(xiàn)出各自不一樣特點(diǎn)．我們?cè)诮馕鰩缀沃兄缹?duì)于二次實(shí)曲線(xiàn)其中為常數(shù)，且設(shè)第7頁(yè)則當(dāng)

時(shí)，上述二次曲線(xiàn)分別為雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)和橢圓．受此啟發(fā)，下面我們來(lái)對(duì)二階線(xiàn)性偏微分方程進(jìn)行分類(lèi).

下面主要以含兩個(gè)自變量二階線(xiàn)性偏微分方程為例，進(jìn)行理論分析．而對(duì)于更多個(gè)自變量情形盡管要復(fù)雜一些，但討論基本方法是一樣．兩個(gè)自變量(x,y)二階線(xiàn)性偏微分方程所含有普遍形式為第8頁(yè)（10.2.1）其中為已知函數(shù)．

定理10.2.1假如是方程(10.2.2)普通積分，則是方程第9頁(yè)(10.2.3)一個(gè)特解．在詳細(xì)求解方程(10.2.10)時(shí)，需要分三種情況討論判別式1.當(dāng)判別式以求得兩個(gè)實(shí)函數(shù)解

時(shí)，從方程(10.2.10)可第10頁(yè)也就是說(shuō)，偏微分方程(10.2.1)有兩條實(shí)特征線(xiàn)．于是，令即可使得．同時(shí)，依據(jù)(10.2.4)式，就能夠斷定．所以，方程(10.2.6)即為(10.2.4)第11頁(yè)或者深入作變換于是有所以第12頁(yè)又能夠深入將方程(10.2.11)化為

這種類(lèi)型方程稱(chēng)為雙曲型方程．我們前面建立波動(dòng)方程就屬于這類(lèi)型．2．當(dāng)判別式時(shí)：這時(shí)方程(10.2.10)一定有重根第13頁(yè)因而只能求得一個(gè)解，比如，，特征線(xiàn)為

一條實(shí)特征線(xiàn)．作變換就能夠使由(10.2.4)式能夠得出，一定有，故可推出．這么就能夠任意選取另一個(gè)變換，只要它和彼此獨(dú)立，即雅可俾式第14頁(yè)即可．這么，方程(10.2.6)就化為

這類(lèi)方程稱(chēng)為拋物型方程．熱傳導(dǎo)（擴(kuò)散）方程就屬于這種類(lèi)型．第15頁(yè)3.當(dāng)判別式面討論，只不過(guò)得到時(shí)：這時(shí)，能夠重復(fù)上和是一對(duì)共軛復(fù)函數(shù)，或者說(shuō)，偏微分方程(10.2.1)兩條特征線(xiàn)是一對(duì)共軛復(fù)函數(shù)族．于是是一對(duì)共軛復(fù)變量．深入引進(jìn)兩個(gè)新實(shí)變量第16頁(yè)于是所以

方程(10.2.11)又能夠深入化為第17頁(yè)

這種類(lèi)型方程稱(chēng)為橢圓型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程和Helmholtz方程都屬于這種類(lèi)型．

總而言之，要判斷二階線(xiàn)性偏微分方程屬于何種類(lèi)型，只需討論判別式

即可.

第18頁(yè)10.3二階線(xiàn)性偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)化對(duì)于二階線(xiàn)性偏微分方程(10.3.1)若判別式為，則二階線(xiàn)性偏微分方程分為三類(lèi)：第19頁(yè)時(shí)，方程稱(chēng)為雙曲型;時(shí)，方程稱(chēng)為拋物型;時(shí)，方程稱(chēng)為橢圓型;1.雙曲型偏微分方程因?yàn)殡p曲型方程對(duì)應(yīng)判別式所以特征曲線(xiàn)是兩族不一樣實(shí)函數(shù)曲線(xiàn)，第20頁(yè)設(shè)特征方程解為令(10.3.2)進(jìn)行自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)橐韵滦问降?1頁(yè)(10.3.3)上式稱(chēng)為雙曲型偏微分方程第一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式，再作變量代換，令或則偏微分方程又變?yōu)榈?2頁(yè)(10.3.4)上式稱(chēng)為雙曲型偏微分方程第二種形式．注：上式中“*”號(hào)不代表共軛，僅說(shuō)明是另外函數(shù)。如與是兩個(gè)不一樣函數(shù)。

2．拋物型偏微分方程第23頁(yè)因?yàn)閽佄镄推⒎址匠膛袆e式線(xiàn)是一族實(shí)函數(shù)曲線(xiàn)．，所以特征曲其特征方程解為(10.3.5)所以令進(jìn)行自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)?10.3.6)第24頁(yè)上式稱(chēng)為拋物型偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式．3.橢圓型偏微分方程橢圓型偏微分方程判別式，所以特征曲線(xiàn)是一組共軛復(fù)變函數(shù)族．其特征方程解為(10.3.7)若令第25頁(yè)(10.3.8)作自變量變換，則偏微分方程變?yōu)?10.3.9)上式稱(chēng)為橢圓型偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式．第26頁(yè)10.4二階線(xiàn)性常系數(shù)偏微分方程深入化簡(jiǎn)

假如二階偏微分方程系數(shù)是常數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)形式方程還能夠深入化簡(jiǎn)．下面按三種類(lèi)型分別介紹化簡(jiǎn)方法1.雙曲型

對(duì)于以下含常系數(shù)第一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式雙曲型標(biāo)準(zhǔn)方程還可深入化簡(jiǎn)第27頁(yè)注：上式中用小寫(xiě)字母代表常系數(shù)，方便與我們不妨令大寫(xiě)字母代表某函數(shù)區(qū)分開(kāi)來(lái),比如．為了化簡(jiǎn)，從而有(10.4.2)第28頁(yè)其中

由第二種標(biāo)準(zhǔn)形式雙曲型偏微分方程（含常系數(shù)）能夠進(jìn)一步化簡(jiǎn)(10.4.3)式中均為常系數(shù)．若令第29頁(yè)

則有(10.4.4)(10.4.5)其中第30頁(yè)對(duì)于含常系數(shù)拋物型偏微分標(biāo)準(zhǔn)方程（含常系數(shù)）

（10.4.6）還能夠深入化簡(jiǎn)．上式中小寫(xiě)字母均為常系數(shù)．為了化簡(jiǎn)，不妨令從而有(10.4.7)2.拋物型第31頁(yè)3.橢圓型對(duì)于以下第一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式橢圓型標(biāo)準(zhǔn)方程(含常系數(shù))(10.4.8)還能夠深入進(jìn)行化簡(jiǎn)．上式中小寫(xiě)字母為常系數(shù)．第32頁(yè)為了化簡(jiǎn)，不妨令從而有(10.4.9)其中第33頁(yè)

含有兩個(gè)自變量線(xiàn)性偏微分方程普通形式也能夠?qū)懗上旅嫘问剑浩渲蠰是二階線(xiàn)性偏微分算符，G是x,y函數(shù)．線(xiàn)性偏微分算符有以下兩個(gè)基本特征：10.5線(xiàn)性偏微分方程解特征第34頁(yè)其中均為常數(shù)．深入有以下結(jié)論：1.齊次線(xiàn)性偏微分方程解有以下特征：為方程解時(shí)，則也為方程解；(1).當(dāng)為方程解，則也是方程解；(2)若2.非齊次線(xiàn)性偏微分方程解含有以下特征：第35頁(yè)為非齊次方程特解，為齊次方程通解，則為非齊次方程通解；(