教學(xué)目的通過本節(jié)的教學(xué)使學(xué)生掌握n階行列式的省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課百校聯(lián)賽優(yōu)質(zhì)課一等獎?wù)n件

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教學(xué)目標(biāo)：經(jīng)過本節(jié)教學(xué)使學(xué)生掌握n階行列式性質(zhì)，并會用性質(zhì)計算行列式.

教學(xué)要求：了解行列式性質(zhì)，用性質(zhì)計算行列式.

教學(xué)重點：n階行列式性質(zhì).

教學(xué)難點：n階行列式性質(zhì)證實.

教課時間：2課時.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第1章§2.方陣行列式性質(zhì)2/23§2.方陣行列式性質(zhì)

有了n階行列式定義，我們就能夠計算n階行列式，在計算幾個特殊行列式過程中，發(fā)覺直接用定義計算是非常麻煩.

當(dāng)行列式階數(shù)較高時，計算是十分困難，為了簡化n階行列式計算，我們這一節(jié)主要研究行列式性質(zhì).

性質(zhì)1

若行列式某一列（行）元素都是兩數(shù)之和，則D等于以下兩個行列式之和：即3/23

證實設(shè)A=(aij)n×n，B=(bij)n×n，C=(cij)n×n，其中A第j列元素是B、C第j列對應(yīng)元素之和，A、B、C其余各列元素相同，即于是，由行列式定義=|B|+|C|.=4/23性質(zhì)2方陣A與其轉(zhuǎn)置矩陣AT行列式值相等.即|A|=|AT|.|AT|

證實顯然bij=ajar，按定義

由此性質(zhì)可知，行列式行與列含有相同地位，行列式性質(zhì)凡是對行成立對列也一樣成立，反之亦然.|AT|5/23

證實設(shè)

性質(zhì)3

若方陣A第i行(列)k倍所得矩陣為B，則|B|=k|A|于是6/23

推論2.1

行列式中某一行（列）全部元素公因子能夠提到行列式外面.即

比如7/23

性質(zhì)4

若方陣A經(jīng)過一次換法變換化為B，則|B|=-|A|.

證設(shè)行列式其中B是A交換i、j兩行而得矩陣，顯然有8/23于是=-|A|.

推論2.2假如行列式有兩行（列）完全相同,則此行列式等于零.

證實把這兩行交換，有

D=－D，故D=0.

推論2.3

行列式中假如有兩行（列）元素成百分比，則此行列式等于零.9/23

比如

性質(zhì)5

消法變換不改變行列式值.即若B=P(i,j[k])A或B=A

P(i,j[k])，則|B|=|A|.此性質(zhì)由性質(zhì)1及推論2.3即得.10/23

例1

計算.

解利用行列式性質(zhì)11/23=40.12/23

例2.

計算.

解利用行列式性質(zhì)得13/23

例3

計算.

解從倒數(shù)二行開始，把前一行（-1）倍加到后一行上去.14/23同理，可得.15/23

例4

計算

解把全部列都加到第一列上去，然后，從第一列提取公因子，再把第二、三、四行都減去第一行.16/2317/23

方陣行列式是矩陣一個運算，依據(jù)對應(yīng)性質(zhì)，方陣行列式含有以下運算規(guī)律.

設(shè)A、B均為

n階方陣，λ為常數(shù)，m為正整數(shù)，則1）|λA|=λn|A|;2）|AB|=|A||B|;3）|Am|=|A|m.1)顯然，3）是2）特例，所以，我們僅證實2）

設(shè)A=(aij),B=(bij).記2n階行列式18/23

顯然，D=|A||B|,而在D中以b1j乘第1列，b2j乘第2列，…

，bnj乘第n列,都加到第n+j列上（j=1,2,…

,n),有19/23D=即20/23

其中C=(cil),cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj,故C=AB.

再對D行作rj?

rn+j（j=1,2,…,n

），有從而有于是|AB|=|A||B|.D=(－1)n|－E||C|=(－1)n(－1)n|C

|=|C|=|AB|.

值得注意事，普通|A+B|≠|(zhì)A|+|B|.21/23

例6：設(shè)A,B均為n階方陣