基礎(chǔ)數(shù)學(xué)（第13章）

主講老師：第10章三角計算第11章數(shù)列第12章平面向量第13章圓錐曲線圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線它們在科學(xué)研究和我們的日常生活中應(yīng)用非常廣泛.例如，人造衛(wèi)星的軌道是橢圓；發(fā)電廠冷卻塔的軸截面曲線是雙光學(xué)性質(zhì)是密不可分的.本章我們就來學(xué)習(xí)圓錐曲線的相關(guān)知識.何性質(zhì)及應(yīng)用.幾何性質(zhì)及應(yīng)用.幾何性質(zhì)及應(yīng)用.細(xì)繩長大于；和之間的距離時，用筆尖將細(xì)繩拉緊，讓筆尖(即動點M)順勢在平面上移動一周.筆尖移動的軌跡就是一個橢圓.化簡整理可得a2-cx=a√(x-c)2+y2.兩邊分別平方，得a?-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,化簡整理可得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).已知α>c>0,因此a2-c2>0.令a2-c2=b2(b>0),則式(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)可變形為b2x2+a2y2=a2b2,兩邊同時除以a2b2,得這個方程就稱為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示焦點在x軸上，中心在坐標(biāo)原點上，焦點坐標(biāo)為F(-c,0),E?(c,0)的橢圓，其中c2=a2-b2. 學(xué)以致用;學(xué)以致用例2例2b2=a2-c2=s2-42=9.生活中的數(shù)學(xué)中國國家大劇院是北京市的地標(biāo)性建筑之一，如圖所示.遠(yuǎn)看時它的外形就是半個橢圓形，整個建筑倒映在水中時看起來就是一個完整的橢圓形.白天襯著藍(lán)天和白云，晚上伴著月色和燈光，它就像一顆水上的明珠，格外美麗.觀察下圖，中國國家大劇院的橢圓外形有何特點?圖1這里我們通過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來研究橢圓的幾何性質(zhì)，主要包括橢圓的范圍、對稱性、頂點和離心率等.由知，橢圓上任意一點的坐標(biāo)(x,y)都滿足不等式刻1,1,即-a刻xa這說明橢圓位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形里，如圖1所示.例如，橢圓位于直線x=±5和y=±3所圍成的矩形里，如圖2所示.2.對稱性在方程中，將x換成-x,方程不變，這說明當(dāng)點P(x,y)在橢圓上時，它關(guān)于y軸的對稱點P(-x,y)也在橢圓上，因此橢圓關(guān)于y軸對稱；同理，將y換成-y,方程不變，因此橢圓關(guān)于x軸對稱；同理，將x,y分別換成-x,-y,方程也不變，因此橢圓關(guān)于原點對稱.綜上可知，橢圓既是分別以r軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，又是以原點為對稱中心的中心對稱圖形.橢圓的對稱中心稱為橢圓的中心.3.頂點在方程中，令y=0,解得x=±a,這說明點A(-a,0),A(a,0)是橢圓與x軸的兩個交點；同理，令x=0,解得y=±b,這說明點B(0,-b),B.(0,b)是橢圓與y軸的兩個交點，如圖所示.因為x軸和y軸是橢圓的對稱軸，所以橢圓與它的對稱軸有四個交點，這四個交點稱為橢圓的頂.線段AA?和B,B,分別稱為橢圓的長軸和短軸.它們的長分別等于2a和2b,a和b分別稱為橢圓的長半軸長和短半軸長，例如，橢圓四個頂點坐標(biāo)為(-5,0),(5,0),(0,-3),(0,3),長軸長為10,短軸長為6.4.離心率不同形狀的橢圓，其扁平程度也不同，這一特征可通過橢圓的半焦距c及長半軸長a來反映.橢圓的半焦距與長半軸長之比C稱為橢圓的離心率，用e表示，即u因為a>c>0,所以0<e<1.例如，橢圓的離心率為e越接近于1,則c越接近于a,于是b=√a2-c3越小，橢圓就越扁平；反之，e越接近于0,則c越接近于0,從而b越接近于a,橢圓就越接近于圓.學(xué)以致用解解(1)將已知方程轉(zhuǎn)化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得,因此，橢圓的長軸長為2a=6,短軸長為2b=4,離心率為兩個焦點的坐標(biāo)分別為(-√5,0),(√5,0),四個頂點的坐標(biāo)分別為(-3,0),(3,0),(0,-2),(0,2),(2)將已知方程轉(zhuǎn)化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得,因此，橢圓的長軸長為2a=10,短軸長為2b=8,離心率為,兩個焦點的坐標(biāo)分別為(0,-3),(0,3),四個頂點的坐標(biāo)分別為(0,-5),(0,5),(-4,0),(4,0).等.除此之外，你還了解橢圓在哪些方面的應(yīng)用呢?在我國某衛(wèi)星發(fā)射基地升空的“探測在我國某衛(wèi)星發(fā)射基地升空的“探測一號”衛(wèi)星的運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，其近地點與地球表面相距551km,遠(yuǎn)地點與地球表面相距74017km.已知地球半徑為6371km,求“探測一號”衛(wèi)星運行軌道的近似方程.(長、短半軸長精確到lkm).例2例2動點P(x,y)到定點H(3,0)的距離m與點P到定直線x=4的距離d之比為,如圖13-9所示.求動點P的軌跡.,動點P(x,y)到定點H(2,0)的距離與點P到定直線x=8的距離之比為,求動點P的軌跡.我們已知，平面內(nèi)與兩個定點F,F?的距離之和等于常數(shù)(大于|FF?I)的點的軌跡是橢圓，那么平面內(nèi)與兩個定點的距離之差(絕對值)等于常數(shù)的點的軌跡是什么呢?一般地，平面內(nèi)與兩個定點F,F?的距離之差的絕對值FF這兩個定點F,F?稱為雙曲線的焦點，兩焦點間的距離稱為雙曲線的焦距，如圖13-12所示.雙曲線中的每一條曲線稱為雙曲線的一支.如圖所示，以經(jīng)過雙曲線兩焦點F,F?的直線為x軸，線段FF?的垂直平分線為y軸，建立平xOy因為0<a<c,所以c2-a2>0.令c2-a2=b2(b>0),則上述方程可變形為b2x2-u2y2=a2b2,學(xué)以致用解(1)因為雙曲線的焦點在x軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為,b>0),又因為2a=6,c=5,所以a=3,b2=c2-a2=52-32=16.因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)因為雙曲線的焦點在y軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為b>0).由雙曲線的概由此可得a=4.=113-5|=8,又因為c=6,所以b2=c2-a2=62-42=20.因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.課堂練習(xí)求符合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.求符合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)焦點在x軸上，a=5,b=4;(2)焦點F,F?的坐標(biāo)分別為(0,-3),(0,3),且圖像經(jīng)過點.2.2雙曲線的幾何性質(zhì)生活中的數(shù)學(xué)近視眼鏡是很多眼睛近視的人離不開的生活用品，它利用了凹透鏡可以發(fā)散光的光學(xué)性質(zhì).觀察幾副不同度數(shù)的近視眼鏡，它們的鏡片厚度、鏡面曲線弧度各有何不同?這與雙曲線的哪些幾何性質(zhì)有關(guān)?與橢圓類似，雙曲線的焦距與實軸長的比稱為雙曲線的離心率，用e表示，即因為c>a>0,所以e>1.故雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊.因此，雙曲線的離心率反映了雙曲線的開口大小.求雙曲線9x2-16y2=144的實半軸長、虛半軸長、離心率和漸近線方程.求雙曲線9x2-16y2=144的實半軸長、虛半軸長、離心率和漸近線方程.,學(xué)以致用(1)實軸長為8,離心率為2,焦點在y軸上；解(1)因為2a=8,所以a=4.又因為,所以c=8,故b2=c2-a2=82-42=48.1.求下列雙曲線的實半軸長、虛半軸長、離心率和漸近線方程，2.求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)頂點在y軸上，兩頂點間的距離為8,離心率為(2)焦點在x軸上，實半軸長為6,一條漸近線方程為4x+3y=0.中一個，如圖所示.發(fā)電廠冷卻塔采用雙曲線型更容易使空氣流通嗎?學(xué)以致用動點P(x,y)到定點H(4,0)的距離m與點P到定直線x=1的距離d之比為2,如圖13-21所示.求動點P的軌跡.即動點P(x,y)到定點H(5,0)的距離與點P動點P(x,y)到定點H(5,0)的距離與點P到定直線x=1的距離之比為√5,求動點P的軌跡.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程取經(jīng)過焦點F且垂直于準(zhǔn)線/的直線為x軸，x軸與1相交于點K,以線段KF的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy,如圖13-24所示.設(shè)M(x,y)為拋物線上任意一點，作MN⊥1,垂足為點N,則點N的坐標(biāo),化簡整理可得的拋物線.FY四種拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程及圖像如表所示：1課堂練習(xí)1.求下列拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.2.求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)焦點坐標(biāo)為F(7,0);(2)準(zhǔn)線方程為;(3)焦點到準(zhǔn)線的距離為4.這里我們通過拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)來研究拋物線的幾何拋物線向右上方和右下方無限延伸，如圖13-26所示.在方程y2=2px(p>0)中，將y換成-y,方程不變，這說明這條拋物線關(guān)于x軸對稱，故拋物線是軸對稱圖形，拋物線的對稱軸稱為拋物線的x2=-2py(p>0)的性質(zhì).已知拋物線上的點關(guān)于x軸對稱，它的頂點就是坐標(biāo)原點，且拋物線經(jīng)過點因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=3x.學(xué)以致用課堂練習(xí)1.已知拋物線上的點關(guān)于y軸對稱，它的頂點為坐標(biāo)原點，且拋物線經(jīng)過點P(I,-5),求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.已知拋物線的頂點為原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過點M(2,5),求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.垂直于x軸的直線交拋物線y2=-10x于A,B兩點，且AB|=20,求直線AB的方程.時籃球的運動軌跡等.某種衛(wèi)星接收天線如圖所示，其曲面與軸截面的交線就為拋物線.衛(wèi)星接收天線為什么多采用拋物線型?你還了解拋物線在哪些方面的應(yīng)用?某種衛(wèi)星接收天線的曲面與軸截面的交線為拋物線，如圖13-某種衛(wèi)星接收天線的曲面與軸截面的交線為拋物線，如圖13-28所示.衛(wèi)星信號波束近似平