北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊 （圓內(nèi)接正多邊形）圓教育教學(xué)課件

3.8圓內(nèi)接正多邊形

復(fù)習(xí)舊知正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫作正多邊形.正n邊形：如果一個正多邊形有n條邊，那么這個正多邊形叫作正n邊形.三條邊相等，三個角也相等（60°）.四條邊都相等，四個角也相等（90°）.情景導(dǎo)入觀看下面這些美麗的圖案,都是在日常生活中經(jīng)常能看到的.你能從這些圖案中找出類似的圖形嗎?探究新知

頂點都在同一圓上的正多邊形叫做圓內(nèi)接正多邊形.這個圓叫做該正多邊形的外接圓.新知講解怎樣由圓得到多邊形呢？定義：把一個圓n等分（n≥3），依次連結(jié)各分點，所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形.探究新知外接圓的圓心正多邊形的中心外接圓的半徑正多邊形的半徑每一條邊所對的圓心角正多邊形的中心角弦心距正多邊形的邊心距OCDABM半徑R圓心角弦心距r弦a圓心中心角BCDEFO半徑R邊心距r中心類比學(xué)習(xí)圓內(nèi)接正多邊形探究新知EFCD.中心角邊心距把△AOB分成2個全等的直角三角形設(shè)正多邊形的邊長為a,半徑為R,它的周長為l=na.a

ABGO歸納正n邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)是______________;中心角是___________;正多邊形的中心角與外角的大小關(guān)系是________.相等

典例精析例如圖，在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，半徑OC=4，OG⊥BC，垂足為G，求這個正六邊形的中心角、邊長和邊心距.OABCDEGF典例精析

OABCDEG

F做一做利用尺規(guī)作一個已知圓的內(nèi)接正六邊形.分析：因為正六邊形每條邊所對的圓心角為

，所以正六邊形的邊長與圓的半徑

.因此，在半徑為R的圓上依次截取等于

的弦，即可將圓六等分.60o相等R做一做方法（減少累積誤差）：作⊙O的任意一條直徑FC，分別以F，C為圓心，以⊙O的半徑R為半徑作弧，與⊙O相交于點E，A和D，B，則A，B，C，D，E，F(xiàn)是⊙O的六等分點，順次連接AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A，便得到正六邊形ABCDEF.OFCAEBD典例精析例、

用尺規(guī)作圓的內(nèi)接正方形.已知：如圖，⊙O.求作：正方形ABCD內(nèi)接于⊙O.O練一練你能簡單說明下如何用尺規(guī)做出兩條垂直的直徑嗎？作法：(1)如圖，作兩條互相垂直的直徑AC，BD.(2)順次連接AB，BC，CD，DA.由作圖過程可知，四個中心角都是90°，所以AB=BC=CD=DA.因為AC，BD都是直徑，所以∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.即四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正方形.OACBD課堂練習(xí)

BB課堂練習(xí)3.已知正六邊形的外接圓半徑為3cm，那么它的周長為

cm.184.要用圓形鐵片截出邊長為4cm的正方形鐵片，則選用的圓形鐵片的直徑最小要___

_cm.

課堂練習(xí)5.如圖，已知正三角形ABC的邊長為6，求它的中心角、半徑和邊心距.BAC解:設(shè)這個正三角形的中心為點O，連接OB，OC，作OH⊥BC于點H，則∠BOC=360°÷3=120°，∴∠BOH=60°.在Rt△BOH中，

OH

課堂小結(jié)圓內(nèi)接正多邊形正多邊形和圓的關(guān)系正多邊形的有關(guān)概念正多邊形的有關(guān)計算添加輔助線的方法：連半徑，作邊心距中心半徑邊心距中心角正n邊形各頂點等分其外接圓.第三章圓3.8圓內(nèi)接正多邊形

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握正多邊形和圓的關(guān)系；2.理解正多邊形的中心、半徑、中心角、邊心距等概念；(重點)3.能運用正多邊形的知識解決圓的有關(guān)計算問題；（難點）4.會運用多邊形知和圓的有關(guān)知識畫多邊形.新課導(dǎo)入問題1：

觀察下面多邊形，它們的邊、角有什么特點？特點：各邊相等，各內(nèi)角都相等的多邊形.問題2：

觀看大屏幕上這些美麗的圖案,都是在日常生活中我們經(jīng)常能看到的.你能從這些圖案中找出類似的圖形嗎?正多邊形：___________，_____________的多邊形叫做正多邊形.正n邊形：如果一個正多邊形有n條邊，那么這個正多邊形叫做正n邊形.三條邊相等，三個角也相等（60°）.四條邊都相等，四個角也相等（90°）.各邊相等各角也相等知識講解怎樣找圓的內(nèi)接正三角形？怎樣找圓的外切正三角形？

怎樣找圓的內(nèi)接正方形？怎樣找圓的外切正方形？怎樣找圓的內(nèi)接正n邊形？怎樣找圓的外切正n邊形？EFGHABCD0合作探究【例1】把圓分成5等份，求證：⑴依次連接各分點所得的五邊形是這個圓的內(nèi)接正五邊形；⑵經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的五邊形是這個圓的外切正五邊形.例題講解ABCDE證明:(1）∵AB=BC=CD=DE=EA，∴AB=BC=CD=DE=EA，∵BCE=CDA=3AB，∴∠A=∠B，同理∠B=∠C=∠D=∠E，又∵頂點A，B，C，D，E都在⊙O上，∴五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒（2）連接OA，OB，OC，則∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB.∵TP，PQ，QR分別是以A，B，C為切點的⊙O的切線，∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.ABCDEPQRSTO又∵AB=BC，∴AB=BC，∴△PAB與△QBC是全等的等腰三角形.∴∠P=∠Q,PQ=2PA.同理∠Q=∠R=∠S=∠T，

QR=RS=ST=TP=2PA，⌒⌒∵五邊形PQRST的各邊都與⊙O相切，∴五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形.

把圓分成n（n≥3）等份：依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形；經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形.一個正多邊形是否一定有外接圓和內(nèi)切圓？【定理】知識講解正三角形有沒有外接圓和內(nèi)切圓？怎樣作出這兩個圓？這兩個圓有什么位置關(guān)系？正方形有沒有外接圓和內(nèi)切圓？怎樣作出這兩個圓？這兩個圓有什么位置關(guān)系？那么，正n邊形呢？任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，并且這兩個圓是同心圓.【定理】知識講解以中心為圓心,邊心距為半徑的圓與各邊有何位置關(guān)系?EFCD..O中心角半徑R邊心距r正多邊形的中心:一個正多邊形的外接圓的圓心.正多邊形的半徑:外接圓的半徑正多邊形的中心角:正多邊形的每一邊所對的圓心角.正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離.AB以中心為圓心,邊心距為半徑的圓為正多邊形的內(nèi)切圓。知識講解EFCDOABGRa.中心角邊心距把△AOB分成2個全等的直角三角形設(shè)正多邊形的邊長為a,邊數(shù)為n，圓的半徑為R,它的周長為L=na.知識講解正多邊形是軸對稱圖形，正n邊形有n條對稱軸.若n為偶數(shù)，則其為中心對稱圖形.知識講解1.各邊相等，各角相等.2.圓的內(nèi)接正n邊形的各個頂點把圓分成n等份.3.圓的外切正n邊形的各邊與圓的n個切點把圓分成n等份.4.每個正多邊形都有一個內(nèi)切圓和外接圓，這兩個圓是同心圓，圓心就是正多邊形的中心.正多邊形的性質(zhì)【歸納】知識講解5.正多邊形都是軸對稱圖形，如果邊數(shù)是偶數(shù)那么它還是中心對稱圖形.6.正n邊形的中心角和它的每個外角都等于360°/n，每個內(nèi)角都等于(n-2)·180°/n.7.邊數(shù)相同的正多邊形相似，周長比、邊長比、半徑比、邊心距比、對應(yīng)對角線比都等于相似比，面積比等于相似比的平方.解：連接OD.∵六邊形ABCDEF為正六邊形.∴∠COD=60°，∴△COD為等邊三角形，CD=OD=4在Rt△COG中,OC=4,CG=2.【例2】如圖,在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中,半徑OC=4，OG⊥BC，垂足為G，求這個正六邊形的中心角、邊長和邊心距.FADE..OBCG∴正六邊形ABCDEF的中心角為60°，邊長為4，邊心距為例題講解1．正多邊形和圓的有關(guān)概念：正多邊形的中心，正多邊形的半徑，正多邊形的中心角，正多邊形的邊心距．2．正多邊形的半徑、正多邊形的中心角、邊長，正多邊形的邊心距之間的等量關(guān)系．通過本課時的學(xué)習(xí)，需要我們掌握：課堂小結(jié)1.下列圖形中：①正五邊形；②等腰三角形；③正八邊形；④正2n（n為自然數(shù)）邊形；⑤任意的平行四邊形.是軸對稱圖形的有__________,是中心對稱圖形的有_________,既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的有_________.①②③④③④⑤③④2.兩個正七邊形的邊心距之比為3:4，則它們的邊長比為_____，面積比為_____，外接圓周長比是______，中心角度數(shù)比是______.3:49:163:41:1當(dāng)堂檢測3.正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______．4.正方形