專題3.5 直線與雙曲線的位置關系【七大題型】（舉一反三）（人教A版2019選擇性必修第一冊）（原卷版）

專題3.5直線與雙曲線的位置關系【七大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷直線與雙曲線的位置關系】 2【題型2根據(jù)直線與雙曲線的位置關系求參數(shù)或范圍】 2【題型3雙曲線的弦長問題】 3【題型4雙曲線的“中點弦”問題】 4【題型5雙曲線中的面積問題】 4【題型6雙曲線中的定點、定值、定直線問題】 6【題型7雙曲線中的最值問題】 7【知識點1直線與雙曲線的位置關系】1．直線與雙曲線的位置關系(1)研究直線與雙曲線的位置關系：一般通過直線方程與雙曲線方程所組成的方程組的解的個數(shù)進行判斷.

①代入②得.

當=0，即時，直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線交于一點.

當0，即時，=.

>0直線與雙曲線有兩個交點,稱直線與雙曲線相交；

=0直線與雙曲線有一個交點,稱直線與雙曲線相切；

<0直線與雙曲線沒有交點,稱直線與雙曲線相離.(2)對直線與雙曲線的交點位置分以下三種情況進行討論：

①若一條直線與雙曲線的右支交于兩個不同的點，則應滿足條件；

②若一條直線與雙曲線的左支交于兩個不同的點，則應滿足條件>0x1+x2<0x1【題型1判斷直線與雙曲線的位置關系】【例1】（2022·全國·高二專題練習）直線y=32x+2與雙曲線x24-y29=1A．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定【變式1-1】（2023·高二課時練習）“直線與雙曲線有且僅有一個公共點”是“直線與雙曲線相切”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【變式1-2】（2023·高二課時練習）過點P（4，4）且與雙曲線x216-A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【變式1-3】（2022·高二課時練習）直線y=2x+m與雙曲線A．恒有一個交點 B．存在m有兩個交點C．至多有一個交點 D．存在m有三個交點【題型2根據(jù)直線與雙曲線的位置關系求參數(shù)或范圍】【例2】（2023·全國·高三專題練習）已知直線y=kx-1與雙曲線x2A．±33 B．±233 C．±1或±【變式2-1】（2023·全國·高二專題練習）直線l：y=k(x-A．k≤-1或k≥1 BC．-2<k【變式2-2】（2023·河南·統(tǒng)考模擬預測）若直線l：y=-12x+m與曲線C：A．-22,0C．-2,0∪0,2【變式2-3】（2023·高二課時練習）若過點P0,1的直線l與雙曲線E:x2－y2A．(1，2) B．[-2，－1]【知識點2弦長與“中點弦問題”】1．弦長問題①弦長公式：直線y=kx+b與雙曲線相交所得的弦長d.

②解決此類問題時要注意是交在同一支，還是交在兩支上.

③處理直線與圓錐曲線相交弦有關問題時，利用韋達定理、點差法的解題過程中，并沒有條件確定直線與圓錐曲線一定會相交，因此，最后要代回去檢驗.

④雙曲線的通徑：

過焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無論焦點在x軸上還是在y軸上，雙曲線的通徑總等于.2．“中點弦問題”“設而不求”法解決中點弦問題：①過橢圓內(nèi)一點作直線，與橢圓交于兩點，使這點為弦的中點，這樣的直線一定存在，但在雙曲線的這類問題中，則不能確定.要注意檢驗.

②在解決此類問題中，常用韋達定理及垂直直線的斜率關系.常用的解題技巧是如何應用直線方程將轉(zhuǎn)化為能用韋達定理直接代換的.垂直關系有時用向量的數(shù)量關系來刻畫，要注意轉(zhuǎn)化.3．雙曲線的第二定義平面內(nèi)，當動點M到一個定點的距離和它到一條定直線(點不在直線上)的距離之比是常數(shù)e=(e>1)時，這個動點的軌跡就是雙曲線，定點是雙曲線的焦點，定直線是雙曲線的準線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.【題型3雙曲線的弦長問題】【例3】（2022·全國·高二專題練習）過點P(4，2)作一直線AB與雙曲線C：x22－y2＝1相交于A，B兩點，若P為線段AB的中點，則|AB|＝（A．22 B．23C．33 D．43【變式3-1】（2022·全國·高二假期作業(yè)）過雙曲線x2-y22=1的一個焦點作直線交雙曲線于A，A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【變式3-2】（2022·全國·高二專題練習）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的一條漸近線方程是y=2x，過其左焦點A．25 B．45 C．10 D【變式3-3】（2022·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線H的兩條漸近線互相垂直，過H右焦點F且斜率為3的直線與H交于A，B兩點，與H的漸近線交于C，D兩點．若AB=5，則CD=（A．27 B．26 C．35 D．【題型4雙曲線的“中點弦”問題】【例4】（2023·高二課時練習）已知雙曲線方程x2-y23=1，則以A．6x+y-11=0 B．6x【變式4-1】（2023秋·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：x2-y2b2=1(b>0)的焦點到漸近線的距離為2，直線l與C相交于A，BA．-1 B．1 C．2 D．【變式4-2】（2023·全國·高三專題練習）已知點A，B在雙曲線x2-y2=3上，線段AB的中點為MA．25 B．45 C．210【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線x2-y22=1，過點P1,1的直線l與該雙曲線相交于A,BA．2x-yC．2x-【題型5雙曲線中的面積問題】【例5】（2023秋·全國·高二期中）設A，B為雙曲線x2-y22(1)直線AB的方程；(2)△OAB的面積(【變式5-1】（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）設雙曲線E:x2a2-y2b(1)求E的方程；(2)過F2作兩條相互垂直的直線l1和l2，與E的右支分別交于A，C兩點和B，D【變式5-2】（2023·湖南邵陽·邵陽市校考模擬預測）已知雙曲線C的離心率為2，右焦點與拋物線y2=8x的焦點重合，雙曲線C的左、右頂點分別為A，B，點M為第二象限內(nèi)的動點，過點M作雙曲線C左支的兩條切線，分別與雙曲線C的左支相切于兩點P，Q，已知MA，MB

(1)求雙曲線C的方程；(2)直線PQ是否過定點？若過定點請求出定點坐標，若不過定點請說明理由.(3)設△APQ和△BPQ的面積分別為S1和S2參考結(jié)論：點Rx0,y0為雙曲線x【變式5-3】（2023春·浙江衢州·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C:x2-y23=1，過點P2,(1)若點P恰為AB的中點，求直線l的斜率；(2)記雙曲線C的右焦點為F，直線FA，F(xiàn)B分別交雙曲線C于D，E兩點，求S△FABS【題型6雙曲線中的定點、定值、定直線問題】【例6】（2023·河北張家口·統(tǒng)考三模）已知點P4,3為雙曲線E:x2a2-(1)求雙曲線E的標準方程；(2)不過點P的直線y=kx+t與雙曲線E交于A,B兩點，若直線PA，PB【變式6-1】（2023·廣東茂名·茂名市?？既＃┮阎p曲線C:x(1)求雙曲線C的漸近線方程；(2)若雙曲線C的右焦點為F，若直線EF與C的左，右兩支分別交于E,D兩點，過E作l:x=a【變式6-2】（2023春·湖北荊門·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：x2a2-y(1)求雙曲線C的方程：(2)當a<b時，記雙曲線C的左、右頂點分別為A1，A2，動直線l：x=my+2與雙曲線C的右支交于M，N兩點（異于A2），直線【變式6-3】（2023春·重慶渝中·高二?？计谀┮阎p曲線C：x2a2-y2b2=1a,b>0的漸近線方程為y=±(1)求該雙曲線的標準方程；(2)過x軸上一動點Pt,0作直線l交雙曲線的左支于A，B兩點，A點關于x軸的對稱點為A'（A'與B不重合），連接BA'并延長交x【知識點3雙曲線中的最值問題】1．雙曲線中的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可建立目標函數(shù)，將目標變量表示為一個(或多個)變量的函數(shù)關系式，然后根據(jù)函數(shù)關系式的特征選用配方法、判別式法，應用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.【題型7雙曲線中的最值問題】【例7】（2023·山東淄博·統(tǒng)考三模）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為F1、F2，焦距為4(1)求雙曲線C的標準方程；(2)已知點M，Q是雙曲線C上關于坐標原點對稱的兩點，其中M位于第一象限，∠F1QF2的角平分線記為l，過點M做l的垂線，垂足為E，與雙曲線右支的另一交點記為點【變式7-1】（2023·全國·模擬預測）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1，（a(1)求C的標準方程；(2)過點M(-2,0)且斜率不為0的直線l與C的左、右兩支分別交于點A,B，點N在線段AB上，且|MA||MB|=|AN||NB|，P【變式7-2】（2023·河南·鄭州一中校聯(lián)考模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線E：x2a2-y2b(1)求雙曲線