專題3.5 直線與雙曲線的位置關(guān)系【七大題型】（舉一反三）（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）（原卷版）

專題3.5直線與雙曲線的位置關(guān)系【七大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系】 2【題型2根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍】 2【題型3雙曲線的弦長(zhǎng)問題】 3【題型4雙曲線的“中點(diǎn)弦”問題】 4【題型5雙曲線中的面積問題】 4【題型6雙曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題】 6【題型7雙曲線中的最值問題】 7【知識(shí)點(diǎn)1直線與雙曲線的位置關(guān)系】1．直線與雙曲線的位置關(guān)系(1)研究直線與雙曲線的位置關(guān)系：一般通過直線方程與雙曲線方程所組成的方程組的解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷.

①代入②得.

當(dāng)=0，即時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線交于一點(diǎn).

當(dāng)0，即時(shí)，=.

>0直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn),稱直線與雙曲線相交；

=0直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn),稱直線與雙曲線相切；

<0直線與雙曲線沒有交點(diǎn),稱直線與雙曲線相離.(2)對(duì)直線與雙曲線的交點(diǎn)位置分以下三種情況進(jìn)行討論：

①若一條直線與雙曲線的右支交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則應(yīng)滿足條件；

②若一條直線與雙曲線的左支交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則應(yīng)滿足條件>0x1+x2<0x1【題型1判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系】【例1】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線y=32x+2與雙曲線x24-y29=1A．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定【變式1-1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）“直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【變式1-2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)P（4，4）且與雙曲線x216-A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【變式1-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）直線y=2x+m與雙曲線A．恒有一個(gè)交點(diǎn) B．存在m有兩個(gè)交點(diǎn)C．至多有一個(gè)交點(diǎn) D．存在m有三個(gè)交點(diǎn)【題型2根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍】【例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線y=kx-1與雙曲線x2A．±33 B．±233 C．±1或±【變式2-1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線l：y=k(x-A．k≤-1或k≥1 BC．-2<k【變式2-2】（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若直線l：y=-12x+m與曲線C：A．-22,0C．-2,0∪0,2【變式2-3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若過點(diǎn)P0,1的直線l與雙曲線E:x2－y2A．(1，2) B．[-2，－1]【知識(shí)點(diǎn)2弦長(zhǎng)與“中點(diǎn)弦問題”】1．弦長(zhǎng)問題①弦長(zhǎng)公式：直線y=kx+b與雙曲線相交所得的弦長(zhǎng)d.

②解決此類問題時(shí)要注意是交在同一支，還是交在兩支上.

③處理直線與圓錐曲線相交弦有關(guān)問題時(shí)，利用韋達(dá)定理、點(diǎn)差法的解題過程中，并沒有條件確定直線與圓錐曲線一定會(huì)相交，因此，最后要代回去檢驗(yàn).

④雙曲線的通徑：

過焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無論焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，雙曲線的通徑總等于.2．“中點(diǎn)弦問題”“設(shè)而不求”法解決中點(diǎn)弦問題：①過橢圓內(nèi)一點(diǎn)作直線，與橢圓交于兩點(diǎn)，使這點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，這樣的直線一定存在，但在雙曲線的這類問題中，則不能確定.要注意檢驗(yàn).

②在解決此類問題中，常用韋達(dá)定理及垂直直線的斜率關(guān)系.常用的解題技巧是如何應(yīng)用直線方程將轉(zhuǎn)化為能用韋達(dá)定理直接代換的.垂直關(guān)系有時(shí)用向量的數(shù)量關(guān)系來刻畫，要注意轉(zhuǎn)化.3．雙曲線的第二定義平面內(nèi)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線(點(diǎn)不在直線上)的距離之比是常數(shù)e=(e>1)時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是雙曲線，定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線是雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.【題型3雙曲線的弦長(zhǎng)問題】【例3】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)P(4，2)作一直線AB與雙曲線C：x22－y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若P為線段AB的中點(diǎn)，則|AB|＝（A．22 B．23C．33 D．43【變式3-1】（2022·全國(guó)·高二假期作業(yè)）過雙曲線x2-y22=1的一個(gè)焦點(diǎn)作直線交雙曲線于A，A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【變式3-2】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的一條漸近線方程是y=2x，過其左焦點(diǎn)A．25 B．45 C．10 D【變式3-3】（2022·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線H的兩條漸近線互相垂直，過H右焦點(diǎn)F且斜率為3的直線與H交于A，B兩點(diǎn)，與H的漸近線交于C，D兩點(diǎn)．若AB=5，則CD=（A．27 B．26 C．35 D．【題型4雙曲線的“中點(diǎn)弦”問題】【例4】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線方程x2-y23=1，則以A．6x+y-11=0 B．6x【變式4-1】（2023秋·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：x2-y2b2=1(b>0)的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，直線l與C相交于A，BA．-1 B．1 C．2 D．【變式4-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A，B在雙曲線x2-y2=3上，線段AB的中點(diǎn)為MA．25 B．45 C．210【變式4-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線x2-y22=1，過點(diǎn)P1,1的直線l與該雙曲線相交于A,BA．2x-yC．2x-【題型5雙曲線中的面積問題】【例5】（2023秋·全國(guó)·高二期中）設(shè)A，B為雙曲線x2-y22(1)直線AB的方程；(2)△OAB的面積(【變式5-1】（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）設(shè)雙曲線E:x2a2-y2b(1)求E的方程；(2)過F2作兩條相互垂直的直線l1和l2，與E的右支分別交于A，C兩點(diǎn)和B，D【變式5-2】（2023·湖南邵陽·邵陽市校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C的離心率為2，右焦點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)重合，雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M為第二象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作雙曲線C左支的兩條切線，分別與雙曲線C的左支相切于兩點(diǎn)P，Q，已知MA，MB

(1)求雙曲線C的方程；(2)直線PQ是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)請(qǐng)說明理由.(3)設(shè)△APQ和△BPQ的面積分別為S1和S2參考結(jié)論：點(diǎn)Rx0,y0為雙曲線x【變式5-3】（2023春·浙江衢州·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C:x2-y23=1，過點(diǎn)P2,(1)若點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn)，求直線l的斜率；(2)記雙曲線C的右焦點(diǎn)為F，直線FA，F(xiàn)B分別交雙曲線C于D，E兩點(diǎn)，求S△FABS【題型6雙曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題】【例6】（2023·河北張家口·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)P4,3為雙曲線E:x2a2-(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)不過點(diǎn)P的直線y=kx+t與雙曲線E交于A,B兩點(diǎn)，若直線PA，PB【變式6-1】（2023·廣東茂名·茂名市?？既＃┮阎p曲線C:x(1)求雙曲線C的漸近線方程；(2)若雙曲線C的右焦點(diǎn)為F，若直線EF與C的左，右兩支分別交于E,D兩點(diǎn)，過E作l:x=a【變式6-2】（2023春·湖北荊門·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：x2a2-y(1)求雙曲線C的方程：(2)當(dāng)a<b時(shí)，記雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，動(dòng)直線l：x=my+2與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)（異于A2），直線【變式6-3】（2023春·重慶渝中·高二?？计谀┮阎p曲線C：x2a2-y2b2=1a,b>0的漸近線方程為y=±(1)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過x軸上一動(dòng)點(diǎn)Pt,0作直線l交雙曲線的左支于A，B兩點(diǎn)，A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A'（A'與B不重合），連接BA'并延長(zhǎng)交x【知識(shí)點(diǎn)3雙曲線中的最值問題】1．雙曲線中的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(gè)(或多個(gè))變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對(duì)最值的影響.【題型7雙曲線中的最值問題】【例7】（2023·山東淄博·統(tǒng)考三模）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，焦距為4(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)M，Q是雙曲線C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，其中M位于第一象限，∠F1QF2的角平分線記為l，過點(diǎn)M做l的垂線，垂足為E，與雙曲線右支的另一交點(diǎn)記為點(diǎn)【變式7-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1，（a(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)M(-2,0)且斜率不為0的直線l與C的左、右兩支分別交于點(diǎn)A,B，點(diǎn)N在線段AB上，且|MA||MB|=|AN||NB|，P【變式7-2】（2023·河南·鄭州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線E：x2a2-y2b(1)求雙曲線