細(xì)桿的熱傳導(dǎo)

數(shù)學(xué)物理方法中的Matlab應(yīng)用細(xì)桿熱傳導(dǎo)問題問題敘述:求解細(xì)桿導(dǎo)熱問題，初始溫度為零，一端x=l保持零度，另一端x=0的溫度為At(A是常數(shù)，t代表時(shí)間)。(1(1)(2)(3)廠u—a2u=0,TOC\o"1-5"\h\zt xx電u=At,u| =0,x=0 x=/X-u=0,t=0解本題時(shí)，希望將邊界條件化為齊次時(shí)，仍保持泛定方程為齊次，令TOC\o"1-5"\h\zu=Atf(x)+g(x)+v, (4)代入泛定方程(1),整理后有：v-a2v+Af(x)-a2Atf'(x)-a2g''(x)=0, (5)t xx為了得到關(guān)于V的齊次泛定方程，就要選擇(4)中的f(X)和g(X),使(5)式中的后面幾項(xiàng)消去。顯然，若f(x)取X的一次式，則f"(x)=0,因此選f(x)=1--/即可。從而在(5)中，因f'(x)=-f''(x)=0,所以a2Atf''(x)=0。/同時(shí)又為了得到齊次邊界條件，可按下列方程決定g(x)：TOC\o"1-5"\h\za2g''(x)=Af(x)=A(1--), (6)/g(0)=g(l)=0, (7)對(duì)(6)積分兩次：A x2 x3g(x)= ( - )+Cx+C,a2 2 61 1 2由邊界條件(7)：g(0)=C2=0.Al2l3g(l)= ( - )+Cl=0,TOC\o"1-5"\h\za2261 1AlC=— ,1 3a2l2A x x x???g(x)=— [()3—3(-)2+2(—)],6a2 l l l(5)(2)(3)x l2A xu(x,t)=A(1— )t— [()l 6a2 l(5)(2)(3)x l2A xu(x,t)=A(1— )t— [()l 6a2 l式得齊次泛定方程:v—a2v=0,txx和（9）得初始條件:=0,和（9）得初始條件:v'=° 6a2x x3—3(—)2+2(—)]+vl lAl2x x x[()3—3(一)2+2(—)]

l l l(9)(10)(11)(12)對(duì)于（10）（11）和（12）的定解問題,其解為:k=1Alk=1Al2v|t=0x[()3—3(—)2+2(—)],l l l2fAl2x x x k冗xJ[()3-3(—)2+2(—)]sin dxl6a2l0Al2x{-[()3

lx-3(—)2

lx k冗x2(—)]coslk冗xJlcos0… x xd[(—)3-3(—)22fAl2x x x k冗xJ[()3-3(—)2+2(—)]sin dxl6a2l0Al2x{-[()3

lx-3(—)2

lx k冗x2(—)]coslk冗xJlcos0… x xd[(—)3-3(—)2+2(—)]}lAl2[Jl—cos0l0l2k冗x dxk冗xxcos dxx20l3k冗x dx]lAl2k冗x6f.k冗x 6 .k冗x 3 . k冗x f .l+Jlsin dx一xsin l+ [x2sin l一2Jlxsin0l0 l l l0 12 l0 0l++cosllk冗x{2sinldx]}Al26{-Jld(cosk冗)+-[l k冗x—xcos l-J0lcos0k冗x dx]}lAl26{一cos

k冗612 ll+ [ cosk冗一 sin012l]}0Al26{一cos6——cosk冗}2Al2〉cy2Al2k=iu(x,t)=Af(x)t+g(x)+vx Al2x x=At(1-一)- [(一)3-3(—)2+t 6a2 l lx2(—)]

l2Al2? 1k冗xZ—sin ek3lk=1此處，我們選擇鐵作為細(xì)桿的材質(zhì)。查詢資料得：鐵的熱傳導(dǎo)系數(shù)k=80；鐵鐵的比熱容c=460J/kg?。C鐵鐵的密度為p=7.8x103kg/m3鐵則可計(jì)算得：a=4.72x10-3編寫程序：A=l;l=20;a=0.00472;t=x;g=linspace(-pi,pi,25);x=linspace(0,20,20);[G,X]二meshgrid(g,x);Y=sin(G);Z=cos(G);mesh(X,Y,Z);axisequal;f1=0;forn=l:l:6f2=(l/n"3)*exp((-n“2*pi"2*a"2)*t/「2).*sin(n*pi.*X./l);fl二fl+f2;endf=A*t.*(1-X./l)-(「2*A)/(6*a"2).*((X./l).“3-3.*(X./l)「2+2.*(X./l))+(2*A*「2)/(pi"3*a"2)*f1;fun=f;surf(X,Y,Z,fun)colormap(jet)colorbar('horiz')輸出的三維圖形:0123456789 10x10123456789 105X100123456789 10x10123456789 105X101310紅色：溫度較高部分1310紅色：溫度較高部分藍(lán)色：溫度較低部分10181018FileEditViewInsertToolsDesktopWindowHelp *FileEditViewInsertToolsDesktopWindow旦elp*31on口昌 I?. ?0EB□OAR昌A ◎⑥冒?目■□BJFigure1QFigure1結(jié)論：1、熱能由x=0端輸入，傳向x=l