空間向量及其線性運(yùn)算（原題版）

3.1.1空間向量及其運(yùn)算空間向量的數(shù)乘運(yùn)算1.理解空間向量的有關(guān)概念.2.類比平面向量，會(huì)用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差.3.理解向量運(yùn)算的交換律、結(jié)合律和分配律．4.理解向量共線、向量共面的定義.5.掌握共線向量定理和共面向量定理，會(huì)證明空間三點(diǎn)共線、四點(diǎn)共面．重點(diǎn)：向量共線、向量共面的定義難點(diǎn)：證明空間三點(diǎn)共線、四點(diǎn)共面閱讀課本內(nèi)容，自主完成下列內(nèi)容。知識(shí)點(diǎn)一空間向量的概念思考1.類比平面向量的概念，給出空間向量的概念.1.空間向量的概念在空間，把具有_____和_____的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的_____或___.空間向量用有向線段表示，有向線段的_____表示向量的模，a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則a也可記作，其模記為_(kāi)_________.（1）空間中點(diǎn)的一個(gè)平移就是一個(gè)向量；（2）數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量．2.幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫_______，記為0單位向量______的向量叫單位向量相反向量與向量a長(zhǎng)度_____而方向_____的向量，稱為a的相反向量，記為－a相等向量方向_____且模_____的向量稱為相等向量，_____且_____的有向線段表示同一向量或相等向量知識(shí)點(diǎn)二空間向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當(dāng)λ>0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當(dāng)λ<0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0運(yùn)算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.（1）空間向量的運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的延展，空間向量的加法運(yùn)算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則．而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運(yùn)算，可以將向量合并；（2）向量的減法運(yùn)算是向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，滿足三角形法則．（3）空間向量加法的運(yùn)算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，即：因此，求空間若干向量之和時(shí)，可通過(guò)平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量，即：；已知空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(CB,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c，則eq\o(CD,\s\up7(→))等于()A.a＋b－cB.－a－b＋cC.－a＋b＋c D.－a＋b－c知識(shí)點(diǎn)三共線向量1．空間兩個(gè)向量共線的充要條件對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是.此定理可分解為以下兩個(gè)命題：（1）存在唯一實(shí)數(shù)，使得；（2）存在唯一實(shí)數(shù)，使得，則．注意：不可丟掉，否則實(shí)數(shù)就不唯一．（3）共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；（進(jìn)而證線面平行）②證明三點(diǎn)共線．注意：證明平行時(shí)，先從兩直線上取有向線段表示兩個(gè)向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問(wèn)題的一種重要方法．證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運(yùn)算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個(gè)公共點(diǎn)．2．直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的．知識(shí)點(diǎn)四共面向量1．共面向量如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l或，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個(gè)平面的向量，叫做．2．向量共面的充要條件如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使.（1）在平面中，A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)．（2）在空間中，P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間中任意一點(diǎn)．1、判斷題：(1)共線向量一定是共面向量，但共面向量不一定是共線向量.()(2)若表示兩向量的有向線段所在的直線為異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量.()(3)如果eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))，則P，A，B共線.()(4)空間中任意三個(gè)向量一定是共面向量.()2.已知空間四點(diǎn)P，M，A，B，下列結(jié)論可證明四點(diǎn)共面的有(1)eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋z(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up7(→))∥eq\o(AB,\s\up7(→))(或eq\o(PA,\s\up7(→))∥eq\o(MB,\s\up7(→))，或eq\o(PB,\s\up7(→))∥eq\o(AM,\s\up7(→))).考點(diǎn)一空間向量的有關(guān)概念例1給出下列命題：①將空間中所有的單位向量平移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓；②若空間向量滿足，則；③在正方體中，必有；④若空間向量滿足，，則；⑤空間中任意兩個(gè)單位向量必相等；其中假命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【對(duì)點(diǎn)演練1】下列命題中是假命題的是（

）A．任意向量與它的相反向量不相等B．和平面向量類似，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小C．如果，則D．兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同【對(duì)點(diǎn)演練2】下列關(guān)于空間向量的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．零向量與任意向量平行B．任意兩個(gè)空間向量一定共面C．零向量是任意向量的方向向量D．方向相同且模相等的兩個(gè)向量是相等向量考點(diǎn)二空間向量的線性運(yùn)算例2如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則（

）A． B．C． D．【對(duì)點(diǎn)演練1】若正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，化簡(jiǎn)下列各式的結(jié)果為的是（）A． B．C． D．【對(duì)點(diǎn)演練2】（2022·廣東惠州·高二階段練習(xí)）如圖.空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在OA上，且滿足，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【對(duì)點(diǎn)演練3】在平行六面體中，點(diǎn)在上，且，若，則（

）A． B．1 C． D．【對(duì)點(diǎn)演練4】（2022·湖北·高二期中）在空間四邊形中，分別是的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且，設(shè)，，，則下列等式不成立的是（

）A． B．C． D．（2）（2022·全國(guó)·高二）若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足，其中m＋n＝1，則（

）A．P∈AB B．P?ABC．點(diǎn)P可能在直線AB上 D．以上都不對(duì)【對(duì)點(diǎn)演練】（1）（2022·北京房山·高二期中）如果空間向量不共線，且，那么的值分別是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)四空間向量的共面問(wèn)題例4（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）給出下列四個(gè)命題，其中是真命題的有（

）A．若存在實(shí)數(shù)，，使，則與，共面；B．若與，共面，則存在實(shí)數(shù)，，使；C．若存在實(shí)數(shù)，，使則點(diǎn)，，A，共面；D．若點(diǎn)，，A，共面，則存在實(shí)數(shù)，，使．【對(duì)點(diǎn)演練】（1）（2022·江蘇常州·高二期中）對(duì)于空間任意一點(diǎn)，若，則A，B，C，P四點(diǎn)（

）A．一定不共面 B．一定共面C．不一定共面 D．與點(diǎn)位置有關(guān)（2）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)為空間中任意一點(diǎn)，若，則（

）A．2 B． C．1 D．（3）（2022·遼寧·本溪市第二高級(jí)中學(xué)高二期末）下列命題中正確的是（

）A．若∥，則∥B．是共線的必要條件C．三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任一點(diǎn)，若，則四點(diǎn)共面D．若為空間四點(diǎn)，且有（不共線），則是三點(diǎn)共線的充要條件例5已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，用向量方法求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)BD∥平面EFGH.證明(1)連接BG，則eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))，由共面向量定理知E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.(2)因?yàn)閑q\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，因?yàn)镋，H，B，D四點(diǎn)不共線，所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.【對(duì)點(diǎn)演練】已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點(diǎn)O引向量，，，.(1)求證：四點(diǎn)共面；(2)平面平面.1.（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列命題中正確的是（）A．若，，則與所在直線平行B．向量、、共面即它們所在直線共面C．空間任意兩個(gè)向量共面D．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使2．直線的方向向量，直線的方向向量，則不重合直線與的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能確定3．化簡(jiǎn)所得的結(jié)果是（

）A． B． C． D．4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列命題為真命題的是（

）A．若兩個(gè)空間向量所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量B．若，則?的長(zhǎng)度相等且方向相同C．若向量?滿足，且與同向，則D．若兩個(gè)非零向量與滿足，則.5．給出下列四個(gè)命題，其中是真命題的有（

）A．若存在實(shí)數(shù)，，使，則與，共面；B．若與，共面，則存在實(shí)數(shù)，，使；C．若存在實(shí)數(shù)，，使則點(diǎn)，，A，共面；D．若點(diǎn)，，A，共面，則存在實(shí)數(shù)，，使．6.（2022·全國(guó)·高一）如圖，在三棱錐中，設(shè)，若，則=（

）A． B