專題50圓的方程（原卷版）

專題50圓的方程知識梳理考綱要求考點預(yù)測常用結(jié)論方法技巧題型歸類題型一：圓的方程題型二：與圓有關(guān)的最值問題題型三：與圓有關(guān)的軌跡問題培優(yōu)訓(xùn)練訓(xùn)練一：訓(xùn)練二：訓(xùn)練三：訓(xùn)練四：訓(xùn)練五：訓(xùn)練六：強(qiáng)化測試單選題：共8題多選題：共4題填空題：共4題解答題：共6題一、【知識梳理】【考綱要求】1.回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題.【考點預(yù)測】1．圓的定義和圓的方程定義平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2.點與圓的位置關(guān)系平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|>r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|<r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?M在圓內(nèi)．【常用結(jié)論】1.圓心在坐標(biāo)原點，半徑為r的圓的方程為x2＋y2＝r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.【方法技巧】1.求圓的方程時，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程.一般來說，求圓的方程有兩種方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量.確定圓的方程時，常用到的圓的三個性質(zhì)：①圓心在過切點且垂直切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線；(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解.2.與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略(1)與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法.一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解.(2)與圓上點(x，y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法.①形如u＝eq\f(y－b,x－a)型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(a，b)和點(x，y)的直線的斜率的最值問題；②形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為圓上動點到定點(a，b)的距離的平方的最值問題.3.求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；(2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程；(3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程；(4)代入法，找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等.二、【題型歸類】【題型一】圓的方程【典例1】已知圓M與直線3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圓心在直線y＝－x－4上，則圓M的方程為()A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1【典例2】已知圓的圓心在直線x－2y－3＝0上，且過點A(2，－3)，B(－2，－5)，則圓的一般方程為________________．【典例3】已知圓E經(jīng)過三點A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,4)【典例1】已知M(x，y)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，且點Q(－2，3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求eq\f(y－3,x＋2)的最大值和最小值；(3)求y－x的最大值和最小值．【典例2】設(shè)點P(x，y)是圓(x－3)2＋y2＝4上的動點，定點A(0，2)，B(0，－2)，則|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的最大值為________．【典例3】(多選)若P是圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任一點，則點P到直線y＝kx－1距離的值可以為()A．4 B．6C．3eq\r(2)＋1 D．8【題型三】與圓有關(guān)的軌跡問題【典例1】設(shè)定點M(－3，4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以O(shè)M，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡方程.【典例2】已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：(1)直角頂點C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程.【典例3】已知線段AB的端點B的坐標(biāo)為(8,6)，端點A在圓C：x2＋y2＋4x＝0上運動，求線段AB的中點P的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么．三、【培優(yōu)訓(xùn)練】【訓(xùn)練一】（2023秋·高二單元測試）已知，點P為直線上的一點，點Q為圓上的一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【訓(xùn)練二】（2024·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預(yù)測）圖為世界名畫《蒙娜麗莎》.假設(shè)蒙娜麗莎微笑時的嘴唇可看作半徑為的圓的一段圓弧，且弧所對的圓周角為.設(shè)圓的圓心在點與弧中點的連線所在直線上.若存在圓滿足：弧上存在四點滿足過這四點作圓的切線，這四條切線與圓也相切，則弧上的點與圓上的點的最短距離的取值范圍為（

）A． B．C． D．【訓(xùn)練三】（多選題）（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）加斯帕爾·蒙日（圖1）是18～19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓（圖2）.已知橢圓：的左、右焦點分別為，，點，均在的蒙日圓上，，分別與相切于，，則下列說法正確的是（

）A．的蒙日圓方程是B．設(shè)，則的取值范圍為C．若點在第一象限的角平分線上，則直線的方程為D．若直線過原點，且與的一個交點為，，則【訓(xùn)練四】（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量滿足，，，.則下列說法正確的是（

）A．若點P在直線AB上運動，當(dāng)取得最大值時，的值為B．若點P在直線AB上運動，在上的投影的數(shù)量的取值范圍是C．若點P在以r=為半徑且與直線AB相切的圓上，取得最大值時，的值為3D．若點P在以r=為半徑且與直線AB相切的圓上，的范圍是【訓(xùn)練五】（2023·江蘇無錫·輔仁高中?？寄M預(yù)測）已知三點在圓上，的重心為坐標(biāo)原點，則周長的最大值為.【訓(xùn)練六】（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)拋物線C：的焦點為F，點在拋物線C上，（其中O為坐標(biāo)原點）的面積為4．(1)求外接圓的方程；(2)若過點的直線與拋物線C交于A，B兩點，延長AF，BF分別與拋物線C交于M，N兩點，證明：直線MN過定點，并求出此定點坐標(biāo)．四、【強(qiáng)化測試】一、單選題1．（2023·北京·模擬預(yù)測）當(dāng)圓的圓心到直線的距離最大時，（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，點P滿足，直線，當(dāng)點P到直線l的距離最大時，此時m的值為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點在圓上，過作圓的切線，則的傾斜角為（

）A． B． C． D．4．（2023·江西·校聯(lián)考一模）古希臘亞歷山大時期最后一位重要的幾何學(xué)家帕普斯（，公元3世紀(jì)末）在其代表作《數(shù)學(xué)匯編》中研究了“三線軌跡”問題：即到兩條已知直線距離的乘積與到第三條直線距離的平方之比等于常數(shù)的動點軌跡為圓錐曲線.今有平面內(nèi)三條給定的直線，，，且，均與垂直.若動點M到的距離的乘積與到的距離的平方相等，則動點M在直線之間的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中,已知,,若該平面中不存在點,同時滿足兩個條件與,則的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（2023春·四川宜賓·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓，圓，過動點P分別作圓、圓的切線PA，PB（A，B為切點），使得，則動點P的軌跡方程為（

）．A． B．C． D．7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線與圓相交于M，N兩點.則的最小值為（

）A． B． C．4 D．68．（2023·河北邢臺·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知點，圓，過點的直線與圓交于，兩點，則的最大值為（

）A． B．12 C． D．二、多選題9．（2023春·江西新余·高二新余市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，直線，過點與圓分別切于，，兩點，交于點，和，，則（

）A．與沒有公共點B．經(jīng)過，，三點的圓的方程為C．D．10．（2023春·江蘇南京·高二金陵中學(xué)?？计谥校┮阎獔AC過點，，直線m：平分圓C的面積，過點且斜率為k的直線l與圓C有兩個不同的交點M，N，則（

）A．圓心的坐標(biāo)為B．圓C的方程為C．k的取值范圍為D．當(dāng)時，弦MN的長為11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓，點，點M在x軸上，則（

）A．B不在圓C上 B．y軸被圓C截得的弦長為3C．A，B，C三點共線 D．的最大值為12．（2023·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為，若直線上存在一點M，使過點M所作的圓的兩條切線相互垂直，則點M的縱坐標(biāo)為（

）A．1 B． C． D．三、填空題13．（2023春·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知動圓經(jīng)過點及原點,點是圓與圓的一個公共點,則當(dāng)最小時,圓的半徑為.14．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考一模）已知圓的圓心在直線x－2y－3＝0上，且過點A(2，－3)，B(－2，－5)，則圓的一般方程為.15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點作圓的兩條切線，切點分別為，則的直線方程為.16．（2023春·江蘇南京·高二?？计谀┲本€經(jīng)過點，與圓相交截得的弦長為，則直線的方程為．四、解答題17．（2023秋·山東臨沂·高二山東省臨沂第一中學(xué)校考期末）已知直線經(jīng)過兩條直線和的交點，且與直線垂直．(1)求直線的一般式方程；(2)若圓的圓心為點，直線被該圓所截得的弦長為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．18．（2022·全國·高一專題練習(xí)）點是曲線上任一點，已知曲線在點處的切線方程為．如圖，點P是橢圓上的動點，過點P作橢圓C的切線l交圓于點A、B，過A、B作圓O的切線交于點M．(1)求點M的軌跡方程；(2)求面積的最大值．19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的焦距為，設(shè)橢圓的上頂點為，左右焦點分別為，且是頂角為的等腰三角形.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知是橢圓上的兩點，以橢圓中心為圓心的圓的半徑為，且直線與此圓相切.證明：以為直徑的圓過定點.20．（2023秋·天津北辰·高二校考期末）已知圓心為的圓經(jīng)過點和，且圓心在直線上，求：(1