Romberge積分省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

§3Romberg積分

/*RombergIntegration*/一、Richardson外推法二、Romberg求積方法第1頁Romberg求積方法是在積分區(qū)間逐次分半過程中利用外推法產(chǎn)生一個數(shù)值積分方法,當(dāng)被積函數(shù)光滑性條件滿足時,能夠得到較準(zhǔn)確積分近似法.一、Richardson外推法外推法是一個準(zhǔn)確度較低近似公式組合成準(zhǔn)確度較高近似公式方法.設(shè)h≠0是任意數(shù),F(h)是關(guān)于步長h迫近F*近似公式,它們誤差預(yù)計式為這里,k1,k2,k3…是一組常數(shù).稱F(h)迫近F*誤差為O(h).第2頁我們希望找到一個簡便方法,用近似公式F(h)組合,得到誤差階較高近似公式,使迫近F*誤差為O(h2)類似地,用組合產(chǎn)生迫近F*誤差O(h3)近似公式等把h冪次稱為誤差階,比如O(h2),稱為二階誤差,等等.第3頁改寫用h/2代替式中h,得為(1)(2)2×(2)-(1)得:令(3)第4頁這里,F2(h)迫近F*誤差為O(h2)改寫(3)式為(4)再用h/2代替h,使(4)式變?yōu)?5)4×(5)-(4)得:記(6)第5頁(6)式能夠?qū)憺?7)這里,F3(h)迫近F*誤差為O(h3)還是用h/2代替h代入(7)式后,類似上述過程,可以得到誤差為O(h3)F3(h)普通地,對k=2,3,…,n,有迫近F*誤差為O(hk)遞推公式稱為關(guān)于步長h外推公式.第6頁下表列出了k=2,3,4時,按遞推公式產(chǎn)生Fk(h)計算次序,表中各列左邊黑體數(shù)字表示序號.第7頁設(shè)帶余項差分公式為(8)導(dǎo)出含有誤差為O(h2j)外推公式.令用h/2代替h,得(9)例1解第8頁4×(9)-(8)得:從而有(10)其中這時,F2(h)迫近誤差為O(h4)重復(fù)用h/2代替h并消去含h2i項(i=2,3,…,j-1)得到迫近誤差為O(h2j)外推公式為第9頁注意上式中第二項分母為4j-1-1而不是2j-1-1.這是因為(8)式中余項為關(guān)于h2冪次而不是關(guān)于h冪次.第10頁Romberg求積方法是以復(fù)化梯形公式為基礎(chǔ),應(yīng)用Richardson外推法導(dǎo)出數(shù)值求積方法.二、Romberg求積方法第11頁回想復(fù)化梯形公式,分別把積分區(qū)間[a,b]分為1,2,4等分結(jié)果列下表k123124第12頁深入推導(dǎo)出它們遞推關(guān)系普通地,把區(qū)間[a,b]逐次分半k-1次(k=1,2,…,n),區(qū)間長度(步長)為,其中mk=2k-1第13頁按外推法思想記則或其中從而有看成是關(guān)于hk誤差為O(hk2)一個近似公式復(fù)化梯形求積公式稱為第14頁為消去hk2項,再取hk+1=hk/2代替(11)式中hk

所以,復(fù)化梯形公式誤差公式為(11)(12)4×(12)-(11)得:第15頁記k=2,3,…,n這是誤差為O(h4)外推公式重復(fù)上述過程,將區(qū)間逐次分半k-1次后,能夠得到誤差為O(h2j)外推公式k=2,3,…,n,j=k=2,3,…,n外推公式稱為第16頁當(dāng)j=2時復(fù)化Simpson公式當(dāng)k=2時這是n=2復(fù)化Simpson公式S2不難驗證,對普通k,是n=2k-1復(fù)化Simpson公式第17頁第二部分,用外推公式計算Tk(j)(k=2,3,…,j=2,…k)類似地,當(dāng)j=3時Romberg求積方法所謂Romberg求積方法,就是由上述兩部分組成.第一部分,對積分區(qū)間逐次分半k-1次,用復(fù)化梯形求積公式計算Tk(1)(k=1,2,…)第18頁再區(qū)間分半,令k=3,區(qū)間長度h3=h2/2,先計算T3(1),再計算T3(2)T3(3)Romberg法計算過程首先,令k=1,區(qū)間長度h1=b-a,用梯形求積公式計算T1(1)區(qū)間分半,令k=2,區(qū)間長度h2=h1/2,先計算T2(1),再按外推公式計算T2(2)逐次分半?yún)^(qū)間k次后計算結(jié)果以下表第19頁外推加速公式以上整個過程稱為Romberg算法將上述結(jié)果綜合后第20頁在實際應(yīng)用中,往往依據(jù)實際問題對計算準(zhǔn)確度要求來確定區(qū)間逐次分半次數(shù).復(fù)化梯形公式計算外推公式計算慣用不等式作為到達(dá)準(zhǔn)確度要求判斷準(zhǔn)則第21頁用Romberg求積方法計算近似值,給定

=0.001

首先令區(qū)間長度h1=1,用梯形求積公式計算例2解第22頁>=0.001<=0.001T3(3)作為積分近似,其誤差為O(h36)第23頁例：利用數(shù)據(jù)表