線性方程組(ch2.4-5-6)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第2章線性方程組§2.1線性方程組§2.2向量及其線性運(yùn)算§2.3向量間線性關(guān)系§2.4向量組秩§2.5線性方程組解結(jié)構(gòu)§2.6Rn標(biāo)準(zhǔn)正交基第1頁(yè)9/16/20231集美大學(xué)理學(xué)院本章關(guān)鍵點(diǎn)線性方程組向量組線性相關(guān)性解法(消元法)解判定解結(jié)構(gòu)線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)極大無(wú)關(guān)組與秩第2頁(yè)9/16/20232集美大學(xué)理學(xué)院§2.4向量組秩一、向量組極大線性無(wú)關(guān)組即:向量組中線性無(wú)關(guān)部分組不惟一存在；線性無(wú)關(guān)部分組包含向量個(gè)數(shù)也可能不一樣.線性無(wú)關(guān),考查向量組可見(jiàn)線性無(wú)關(guān),線性無(wú)關(guān),另外，任意4個(gè)向量組合都線性相關(guān)，如這里,含有這么特征（線性無(wú)關(guān)，個(gè)數(shù)再多一個(gè)就線性相關(guān)）就是以下要引入極大線性無(wú)關(guān)組.第3頁(yè)9/16/20233集美大學(xué)理學(xué)院(2)

該向量組中任意r+1個(gè)向量（假如有話）都線性相關(guān).注意:“極大”是指該部分組是向量組中包含向量個(gè)數(shù)“最多”線性無(wú)關(guān)向量組.若一個(gè)向量組部分組滿足(1)線性無(wú)關(guān);定義2.11

則稱為向量組一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.

簡(jiǎn)稱極大無(wú)關(guān)組。第4頁(yè)9/16/20234集美大學(xué)理學(xué)院由零向量組成向量組沒(méi)有極大無(wú)關(guān)組;在包含非零向量向量組中有極大無(wú)關(guān)組,且極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)大于1;線性無(wú)關(guān)向量組極大無(wú)關(guān)組是這個(gè)向量組本身.一個(gè)向量組極大無(wú)關(guān)組可能不是唯一;與向量組第5頁(yè)9/16/20235集美大學(xué)理學(xué)院1、定義2.12

若向量組(I)中每個(gè)向量均可由向量組(II)線性表示,則稱

向量組(I)能夠由向量組(II)線性表示.若向量組(I)和(II)能夠相互線性表示出，則稱向量組(I)和(II)等價(jià)，記作(I)≌(II).二、向量組線性表示2、向量組線性表示性質(zhì)傳遞性：若向量組(I)可由向量組(II)線性表示，而向量組(II)又可由向量組(III)線性表示，則向量組(I)也可由向量組(III)線性表示。第6頁(yè)9/16/20236集美大學(xué)理學(xué)院證：要證向量組(I)線性相關(guān)，即證存在一組不全為0數(shù)

k1,k2,…,ks，使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0……….(*)

即以（α1,α2,…,αs）為系數(shù)矩陣齊次線性方程組有非0解。實(shí)際上：定理2.8向量組和它極大無(wú)關(guān)組等價(jià)。推論向量組任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組之間等價(jià)定理2.9

若向量組(I)

α1,α2,…,αs可由向量組(II)

β1,β2,…,βt線性表示，若s>t，則向量組(I)線性相關(guān)。第7頁(yè)9/16/20237集美大學(xué)理學(xué)院由條件知，

αj=a1jβ1+a2jβ2+…+atjβt,(j=1,2,…,s)代入（*）式得

k1

(a11β1+a21β2+…+at1βt)

+k2

(a12β1+a22β2+…+at2βt)

+……………….+ks

(a1sβ1+a2sβ2+…+atsβt)

=0即(a11k1+a12k2+…+a1sks)β1

+(a21k1+a22k2+…+a2sks)β2

+……………….+(at1k1+at2k2+…+atsks)βt=0第8頁(yè)9/16/20238集美大學(xué)理學(xué)院由s>t知，齊次線性方程組a11x1+a12x2+…+a1sxs=0a21x1+a22x2+…+a2sxs=0……………….at1x1+at2x2+…+atsxs=0有非0解。即可取不全為0數(shù)k1,k2,…,kt作為上式解。注：①向量組(I)可由向量組(II)表示，若向量組(I)線性無(wú)關(guān)，則s≤t。②向量組(I)和(II)可相互表示，若向量組(I)(II)線性無(wú)關(guān)，則s=t。③

一個(gè)向量組任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)相同。第9頁(yè)9/16/20239集美大學(xué)理學(xué)院三、向量組秩注：①僅含零向量向量組不存在最大無(wú)關(guān)組,要求秩為零;

②任意含非零向量向量組秩大于1;

③線性無(wú)關(guān)向量組秩即向量組所含向量個(gè)數(shù)定理2.10若{α1,α2,…,αs}≌{(diào)β1,β2,…,βt}，則r(α1,α2,…,αs)=r(β1,β2,…,βt).證：設(shè)向量組{α1,α2,…,αs}與{β1,β2,…,βt}秩分別為r和p，且設(shè)它們極大無(wú)關(guān)組分別為{αi1,αi2,…,αir}和{βj1,βj2,…,βjp},則第10頁(yè)9/16/202310集美大學(xué)理學(xué)院{α1,α2,…,αs}≌{(diào)αi1,αi2,…,αir}，{β1,β2,…,βt}≌{(diào)βj1,βj2,…,βjp}，又因?yàn)閧α1,α2,…,αs}≌{(diào)β1,β2,…,βt}，所以由傳遞性知{αi1,αi2,…,αir}≌{(diào)βj1,βj2,…,βjp},再由定理2.9注②知，r=p.即r(α1,α2,…,αs)=r(β1,β2,…,βt)。第11頁(yè)9/16/202311集美大學(xué)理學(xué)院四、向量組秩與矩陣秩關(guān)系,,顯然矩陣A既對(duì)應(yīng)m個(gè)行向量又對(duì)應(yīng)n個(gè)列向量:A行向量組A列向量組第12頁(yè)9/16/202312集美大學(xué)理學(xué)院定義2.14矩陣A行向量組秩稱為矩陣A行秩；矩陣A列向量組秩稱為矩陣A列秩定理2.12矩陣A秩等于它列向量組秩(列秩)；也等于它行向量組秩(行秩)。例1設(shè)矩陣A=，則A行秩為3，列秩為3，即矩陣A行秩等于列秩注:該定理不但說(shuō)明了矩陣行向量組與列向量組內(nèi)在關(guān)系,而且能夠得到求向量組秩方法.第13頁(yè)9/16/202313集美大學(xué)理學(xué)院設(shè)A~B,則A、B列向量組有相同線性關(guān)系.(經(jīng)過(guò)列變換后,A、B行向量也有相同線性關(guān)系)行性質(zhì)：本性質(zhì)包含以下涵義:

②A列向量組α1,α2,…,αn中,若αi可由其中αj1,αj2,…,αjs線性表示:αi=k1αj1

+k2αj2

+…+ktαjsB中列向量組β1,β2,…,βn中對(duì)應(yīng)βi可由其中βj1,βj2,…,βjs線性表示:βi=k1βj1

+k2βj2

+…+ktβjs①A列向量組α1,α2,…,αn中任意s個(gè)向量αj1,αj2,…,αjs線性無(wú)關(guān)B中列向量組β1,β2,…,βn中對(duì)應(yīng)s個(gè)向量βj1,βj2,…,βjs線性無(wú)關(guān)第14頁(yè)9/16/202314集美大學(xué)理學(xué)院解結(jié)構(gòu)矩陣第15頁(yè)9/16/202315集美大學(xué)理學(xué)院解結(jié)構(gòu)矩陣第16頁(yè)9/16/202316集美大學(xué)理學(xué)院解結(jié)構(gòu)矩陣對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換將其化為行最簡(jiǎn)形,得第17頁(yè)9/16/202317集美大學(xué)理學(xué)院行第18頁(yè)9/16/202318集美大學(xué)理學(xué)院1.(1)3;(2)2.答案練習(xí)第19頁(yè)9/16/202319集美大學(xué)理學(xué)院§2.5線性方程組解結(jié)構(gòu)一、引例這里R(A|β)=R(A)<n,所以有沒(méi)有窮多個(gè)解.自由未知量個(gè)數(shù)n-R(A)=1.第20頁(yè)9/16/202320集美大學(xué)理學(xué)院所以方程組(1)與下面方程組同解令x3=c,則原方程組解為為何它能夠代表方程組(1)全部解呢?這就是方程組解結(jié)構(gòu)問(wèn)題!!第21頁(yè)9/16/202321集美大學(xué)理學(xué)院二、齊次線性方程組解結(jié)構(gòu)齊次線性方程組記為齊次線性方程組解幾個(gè)基本性質(zhì):齊次線性方程組解線性組合也是齊次線性方程組解第22頁(yè)9/16/202322集美大學(xué)理學(xué)院由性質(zhì)知,當(dāng)AX=0有非0解時(shí),則它必有沒(méi)有窮多個(gè)解,這無(wú)窮多個(gè)解組成一個(gè)n維向量組,只要找到該向量組一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,就可用它線性組合來(lái)表示齊次線性方程組全部解.定義2.15若是齊次線性方程組AX=0解向量組一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,則稱是齊次線性方程組AX=0一個(gè)基礎(chǔ)解系.第23頁(yè)9/16/202323集美大學(xué)理學(xué)院定理2.13若齊次線性方程組AX=0系數(shù)矩陣A秩R(A)=r<n,則方程組基礎(chǔ)解系存在,且每個(gè)基礎(chǔ)解系中恰有n-r個(gè)向量.證:

第24頁(yè)9/16/202324集美大學(xué)理學(xué)院即上面增廣矩陣所代表線性方程組為:其中為自由未知量.它與原方程組AX=0同解因?yàn)樽杂晌粗靠扇∪我庵?令分別取(1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(0,0,…,1),則得方程組AX=0n-r個(gè)解:第25頁(yè)9/16/202325集美大學(xué)理學(xué)院下證是AX=0一個(gè)基礎(chǔ)解系.顯然是AX=0n-r個(gè)解,下面只要證它是AX=0全部解所組成向量組一個(gè)極大無(wú)關(guān)組即可.分兩步:(i)證實(shí)是線性無(wú)關(guān)(ii)證實(shí)AX=0任意一個(gè)解可表為線性組合.(定義2.11)第26頁(yè)9/16/202326集美大學(xué)理學(xué)院(i)所以線性無(wú)關(guān).(ii)設(shè)為AX=0任一個(gè)解,則有所以第27頁(yè)9/16/202327集美大學(xué)理學(xué)院第28頁(yè)9/16/202328集美大學(xué)理學(xué)院第29頁(yè)9/16/202329集美大學(xué)理學(xué)院第30頁(yè)9/16/202330集美大學(xué)理學(xué)院所以是AX=0一個(gè)基礎(chǔ)解系.從而方程組AX=0全部解為求解基礎(chǔ)解系方法:①對(duì)增廣矩陣(系數(shù)矩陣)施以初等行變換化成以下形式②確定n-r個(gè)自由未知量齊次線性方程組解結(jié)構(gòu)第31頁(yè)9/16/202331集美大學(xué)理學(xué)院令分別取(1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(0,0,…,1),則得方程組AX=0n-r個(gè)解即為基礎(chǔ)解系.例1求以下齊次線性方程組一個(gè)基礎(chǔ)解系,并用此基礎(chǔ)解系表示方程組全部解(通解)解方程組系數(shù)矩陣對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換,得第32頁(yè)9/16/202332集美大學(xué)理學(xué)院令自由未知量從而得到方程組兩個(gè)非零解:第33頁(yè)9/16/202333集美大學(xué)理學(xué)院在求解過(guò)程中,也可對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換,得到同解方程組,進(jìn)而得到全部解.第34頁(yè)9/16/202334集美大學(xué)理學(xué)院例2求以下齊次線性方程組一個(gè)基礎(chǔ)解系,并用此基礎(chǔ)解系表示方程組全部解(通解)解第35頁(yè)9/16/202335集美大學(xué)理學(xué)院r(A)=2<n=4,方程組有沒(méi)有窮多解，基礎(chǔ)解系含2個(gè)向量，得同解方程組令自由未知量,得基礎(chǔ)解系全部解為第36頁(yè)9/16/202336集美大學(xué)理學(xué)院例3求以下齊次線性方程組一個(gè)基礎(chǔ)解系:解第37頁(yè)9/16/202337集美大學(xué)理學(xué)院r(A)=2,方程組基礎(chǔ)解系含有3個(gè)向量.得令自由未知量第38頁(yè)9/16/202338集美大學(xué)理學(xué)院方程組普通解為此即齊次線性方程組一個(gè)基礎(chǔ)解系.第39頁(yè)9/16/202339集美大學(xué)理學(xué)院練習(xí)：答案：第40頁(yè)9/16/202340集美大學(xué)理學(xué)院例4設(shè)矩陣A,B滿足AB=0,且R(A)=r.則R(B)≤n-r.P99例2對(duì)任意兩矩陣A,B,當(dāng)AB=0時(shí),總有R(A)+R(B)≤n三、非齊次線性方程組解結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組可表為

AX=β,當(dāng)β=0時(shí),得到齊次線性方程組

AX=0稱為非齊次線性方程組導(dǎo)出組.第41頁(yè)9/16/202341集美大學(xué)理學(xué)院線性方程組解幾個(gè)基本性質(zhì):定理2.14若μ1是非齊次線性方程組AX=β一個(gè)解，ν是導(dǎo)出組AX=0全部解，則μ=μ1+ν是非齊次線性方程組AX=β全部解。證：要證μ=μ1+ν是非齊次線性方程組AX=β全部解，只需證對(duì)于任意一個(gè)AX=β解μ*可表為μ=μ1+ν形式即可（其中

μ1是AX=β解，ν是AX=0某個(gè)解）。實(shí)際上，令ν1=μ*-μ1，則有性質(zhì)2知，它是AX=0某個(gè)解.從而μ*可表為μ=μ1+ν形式。＃

第42頁(yè)9/16/202342集美大學(xué)理學(xué)院設(shè)μ1是非齊次線性方程組AX=β一個(gè)解，且導(dǎo)出組AX=0全部解為ν=c1ν1+c2ν2+…+cn-rνn-r(其中ν1,ν2,…,νn-r是AX=0基礎(chǔ)解系)，則非齊次線性方程組AX=β全部解為

μ=μ1+c1ν1+c2ν2+…+cn-rνn-r,故要求非齊次線性方程組AX=β全部解，只需AX=β一個(gè)解

（稱為特解），再求其導(dǎo)出組AX=0基礎(chǔ)解系即可。

例5判斷以下線性方程組是否有解?若方程組有解,在有沒(méi)有窮多解時(shí),試求其導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系,并用基礎(chǔ)解系表示其全部解:非齊次線性方程組解結(jié)構(gòu)第43頁(yè)9/16/202343集美大學(xué)理學(xué)院解所以方程組有解，并有沒(méi)有窮多解,第44頁(yè)9/16/202344集美大學(xué)理學(xué)院令自由未知量可得原方程組一個(gè)特解：由令自由未知量（x2,x4）分別取（1，0），（0，1）得導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系第45頁(yè)9/16/202345集美大學(xué)理學(xué)院所以全部解為求該方程組通解.第46頁(yè)9/16/202346集美大學(xué)理學(xué)院于是導(dǎo)出組任何一個(gè)非零解都可作為其基礎(chǔ)解系.顯然,是導(dǎo)出組非零解,可作為其基礎(chǔ)解系.故方程組通解為第47頁(yè)9/16/202347集美大學(xué)理學(xué)院第48頁(yè)9/16/202348集美大學(xué)理學(xué)院

例7

求出一個(gè)齊次線性方程組,使它基礎(chǔ)解系由以下向量組成:即第49頁(yè)9/16/202349集美大學(xué)理學(xué)院這個(gè)方程組同解方程組為第50頁(yè)9/16/202350集美大學(xué)理學(xué)院其基礎(chǔ)解系為第51頁(yè)9/16/202351集美大學(xué)理學(xué)院故所求齊次線性方程組系數(shù)矩陣所求齊次線性方程組為第52頁(yè)9/16/202352集美大學(xué)理學(xué)院練習(xí)：第53頁(yè)9/16/202353集美大學(xué)理學(xué)院答案：第54頁(yè)9/16/202354集美大學(xué)理學(xué)院§2.6Rn標(biāo)準(zhǔn)正交基一幾個(gè)相關(guān)概念基

在Rn中，稱任意n個(gè)線性無(wú)關(guān)向量

α1,α2,…,αn為Rn一組基.

初等單位向量組(單位坐標(biāo)向量組)

標(biāo)準(zhǔn)基或自然基第55頁(yè)9/16/202355集美大學(xué)理學(xué)院2坐標(biāo)設(shè)α1,α2,…,αn為Rn一組基，則對(duì)任意α∈Rn，α能夠惟一表示成α1,α2,…,αn線性組合，即存在a1,a2,…,an∈R，使

α=a1α1+a2α2+…+anαn稱組合系數(shù)a1,a2,…,an為α在基α1,α2,…,αn下坐標(biāo)，記作(a1,a2,…,an)。例1分別求α=(d1,d2,…,dn)T在標(biāo)準(zhǔn)基(ε1,ε2,…,εn)和基α1=(1,0,…,0)T，α2=(1,1,…,0)T，…，αn=(1,1,…,1)T下坐標(biāo)。

第56頁(yè)9/16/202356集美大學(xué)理學(xué)院3內(nèi)積

設(shè)α=(a1,a2,…,an)T，β=(b

1,b

2,…,bn)T為Rn中兩個(gè)向量，則稱為向量α和β內(nèi)積。性質(zhì)：(1)

αTβ=βTα;(2)(kα)Tβ=kαTβ;

(3)(α+β)Tγ=αTγ+βTγ;(4)

αTα≥0,且αTα=0

α=0。第57頁(yè)9/16/202357集美大學(xué)理學(xué)院4向量長(zhǎng)度設(shè)α=(a1,a2,…,an)T∈Rn，記稱為向量α長(zhǎng)度或模。當(dāng)||α||=1時(shí)，稱α為單位向量。性質(zhì)：(1)||α||≥0,且||α||=0

α=0;(2)||kα||=|k|·||α||;(3)|αTβ|≤||α||·||β||，且|αTβ|=||α||·||β||

α,β線性相關(guān)。向量單位化或標(biāo)準(zhǔn)化：

若α≠0,則α/||α||為單位向量。第58頁(yè)9/16/202358集美大學(xué)理學(xué)院5正交設(shè)α,β

∈Rn

，若αTβ=0，則稱α與β正交。若α1,α2,…,αs(s≥2)為非零向量組且兩兩正交，則稱α1,α2,…,αs為一個(gè)正交向量組。若正交向量組中每一個(gè)