數(shù)學(xué)人教A版必修4課堂導(dǎo)學(xué)案3.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換（一）

課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析1.綜合運(yùn)用所學(xué)公式進(jìn)行化簡(jiǎn).求值和證明【例1】已知cos（α+β）=，cos（αβ）=，求tanαtanβ的值.思路分析：要求tanαtanβ，需求sinαsinβ與cosαcosβ，兩個(gè)整體式子的值，而cos（α+β）與cos（αβ）展開(kāi)式中正好含有cosαcosβ與sinαsinβ，因此，可構(gòu)造關(guān)于sinαsinβ，cosαcosβ的方程組來(lái)求解.解：由條件得：①+②得，2cosαcosβ=，∴cosαcosβ=.②①得，2sinαsinβ=，∴sinαsinβ=.∴tanαtanβ=.溫馨提示要抓住公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，在充分理解的基礎(chǔ)上加強(qiáng)記憶，并能做到靈活運(yùn)用公式本題就是利用方程的思想，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于sinαsinβ與cosαcosβ的方程組，通過(guò)解方程獲解.2.輔助角公式的應(yīng)用【例2】將下列各式化簡(jiǎn)為Asin（ωx+φ）的形式：（1）cosxsinx；（2）3sinx+cosx；（3）asinx+bcosx（ab≠0）.思路分析：本題主要考查兩角和（差）的正余弦公式的恒等變形.解：（1）cosxsinx=（sinxcosx）=（sinxcosx）=（sinxcoscosxsin）=sin（x）.本題化簡(jiǎn)結(jié)果不唯一，也可這樣變換：cosxsinx=（cosxsinx）=（sinxcos+cosxsin）=sin（x+）.（2）3sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2（sinxcos+cosxsin）=2sin（x+）.（3）asinx+bcosx==（sinxcosφ+cosxsinφ）=sin（x+φ）.其中cosφ=，sinφ=.3.半角公式的應(yīng)用及符號(hào)選擇【例3】已知cosθ=，且180°＜θ＜270°，求tan的值.思路分析：本題有以下兩種思路：（1）cosθ=→tan=±→tan的值；（2）cosθ=→tan=（或tan=)→tan的值.對(duì)于（1）的思考要注意符號(hào)的選擇.解法1：因?yàn)?80°＜θ＜270°，所以90°＜＜135°，即是第二象限的角，所以tan＜0，∴tan=解法2：因?yàn)?80°＜θ＜270°，即θ是第三象限角，∴sinθ=.∴tan==2，或tan==2.各個(gè)擊破類(lèi)題演練1已知sin（α+β）=，sin（αβ）=，求的值.解：由已知可得:sinαcosβ+cosαsinβ=①sinαcosβcosαsinβ=②①+②得sinαcosβ=，①②得cosαcosβ=.∴=5.變式提升1求值：tan（θ）+tan（+θ）+tan（θ）·tan（+θ）.解：原式=tan［（θ）+（+θ）］·［1tan（θ）·tan（+θ）］+tan（θ）·tan（+θ）=tan·［1tan（θ）·tan（+θ）］+tan（θ）·tan（+θ）=·tan（θ）·tan（+θ）+tan（θ）tan（+θ）=.類(lèi)題演練2將3sinx4cosx化為Asin（ωx+φ）的形式.解：3sinx4cosx=5（sinxcosx）令cosφ=，φ為第一象限角，則sinφ=，∴3sinx4cosx=5（sinxcosφcosxsinφ）=5sin（xφ）.變式提升2（1）求函數(shù)y=sin4x+2sinxcosxcos4x的最小正周期和最小值；并寫(xiě)出該函數(shù)在［0，π］上的單調(diào)遞增區(qū)間.解：y=sin4x+2sinxcosxcos4x（sin2x+cos2x）（sin2xcos2x）+sin2x=sin2xcos2x=2sin（2x）.故該函數(shù)的最小正周期是π；最小值是2.單增區(qū)間是［0，］，［，π］.（2）當(dāng)y=2cosx3sinx取得最大值時(shí)，tanx的值是（）A.C.解析：y=2cosx3sinx=sin（x+φ）最大值為，又sin2x+cos2x=1，解得sinx=，cosx=，∴tanx==.答案：B類(lèi)題演練3已知sinφ·cosφ=，且＜φ＜，求sinφ，cosφ的值.解：∵sinφcosφ=,∴sin2φ=,又∵＜φ＜，＜2φ＜π，cos2φ＜0,∴cos2φ=sinφ＞0，cosφ＞0.∴sinφ=，cosφ=.變式提升3設(shè)5π＜