債券價格與收益率

第二章債券價格與收益率內(nèi)容提要利率

1債券價格表達式2債券價格與時間利率的關(guān)系

3收益率4債券價格變動與套利機制

52023/9/162利率利率是人們貸出貨幣所要求的回報率?！贪凑肇泿沤栀J交易達成的時間與借款開始的時間之間的關(guān)系，利率可以分為即期利率與遠期利率。√三個重要日期：議定日、借出日、償還日2023/9/163利率即期利率即期利率就是人們根據(jù)零息債券的價格計算出來的利率水平。用i(0,t)表示償還期為t的當前時刻的即期利率。√如果市場上期滿日為三個月的零息債券的價格是99元（面值100元），在意味著（年度化的）即期利率=[（100-99）/99]/（1/4）=4.04%

√設(shè)想某2年期零息債券當前的價格79.72，則79.72×（1+i）2=100,得到i=12%，意味著2年期市場的即期利率是（平均每年）12%。2023/9/164利率遠期利率遠期利率代表了未來兩個時點之間的利率水平。用f(0,t,T)代表一個議定日為當前（0時刻）、資金借出日為t,償還日為T的遠期利率水平。0tT議定日貸款日償還日f(0,t,T)2023/9/165利率即期利率和遠期利率的關(guān)系

√即期利率可以表示為：i(0,t)=f(0,0,t)。

√金融市場套利機制的存在使得即期利率與遠期利率存在如下關(guān)系：√如果等號左邊大于等號右邊：借一筆期限為T的長期資金，立即投資t期，同時簽訂一個T-t的遠期貸款合同,就可獲得無風險利潤?！倘绻忍栕筮呅∮诘忍栍疫叄航枰还P期限為t的短期資金并立即按照T期貸出，同時簽訂一個遠期借款協(xié)議（期限為T-t）,就可獲得無風險利潤。2023/9/166利率遠期利率的表達式2023/9/167利率如何計算遠期利率

已知3年期即期利率為5%，兩年期即期利率為4%，則第2年到第3年之間的遠期利率為2023/9/168利率利率與金額回報把“1+利率”看作是某個投資期實現(xiàn)的金額回報。T期即期金額回報就是組成T期的兩個遠期金額回報的幾何加權(quán)平均數(shù)，權(quán)重是每段時間占總時段的比重。2023/9/169利率利率與金額回報把時間段（0，T）劃分成n個小區(qū)間，分別由t1，t2，t3，…，tn來代表這些小的時間區(qū)間上的時間點，則市場套利機制使得下面的式子成立tn期限內(nèi)的即期金額回報是該區(qū)間內(nèi)各個小的時間段的遠期金額回報的幾何平均數(shù)。

2023/9/1610債券價格表達式一般意義債券的價格，從理論上講，就是債券帶來的現(xiàn)金流的貼現(xiàn)之和零息債券零息債券是到期一次性還本付息的債券，其特征是僅發(fā)生兩筆現(xiàn)金流零息債券的現(xiàn)金流特點。箭頭向下表示支出現(xiàn)金流，箭頭向上表示收到現(xiàn)金流當前價格到期償付2023/9/1611債券價格表達式零息債券的價格表達式例如：某零息債券剩余期限為兩年，如果當前兩年期的即期利率是4%，則B0=100[1+4%]-2=92.46。2023/9/1612債券價格表達式√如果當前零息債券的市場價格B(i)小于B0，即

則可以按照利率i在（0，T)期間內(nèi)借款B(i)，用此借款按市場價格購買一張債券并持有到期。到期時得到金額BT，此時需要償還的借款本息和為B(i)[1+i(0,T)]T。√如果當前零息債券的市場價格B(i)大于B0，即則可以借出一張債券，得到金額B(i)，將其按利率i在(0,T)期間投資，到期時本息和為B(i)[1+i(0,T)]T。獲得無風險收益導致債券供不應求，價格上漲，利率上漲。獲得無風險收益導致債券供過于求，價格下跌，利率下降。2023/9/1613債券價格表達式附息債券附息債券現(xiàn)金流的特點是中途有票息支付，到期歸還本金和最后一次票息附息債券的現(xiàn)金流特點。與零息債券不同的是中途有多筆現(xiàn)金流發(fā)生。當前價格本金+最后的票息=CTC1C2C3CT-1CT-2C42023/9/1614債券價格表達式附息債券的理論價格是所有現(xiàn)金流的貼現(xiàn)和，故附息債券的價格表達式是：這里，Ct表示第t筆現(xiàn)金流，i(0,t)表示與之對應的第t個貼現(xiàn)率。當債券的市場價格偏離理論價格時，就會存在套利行為，套利活動會使市場價格回歸到理論價格。對于利率固定的附息債券，i(0,t)=i2023/9/1615債券價格表達式如果第1年至第10年的即期利率分別為4.5%，4.75%，4.95%，5.1%，5.2%，5.3%，5.4%，5.45%，5.5%，5.5%，則對于一個剩余期限為10年的票息率為7%的債券，其理論價格為：2023/9/1616債券價格表達式當債券的市場價格B(i)小于理論價格，即用k(0<k<1)表示債券市場價格與理論價格的比例，則B(i)=kB0。此時，套利者借入一筆相當于債券市場價格的資金，然后用它購買債券并持有到期，就可獲得無風險利潤?！痰谝徊剑_定借款總額、借款筆數(shù)及每筆數(shù)額。借款總額是：借款筆數(shù)共T筆，分別是1年期借款，2年期借款，???，T年期借款。其中，1年期借款的數(shù)額是kc1[1+i(0,1)]-1，2年期借款的數(shù)額是kc2[1+i(0,2)]-2，???，T年期借款的數(shù)額是kc2[1+i(0,T)]-T。2023/9/1617債券價格表達式√第二步，預測各期債券的現(xiàn)金流，以及需要歸還的借款本息，并計算凈現(xiàn)金流。第1年收到的債券現(xiàn)金流為c1，需要歸還的借款本息是kc1，凈現(xiàn)金流為：c1-kc1=c1(1-k)

第t年收到的債券現(xiàn)金流為c

t，需要歸還的借款本息是kc

t，凈現(xiàn)金流為：c

t-kc

t=c

t(1-k)√第三步，計算套利結(jié)果。每期凈現(xiàn)金流的貼現(xiàn)值是：套利行為通過借款，抬高市場借款利率，從而壓低債券理論價格。通過購買債券，推動債券價格上漲。這兩方面都促使被低估的債券市場價格趨向理論價格。2023/9/1618債券價格表達式當債券的市場價格B(i)大于理論價格，即同樣令B(i)=kB0，則k>1。此時，套利者借入借入債券并立即拋售，然后獲得的資金用于投資，就可獲得無風險利潤。√第一步，借入債券并拋售，所得資金為：√第二步，按照下列方式投資并計算凈收益：將金額為kc1[1+i(0,1)]-1的貨幣按利率i(0,1)投資1年，將金額為kc2[1+i(0,2)]-2的貨幣按利率i(0,2)投資2年，???，將金額為

kc2[1+i(0,T)]-T的貨幣按利率i(0,T)投資T年。2023/9/1619債券價格表達式于是，第1年年底套利者得到的貸款本息和是kc1，在償還了債券出借者的票息c1后，凈利潤是：kc1-c1=c1(k-1)

同理，第t年年底的凈利潤是：kc

t-c

t=c

t(k-1)√第三步，在第T

期期末，套利者用得到的現(xiàn)金kc

t買回債券（價格為c

t）還給出借者。√第四步，計算套利結(jié)果。每期凈現(xiàn)金流的貼現(xiàn)值是：套利行為通過借入債券并拋售，促使債券市場價格下降，通過貸出資金，導致利率下降，從而提高債券理論價格。這兩方面都促使被高估的債券市場價格趨向理論價格。2023/9/1620債券價格與時間、利率的關(guān)系假設(shè)各個期限的即期利率都相同，則債券價格表達式是：因此，債券價格B(i)與利率i呈反比關(guān)系。這里，cT=c+BT2023/9/1621債券價格與時間、利率的關(guān)系債券價格的封閉形式等式左邊稱為債券的相對價格。右邊式子中的c/BT就是票息率。該等式的直觀意義有3點：1.債券相對價格始終在[（c/BT）/i]和1之間波動2.票息率和市場利率之間的關(guān)系決定債券相對價格3.隨著到期日的臨近（令T趨向于零），等式右邊趨向于1，即債券價格趨近于面值2023/9/1622債券價格與時間、利率的關(guān)系債券價格與時間、利率關(guān)系示意圖——僅時間變動T時間債券價格1000溢價債券平價債券折價債券2023/9/1623債券價格與時間、利率的關(guān)系債券價格與時間、利率關(guān)系示意圖——僅利率變動短期債券到期債券長期債券利率債券價格02023/9/162496國債8經(jīng)歷了中國從1996年到2003年之間利率變動的周期。以該國債為例，分析利率波動和時間效應對其價格的影響。掛牌代碼000896期限7掛牌名稱96國債⑻到期日2003-11-01國債全稱九六年記帳式(八期)國債票面利率8.56%實際發(fā)行量200億國債付息方式按年付息發(fā)行價格100計息日期1996-11-01發(fā)行方式記帳式上市日期1996-11-2196國債8的基本信息債券價格與時間、利率的關(guān)系2023/9/1625

96國債8凈價平均價格與1年期定期存款利率的走勢債券價格與時間、利率的關(guān)系2023/9/1626收益率債券收益率就是投資債券的回報率。影響收益率高低的4個因素：債券的買賣價格（資本利得因素）票息的高低（票息因素）票息以什么樣的利率再投資（再投資因素）時間因素2023/9/1627收益率當期收益率

1到期收益率2持有期收益率

3總收益率4債券的收益率指標很多，不同假設(shè)條件下收益率的含義和名稱有所不同。2023/9/1628收益率當期收益率當期收益率（currentyield,簡稱CY）是票息與債券購買價格之比計算公式特點：直觀簡單，便于計算，強調(diào)了購買價格和票息的高低對收益率的影響它沒有考慮賣出價格與時間的因素，更沒有考慮再投資因素2023/9/1629收益率例子：21國債（10）是財政部于2001年9月25日發(fā)行的10年期國債，到期日為2011年9月25日，票面額為100元，票面利率為2.95%，計息方式為固定利率，每年9月25日付息一次。某投資者于2006年12月25日按照市場報價99.59元購買了這一債券，問其當期收益率是多少？由于距離上一付息日為3個月，所以累計利息為2.95/4=0.7375，支付價格=99.59+0.7375=100.3275。所以，在投資者購買債券的當天持有期收益率為

2023/9/1630收益率到期收益率到期收益率（yieldtomaturity,簡稱YTM）是這樣一種貼現(xiàn)率，經(jīng)它貼現(xiàn)后的債券現(xiàn)金流加總后，正好等于債券的購買價格。即通過反解得到。特點：考慮到了票息因素、再投資因素和時間因素，在一定程度上也考慮了資本利得因素2023/9/1631收益率到期收益率(例子)仍以21國債（10）為例。某投資者于2009年9月25日按照報價102.77元購買債券時，其到期收益率為多少？由于9月25日當天是付息日，沒有累積利息，所以這個價格也就是全價。債券剩余期限為2年，通過解下面的方程解得YTM=1.08%2023/9/1632收益率到期收益率的實現(xiàn)條件債券現(xiàn)金流能夠如約實現(xiàn)投資者必須持有債券到期再投資收益率等于到期收益率所有期限的利率水平都相同且在債券持有期間保持不變2023/9/1633收益率持有期收益率持有期收益率（horizonrateofreturn,簡稱HRR）是假設(shè)投資者計劃持有債券一段期間獲得的投資回報率計算公式：特點：難點在于如何計算未來的期末的總回報FH，這需要對利率進行預測2023/9/1634收益率持有期收益率----舉例某投資者按照250元的價格購買了這樣一種債券，該債券承諾今后三年內(nèi)每年可以支付100元，如果進一步假定三年內(nèi)再投資利率為5%，那么3年后投資者的總回報為：HRR=（315.25/250）1/3-1=8.037%。2023/9/1635收益率持有期收益率---對未來利率的設(shè)定假如在購買債券后，利率由初始水平（設(shè)為i0）變成了新的水平（設(shè)為i）并在持有期間一直保持這個水平，則債券總回報可以由B(i)(1+i)H=FH得出，這里B(i)表示新的利率下對應的債券的價格。2023/9/1636收益率持有期收益率---對未來利率的設(shè)定某投資者以115.44元的價格購買了一張票面利率為7%，剩余期限為10年的債券，此時市場利率為5%。假設(shè)投資者剛買完債券后，市場利率上漲到6%，其債券價格下跌到107.36元，如果今后5年內(nèi)利率一直保持6%這一水平不變，問投資者持有該債券5年期間的收益率為多少？2023/9/1637收益率總收益率總收益率（totalrateofreturn,簡稱TR）是根據(jù)一定的再投資收益和債券出售價格的計算出來的債券投資回報率計算公式：特點：TR中的“FH”與HRR中的“FH”不盡相同。TR的“FH”是指假設(shè)了再投資收益率與“賣出價格”后的總回報，而HRR中的“FH”是指假設(shè)了再投資收益率與持有期末“債券估值”后的總回報，假設(shè)的“賣出價格”并不一定等于假設(shè)的“債券估值”2023/9/1638收益率總收益率(例子)

按照82.84的價格購買一張20年期、票息率為8%的債券（每年支付2次票息），持有3年后賣掉債券。假設(shè)未來3年內(nèi)再投資利率為6%，3年后出售債券時的到期收益率為7%，問總收益率是多少？解答總回報的構(gòu)成——√息票以及息票帶來的利息√3年后債券的賣價2023/9/1639收益率總收益率(例子)總回報的構(gòu)成——√息票以及息票帶來的利息

√3年后債券的賣價2023/9/1640收益率總收益率(例子)總回報的構(gòu)成：25.87+109.85=135.72（半年的）總收益率=8.58%（年度化的）總收益率=2*8.58%=17.16%

2023/9/1641收益率各類收益率之間的關(guān)系---CY與YTM以前面提到的“21國債（10）”為例，說明各類收益率之間的區(qū)別與聯(lián)系。先看看當期收益率與到期收益率有何不同。表3-1描繪了該債券某些時點上的收盤價、當期收益率和到期收益率。

2023/9/1642收益率表3-121國債（10）當期收益率和到期收益率時間收盤價當期收益率到期收益率2006/12/2599.590.0296210.0304002007/03/2698.950.0298130.0325002007/06/2595.650.0308420.0437002007/09/2594.820.0311120.0479002007/12/2596.260.0306460.0437002008/03/2597.160.0303620.0412002008/06/2596.650.0305230.0450002008/09/2598.460.0299610.0373002008/12/25103.310.0285550.0103002009/03/25102.930.0286600.0098002009/06/25102.30.0288370.0139002009/09/25102.770.0287050.0108002023/9/1643各時點“21國債（10）”當期收益率和到期收益率比較2023/9/1644收益率各類收益率之間的關(guān)系---HRR與TR假設(shè)2007年9月25日當天，某投資者以94.82元買入一份“21國債（10）”并預計再持有該國債2年。如何計算持有期收益率？除非預測利率，否則無法精確算出這個收益率。因為只有通過預測利率，才能計算出期末（2009年9月25日）的總回報FH。假如該投資者簡單地預計市場利率從4%降至3%并保持不變直至2009年9月25日，則持有期收益率是：2023/9/1645收益率各類收益率之間的關(guān)系---HRR與TR如果該投資者在2009年9月25日出售了其所購買的“21國債（10）”，為了評價此次投資債券的績效，就要估計該投資的總收益率。2年后一份“21國債（10）”的實際售價為102.77元，按照3%的預計利率水平，利率及再投資收益為2.95+2.95（1+3%）=6.785元，則總收益率是：HRR和TR都明顯高于當期收益率。它們的共同點是對再投資利率進行預測，不同的是持有估值（HRR）與確定性出售（TR）的區(qū)別。2023/9/1646

債券價格變動與套利機制假設(shè)一個社會中只存在兩種資產(chǎn)可供投資選擇：一是金融資產(chǎn)（以零息債券代表），一是實物資產(chǎn)（以酒店為代表）。我們還可以進一步假設(shè)兩種投資中都消除了收益不確定的風險（可以通過遠期交易轉(zhuǎn)移這些風險）。我們的投資活動以1元錢開始，投資期限是1年，市場無風險利率是