高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題第6節(jié) 事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式

第6節(jié)事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式考試要求1.了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的含義.2.理解隨機(jī)事件的獨(dú)立性和條件概率的關(guān)系，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率.1.相互獨(dú)立事件(1)概念：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq\o(B,\s\up6(－))__，eq\o(A,\s\up6(－))與B，eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))也都相互獨(dú)立.2.條件概率(1)概念：一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)＞0，我們稱P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率.(2)兩個(gè)公式①利用古典概型，P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).3.全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\a\vs4\al(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))P（Ai）P（B|Ai）)，我們稱上面的公式為全概率公式.1.計(jì)算條件概率除了應(yīng)用公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)外，還可以利用縮減公式法，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)為事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)，n(AB)為事件AB包含的樣本點(diǎn)數(shù).2.全概率公式為概率論中的重要公式，它將對(duì)一個(gè)復(fù)雜事件A的概率的求解問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為了在不同情況下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率的求和問(wèn)題.1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)若事件A，B互斥，則P(B|A)＝1.()(2)全概率公式用于求復(fù)雜事件的概率，是求最后結(jié)果的概率.()(3)P(A)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－))).()(4)P(A)＝P(BA)＋P(Beq\o(A,\s\up6(－))).()答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析(1)若事件A，B互斥，則P(B|A)＝0；(3)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))；(4)P(B)＝P(BA)＋P(Beq\o(A,\s\up6(－))).2.(易錯(cuò)題)某電視臺(tái)的夏日水上闖關(guān)節(jié)目一共有三關(guān)，第一關(guān)與第二關(guān)的過(guò)關(guān)率分別為eq\f(2,3)，eq\f(3,4).只有通過(guò)前一關(guān)才能進(jìn)入下一關(guān)，每一關(guān)都有兩次闖關(guān)機(jī)會(huì)，且是否通過(guò)每關(guān)相互獨(dú)立.一選手參加該節(jié)目，則該選手能進(jìn)入第三關(guān)的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3) C.eq\f(5,6) D.eq\f(1,12)答案C解析設(shè)Ai＝“第i次通過(guò)第一關(guān)”，Bi＝“第i次通過(guò)第二關(guān)”，其中i＝1，2；由題意得，選手能進(jìn)入第三關(guān)的事件為A1B1＋eq\o(A1,\s\up6(－))A2B1＋A1eq\o(B1,\s\up6(－))B2＋eq\o(A1,\s\up6(－))A2eq\o(B1,\s\up6(－))B2，所求概率為P(A1B1＋eq\o(A1,\s\up6(－))A2B1＋A1eq\o(B1,\s\up6(－))B2＋eq\o(A1,\s\up6(－))A2eq\o(B1,\s\up6(－))B2)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(5,6).3.(易錯(cuò)題)(2021·滁州期末)根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計(jì)資料，某地四月份吹東風(fēng)的概率為eq\f(9,30)，下雨的概率為eq\f(11,30)，既吹東風(fēng)又下雨的概率為eq\f(8,30)，則在吹東風(fēng)的條件下下雨的概率為()A.eq\f(8,9) B.eq\f(2,5) C.eq\f(9,11) D.eq\f(8,11)答案A解析設(shè)事件A表示某地四月份吹東風(fēng)，事件B表示四月份下雨.根據(jù)條件概率計(jì)算公式可得在吹東風(fēng)的條件下下雨的概率為P(B|A)＝eq\f(\f(8,30),\f(9,30))＝eq\f(8,9).4.(2021·新高考Ⅰ卷)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則()A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立答案B解析事件甲發(fā)生的概率P(甲)＝eq\f(1,6)，事件乙發(fā)生的概率P(乙)＝eq\f(1,6)，事件丙發(fā)生的概率P(丙)＝eq\f(5,6×6)＝eq\f(5,36)，事件丁發(fā)生的概率P(丁)＝eq\f(6,6×6)＝eq\f(1,6).事件甲與事件丙是互斥事件，不是相互獨(dú)立事件，故A錯(cuò)誤；事件甲與事件丁同時(shí)發(fā)生的概率為eq\f(1,6×6)＝eq\f(1,36)，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正確；事件乙與事件丙同時(shí)發(fā)生的概率為eq\f(1,6×6)＝eq\f(1,36)，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C錯(cuò)誤；事件丙與事件丁是互斥事件，不是相互獨(dú)立事件，故D錯(cuò)誤.5.(2022·青島檢測(cè))質(zhì)監(jiān)部門對(duì)某種建筑構(gòu)件的抗壓能力進(jìn)行檢測(cè)，對(duì)此建筑構(gòu)件實(shí)施兩次打擊，若沒(méi)有受損，則認(rèn)為該構(gòu)件通過(guò)質(zhì)檢.若第一次打擊后該構(gòu)件沒(méi)有受損的概率為0.85，當(dāng)?shù)谝淮螞](méi)有受損時(shí)第二次實(shí)施打擊也沒(méi)有受損的概率為0.80，則該構(gòu)件通過(guò)質(zhì)檢的概率為()A.0.4 B.0.16 C.0.68 D.0.17答案C解析設(shè)Ai表示第i次打擊后該構(gòu)件沒(méi)有受損，i＝1，2，則由已知可得P(A1)＝0.85，P(A2|A1)＝0.80，因此由乘法公式可得P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.85×0.80＝0.68，即該構(gòu)件通過(guò)質(zhì)檢的概率是0.68.6.(2021·天津卷)甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語(yǔ)，若一方猜對(duì)且另一方猜錯(cuò)，則猜對(duì)的一方獲勝，否則本次平局.已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對(duì)的概率分別為eq\f(5,6)和eq\f(1,5)，且每次活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各次活動(dòng)也互不影響，則一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為_(kāi)_______，3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為_(kāi)_______.答案eq\f(2,3)eq\f(20,27)解析由題意可得一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為eq\f(5,6)×eq\f(4,5)＝eq\f(2,3)；在3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(20,27).考點(diǎn)一相互獨(dú)立事件的概率例1(2020·全國(guó)Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為eq\f(1,2).(1)求甲連勝四場(chǎng)的概率；(2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；(3)求丙最終獲勝的概率.解(1)甲連勝四場(chǎng)的概率為eq\f(1,16).(2)根據(jù)賽制，至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽，至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽.比賽四場(chǎng)結(jié)束，共有三種情況：甲連勝四場(chǎng)的概率為eq\f(1,16)；乙連勝四場(chǎng)的概率為eq\f(1,16)；丙上場(chǎng)后連勝三場(chǎng)的概率為eq\f(1,8).所以需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為1－eq\f(1,16)－eq\f(1,16)－eq\f(1,8)＝eq\f(3,4).(3)丙最終獲勝，有兩種情況：比賽四場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝的概率為eq\f(1,8)；比賽五場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝，則從第二場(chǎng)開(kāi)始的四場(chǎng)比賽按照丙的勝、負(fù)、輪空結(jié)果有三種情況：勝勝負(fù)勝，勝負(fù)空勝，負(fù)空勝勝，概率分別為eq\f(1,16)，eq\f(1,8)，eq\f(1,8).因此丙最終獲勝的概率為eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(7,16).感悟提升求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面計(jì)算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算.訓(xùn)練1在生活小常識(shí)有獎(jiǎng)問(wèn)答競(jìng)賽中，甲、乙、丙三人同時(shí)回答一道有關(guān)生活小常識(shí)的問(wèn)題，已知甲答對(duì)這道題的概率是eq\f(3,4)，甲、乙兩人都回答錯(cuò)誤的概率是eq\f(1,12)，乙、丙兩人都回答正確的概率是eq\f(1,4).設(shè)每人回答問(wèn)題正確與否相互獨(dú)立.(1)求乙答對(duì)這道題的概率；(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答對(duì)這道題的概率.解(1)記“甲答對(duì)這道題”“乙答對(duì)這道題”“丙答對(duì)這道題”分別為事件A，B，C，設(shè)乙答對(duì)這道題的概率P(B)＝x，由于每人回答問(wèn)題正確與否相互獨(dú)立，因此A，B，C是相互獨(dú)立事件.由題意可知，P(A)＝eq\f(3,4)，P(eq\a\vs4\al(\o(A,\s\up6(－)))eq\a\vs4\al(\o(B,\s\up6(－))))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×(1－x)＝eq\f(1,12)，解得x＝eq\f(2,3)，所以乙答對(duì)這道題的概率為P(B)＝eq\f(2,3).(2)設(shè)“甲、乙、丙三人中，至少有一人答對(duì)這道題”為事件M，丙答對(duì)這道題的概率P(C)＝y(tǒng)，由題意可知，P(BC)＝P(B)·P(C)＝eq\f(2,3)×y＝eq\f(1,4)，解得y＝eq\f(3,8).甲、乙、丙三人都回答錯(cuò)誤的概率為P(eq\a\vs4\al(\o(A,\s\up6(－)))eq\a\vs4\al(\o(B,\s\up6(－)))eq\a\vs4\al(\o(C,\s\up6(－))))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,8)))＝eq\f(5,96).所以甲、乙、丙三人中，至少有一人答對(duì)這道題的概率為P(M)＝1－P(eq\a\vs4\al(\o(A,\s\up6(－)))eq\a\vs4\al(\o(B,\s\up6(－)))eq\a\vs4\al(\o(C,\s\up6(－))))＝eq\f(91,96).考點(diǎn)二條件概率例2(1)已知盒中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、5個(gè)黑球，它們大小形狀完全相同.現(xiàn)需一個(gè)紅球，甲每次從中任取一個(gè)不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為()A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,3) C.eq\f(3,8) D.eq\f(2,9)答案B解析設(shè)“第一次拿到白球”為事件A，“第二次拿到紅球”為事件B，依題意P(A)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，P(AB)＝eq\f(2×3,10×9)＝eq\f(1,15)，故P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(1,3).(2)對(duì)標(biāo)有不同編號(hào)的6件正品和4件次品的產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的條件下，第二次摸到正品的概率是()A.eq\f(3,5) B.eq\f(2,5) C.eq\f(5,9) D.eq\f(2,3)答案D解析記A＝“第一次摸出的是次品”，B＝“第二次摸到的是正品”，由題意知，P(A)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，P(AB)＝eq\f(4,10)×eq\f(6,9)＝eq\f(4,15)，則P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(4,15),\f(2,5))＝eq\f(2,3).感悟提升求條件概率的常用方法(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）).(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）).訓(xùn)練2(1)某射擊選手射擊一次擊中10環(huán)的概率是eq\f(4,5)，連續(xù)兩次均擊中10環(huán)的概率是eq\f(1,2)，已知該選手某次擊中10環(huán)，則隨后一次擊中10環(huán)的概率是()A.eq\f(2,5) B.eq\f(5,8) C.eq\f(1,2) D.eq\f(4,5)答案B解析設(shè)該選手某次擊中10環(huán)為事件A，隨后一次擊中10環(huán)為事件B，則P(A)＝eq\f(4,5)，P(AB)＝eq\f(1,2)，∴某次擊中10環(huán)，隨后一次擊中10環(huán)的概率是P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,2),\f(4,5))＝eq\f(5,8).(2)有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，則這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率為_(kāi)_______.答案0.72解析設(shè)種子發(fā)芽為事件A，種子成長(zhǎng)為幼苗為事件B(發(fā)芽又成活為幼苗).依題意P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.根據(jù)條件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率為0.72.考點(diǎn)三全概率公式的應(yīng)用例3甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7.飛機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2，被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中，飛機(jī)必定被擊落，求飛機(jī)被擊落的概率.解設(shè)B＝“飛機(jī)被擊落”，Ai＝“飛機(jī)被i人擊中”，i＝1，2，3，則B＝A1B＋A2B＋A3B，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1，由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3).為求P(Ai)，設(shè)Hi＝{飛機(jī)被第i人擊中}，i＝1，2，3，且H1，H2，H3相互獨(dú)立，則P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7，故P(A1)＝P(H1eq\o(H,\s\up6(－))2eq\o(H,\s\up6(－))3＋eq\o(H,\s\up6(－))1H2eq\o(H,\s\up6(－))3＋eq\o(H,\s\up6(－))1eq\o(H,\s\up6(－))2H3)＝P(H1)P(eq\o(H,\s\up6(－))2)P(eq\o(H,\s\up6(－))3)＋P(eq\o(H,\s\up6(－))1)P(H2)·P(eq\o(H,\s\up6(－))3)＋P(eq\o(H,\s\up6(－))1)P(eq\o(H,\s\up6(－))2)P(H3)＝0.36，P(A2)＝P(H1H2eq\o(H,\s\up6(－))3＋H1eq\o(H,\s\up6(－))2H3＋eq\o(H,\s\up6(－))1H2H3)＝P(H1)P(H2)P(eq\o(H,\s\up6(－))3)＋P(H1)P(eq\o(H,\s\up6(－))2)P(H3)＋P(eq\o(H,\s\up6(－))1)P(H2)P(H3)＝0.41，P(A3)＝P(H1H2H3)＝P(H1)P(H2)P(H3)＝0.14.于是P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458，即飛機(jī)被擊落的概率為0.458.感悟提升利用全概率公式的思路(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個(gè)復(fù)合事件分解為若干個(gè)互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各個(gè)互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(B|Ai)；(3)代入全概率公式計(jì)算.訓(xùn)練3某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一產(chǎn)品，已知這四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%，20%，30%和35%，且四條流水線的產(chǎn)品不合格率分別為0.05，0.04，0.03和0.02，現(xiàn)從該廠的這一產(chǎn)品中任取一件，問(wèn)抽到不合格品的概率是多少？解設(shè)A＝“任取一件這種產(chǎn)品，抽到不合格品”，Bi＝“任取一件這種產(chǎn)品，結(jié)果是第i條流水線的產(chǎn)品”(i＝1，2，3，4)，則Ω＝B1∪B2∪B3∪B4，且B1，B2，B3，B4兩兩互斥，根據(jù)題意P(B1)＝0.15，P(B2)＝0.20，P(B3)＝0.30，P(B4)＝0.35，P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.04，P(A|B3)＝0.03，P(A|B4)＝0.02，由全概率公式，得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＋P(B4)P(A|B4)＝0.15×0.05＋0.20×0.04＋0.30×0.03＋0.35×0.02＝0.0315，故從該廠產(chǎn)品中任取一件，抽到不合格品的概率是0.0315.1.甲、乙兩個(gè)袋子中裝有紅、白兩種顏色的小球，這些小球除顏色外完全相同，其中甲袋裝有4個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙袋裝有1個(gè)紅球、5個(gè)白球，現(xiàn)分別從甲、乙兩袋中各抽取1個(gè)球，則取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為()A.eq\f(5,12) B.eq\f(5,6) C.eq\f(1,9) D.eq\f(13,18)答案C解析由題意知，“從甲袋中取出紅球”和“乙袋中取出紅球”兩個(gè)事件相互獨(dú)立，從甲袋中取出紅球的概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，從乙袋中取出紅球的概率為eq\f(1,6)，故所求事件的概率為eq\f(2,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,9).2.(2022·廣州調(diào)研)甲、乙兩人參加“社會(huì)主義價(jià)值觀”知識(shí)競(jìng)賽，甲、乙兩人能榮獲一等獎(jiǎng)的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，甲、乙兩人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立，則這兩個(gè)人中恰有一人獲得一等獎(jiǎng)的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3) C.eq\f(5,7) D.eq\f(5,12)答案D解析根據(jù)題意，恰有一人獲得一等獎(jiǎng)就是甲獲獎(jiǎng)乙沒(méi)獲獎(jiǎng)或甲沒(méi)獲獎(jiǎng)乙獲獎(jiǎng)，則所求概率是eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(5,12).3.設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且P(A)＞0，若P(AB)＝eq\f(1,3)，P(A)＝eq\f(2,3)，則P(B|A)＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,9) C.eq\f(1,9) D.eq\f(4,9)答案A解析P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,3),\f(2,3))＝eq\f(1,2).4.已知P(B)＝0.3，P(B|A)＝0.9，P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))＝0.2，則P(A)＝()A.eq\f(1,7) B.eq\f(3,7) C.0.33 D.0.1答案A解析由P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))，可得0.3＝P(A)×0.9＋(1－P(A))×0.2，解得P(A)＝eq\f(1,7).5.(多選)下列各對(duì)事件中，M，N是相互獨(dú)立事件的有()A.擲1枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件M＝“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件N＝“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”B.袋中有5個(gè)紅球，5個(gè)黃球，除顏色外完全相同，依次不放回地摸兩次，事件M＝“第1次摸到紅球”，事件N＝“第2次摸到紅球”C.分別拋擲2枚相同的硬幣，事件M＝“第1枚為正面”，事件N＝“兩枚結(jié)果相同”D.一枚硬幣擲兩次，事件M＝“第一次為正面”，事件N＝“第二次為反面”答案CD解析在A中，P(MN)＝0，所以M，N不相互獨(dú)立；在B中，M，N不是相互獨(dú)立事件；在C中，P(M)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(1,2)，P(MN)＝eq\f(1,4)，P(MN)＝P(M)·P(N)，因此M，N是相互獨(dú)立事件；在D中，第一次為正面對(duì)第二次的結(jié)果不影響，因此M，N是相互獨(dú)立事件.6.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加假期社區(qū)服務(wù)活動(dòng)，社區(qū)服務(wù)活動(dòng)共有關(guān)懷老人、環(huán)境監(jiān)測(cè)、教育咨詢、交通宣傳等四個(gè)項(xiàng)目，每人限報(bào)其中一項(xiàng)，記事件A為“4名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同”，事件B為“只有甲同學(xué)一人報(bào)關(guān)懷老人項(xiàng)目”，則P(A|B)等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4) C.eq\f(2,9) D.eq\f(5,9)答案C解析由已知得P(B)＝eq\f(33,44)＝eq\f(27,256)，P(AB)＝eq\f(Aeq\o\al(3,3),44)＝eq\f(3,128)，所以P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝eq\f(2,9).7.開(kāi)元通寶是我國(guó)唐代的一種貨幣，向開(kāi)元通寶上任意投擲一粒芝麻，第一次投進(jìn)方空的概率約為0.5，在第一次投到開(kāi)元通寶上的條件下第二次也投進(jìn)方空的概率約為0.3，則這樣連續(xù)兩次都可把芝麻投進(jìn)方空的概率是________.答案0.15解析設(shè)Ai表示第i次把芝麻投進(jìn)方空，i＝1，2，則由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3，因此由乘法公式可得P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15，即連續(xù)兩次都可把芝麻投進(jìn)方空的概率是0.15.8.一個(gè)盒子里裝有3種顏色，大小形狀質(zhì)地都一樣的12個(gè)球，其中黃球5個(gè)，藍(lán)球4個(gè)，綠球3個(gè)，現(xiàn)從盒子中隨機(jī)取出兩個(gè)球，記事件A＝“取出的兩個(gè)球顏色不同”，事件B＝“取出一個(gè)黃球，一個(gè)藍(lán)球”，則P(B|A)＝________.答案eq\f(20,47)解析因?yàn)镻(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,12))＝eq\f(10,33)，P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,12))＝eq\f(47,66)，故P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(20,47).9.甲、乙兩名同學(xué)參加一項(xiàng)射擊比賽，其中任何一人每射擊一次擊中目標(biāo)得2分，未擊中目標(biāo)得0分.已知甲、乙兩人射擊互不影響，且命中率分別為eq\f(3,5)和p.若甲、乙兩人各射擊一次得分之和為2的概率為eq\f(9,20)，則p的值為_(kāi)_______.答案eq\f(3,4)解析設(shè)“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件A，“乙射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件B，則“甲射擊一次，未擊中目標(biāo)”為事件eq\o(A,\s\up6(－))，“乙射擊一次，未擊中目標(biāo)”為事件eq\o(B,\s\up6(－))，則P(A)＝eq\f(3,5)，P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－eq\f(3,5)＝eq\f(2,5)，P(B)＝p，P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－p.依題意得eq\f(3,5)×(1－p)＋eq\f(2,5)×p＝eq\f(9,20)，解得p＝eq\f(3,4).10.(2022·濟(jì)寧模擬)甲、乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃比賽，在距籃筐3米線內(nèi)設(shè)一點(diǎn)A，在點(diǎn)A處投中一球得2分，不中得0分；在距籃筐3米線外設(shè)一點(diǎn)B，在點(diǎn)B處投中一球得3分，不中得0分.已知甲、乙兩人在A處投中的概率都是eq\f(1,2)，在B處投中的概率都是eq\f(1,3)，且在A，B兩處投中與否相互獨(dú)立，規(guī)定甲、乙兩人先在A處各投籃一次，然后在B處各投籃一次，總得分高者獲勝.(1)求甲投籃總得分ξ的分布列；(2)求甲獲勝的概率.解(1)設(shè)“甲在A點(diǎn)投中”為事件A，“甲在B點(diǎn)投中”為事件B.根據(jù)題意，ξ的所有可能取值為0，2，3，5，則P(ξ＝0)＝P(eq\a\vs4\al(\o(A,\s\up6(－)))eq\a\vs4\al(\o(B,\s\up6(－))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,3)，P(ξ＝2)＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,3)，P(ξ＝3)＝P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝5)＝P(AB)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，所以ξ的分布列為ξ0235Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,6)(2)同(1)，乙的總得分η的分布列為η0235Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,6)甲獲勝包括甲得2分、乙得0分，甲得3分、乙得0分或2分，甲得5分、乙得0分或2分或3分，共三種情形，這三種情形之間相互獨(dú)立，因此所求概率為P＝P(ξ＝2)×P(η＝0)＋P(ξ＝3)×P(η＜3)＋P(ξ＝5)×P(η＜5)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,3)))＋eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)))＝eq\f(13,36).11.現(xiàn)有6個(gè)節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽，其中4個(gè)舞蹈節(jié)目，2個(gè)語(yǔ)言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個(gè)節(jié)目，求(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率.解設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A，第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件B，則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件AB.(1)從6個(gè)節(jié)目中不放回地依次抽取2個(gè)，總的事件數(shù)n(Ω)＝Aeq\o\al(2,6)＝30.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有n(A)＝Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,5)＝20，所以P(A)＝eq\f(n（A）,n（Ω）)＝eq\f(20,30)＝eq\f(2,3).(2)因?yàn)閚(AB)＝Aeq\o\al(2,4)＝12，所以P(AB)＝eq\f(n（AB）,n（Ω）)＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5).(3)法一由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率P(B|A)＝