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Longlan_sophiey@163.com多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則第四節(jié)1/17一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t二、多元復(fù)合函數(shù)全微分微分法則2/17一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t定理.若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù),在點t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)證:設(shè)t取增量△t,則對應(yīng)中間變量且有鏈?zhǔn)椒▌t有增量△u,△v,3/17(全導(dǎo)數(shù)公式)(△t<0時,根式前加“–”號)4/17若定理中說明:比如:易知:但復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)減弱為偏導(dǎo)數(shù)存在,則定理結(jié)論不一定成立.5/17推廣:1)中間變量多于兩個情形.比如,設(shè)下面所包括函數(shù)都可微.2)中間變量是多元函數(shù)情形.比如,6/173)當(dāng)它們都含有可微條件時,有注意:這里表示固定y對x求導(dǎo),表示固定v對x求導(dǎo)口訣:分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)與不一樣,7/17例1.設(shè)解:8/17練習(xí)1:9/17例2.解:10/17例3.設(shè)
求全導(dǎo)數(shù)解:注意:多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與驗證解問題中經(jīng)常碰到,以下兩個例題有利于掌握這方面問題求導(dǎo)技巧與慣用導(dǎo)數(shù)符號.11/17練習(xí)2:12/17為簡便起見,引入記號例4.設(shè)
f含有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:令則13/17練習(xí)3:14/17二、多元復(fù)合函數(shù)全微分設(shè)函數(shù)全微分為可見不論u,v是自變量還是中間變量,
則復(fù)合函數(shù)都可微,其全微分表示形式都一樣,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.15/17例1.例6.利用全微分形式不變性再解例1.解:所以16/17內(nèi)容小結(jié)1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”比
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