新定義函數(shù)中考新題型

函數(shù)圖形變換方法總結(jié)：1．掌握函數(shù)平移的規(guī)律，包括一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)；2．確定函數(shù)的特征點為基準移動函數(shù)，并確定移動后的解析式；3．根據(jù)題目要求結(jié)合函數(shù)性質(zhì)解決問題。例1．我們規(guī)定：形如的函數(shù)叫做“奇特函數(shù)”.當時，“奇特函數(shù)”就是反比例函數(shù).（1）若矩形的兩邊長分別是2和3，當這兩邊長分別增加x和y后，得到的新矩形的面積為8，求y與x之間的函數(shù)關系式，并判斷這個函數(shù)是否為“奇特函數(shù)”；（2）如圖，在平面直角坐標系中，點O為原點，矩形OABC的頂點A，C的坐標分別為（9，0）、（0，3）．點D是OA的中點，連結(jié)OB，CD交于點E，“奇特函數(shù)”的圖象經(jīng)過B，E兩點.①求這個“奇特函數(shù)”的解析式；②把反比例函數(shù)的圖象向右平移6個單位，再向上平移

個單位就可得到①中所得“奇特函數(shù)”的圖象.過線段BE中點M的一條直線l與這個“奇特函數(shù)”的圖象交于P，Q兩點，若以B、E、P、Q為頂點組成的四邊形面積為，請直接寫出點P的坐標．例2．定義{a，b，c}為函數(shù)y=ax2+bx+c的“特征數(shù)”．如：函數(shù)y=x2-2x+3的“特征數(shù)”是{1，-2，3}，函數(shù)y=2x+3的“特征數(shù)”是{0，2，3}，函數(shù)y=-x的“特征數(shù)”是{0，-1，0}（1）將“特征數(shù)”是的函數(shù)圖象向下平移2個單位，得到一個新函數(shù)，這個新函數(shù)的解析式是；（2）在（1）中，平移前后的兩個函數(shù)分別與y軸交于A、B兩點，與直線分別交于D、C兩點，判斷以A、B、C、D四點為頂點的四邊形形狀，請說明理由并計算其周長；（3）若（2）中的四邊形與“特征數(shù)”是的函數(shù)圖象的有交點，求滿足條件的實數(shù)b的取值范圍．變式如果二次函數(shù)的二次項系數(shù)為l，則此二次函數(shù)可表示為y=x2+px+q，我們稱[p，q]為此函數(shù)的特征數(shù)，如函數(shù)y=x2+2x+3的特征數(shù)是[2，3]．(1)若一個函數(shù)的特征數(shù)為[-2，1]，求此函數(shù)圖象的頂點坐標．(2)探究下列問題：①若一個函數(shù)的特征數(shù)為[4，-1]，將此函數(shù)的圖象先向右平移1個單位，再向上平移1個單位，求得到的圖象對應的函數(shù)的特征數(shù)．②若一個函數(shù)的特征數(shù)為[2，3]，問此函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移，才能使得到的圖象對應的函數(shù)的特征數(shù)為[3，4]？∴.∴點P在平行于EB的直線上.∵點P在上，∴或.解得.∴點P的坐標為或或或.考點：1.新定義和閱讀理解型問題；2.平移問題；3.反比例函數(shù)的性質(zhì)；4.曲線上點的坐標與方程的關系；5.勾股定理；6.中心對稱的性質(zhì)；7.平行四邊形的判定和性質(zhì)；8.分類思想的應用.例2【解析】（1）根據(jù)函數(shù)“特征數(shù)”寫出函數(shù)的解析式，再根據(jù)平移后一次函數(shù)的變化情況寫出函數(shù)圖象向下平移2個單位的新函數(shù)的解析式．（2）判斷以A、B、C、D四點為頂點的四邊形形狀，可根據(jù)一次函數(shù)圖象向下平移2個單位與原函數(shù)圖象的關系，得出AB=2，并確定為平行四邊形，由直線相交計算交點坐標后，求出線段BC=2，再根據(jù)菱形的判定（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）得出，其周長=2×4=8；（3）根據(jù)函數(shù)“特征數(shù)”寫出二次函數(shù)的解析式，化為頂點式為y=（x-b）2+，確定二次函數(shù)的圖象不會經(jīng)過點B和點C，再將菱形頂點A（0，1），D（）代入二次函數(shù)解析式得出實數(shù)b的取值范圍．【解析】（1）y=（1分）“特征數(shù)”是的函數(shù)，即y=+1，該函數(shù)圖象向下平移2個單位，得y=．（2）由題意可知y=向下平移兩個單位得y=∴AD∥BC，AB=2．∵，∴AB∥CD．∴四邊形ABCD為平行四邊形．，得C點坐標為（，0），∴D（）由勾股定理可得BC=2∵四邊形ABCD為平行四邊形，AB=2，BC=2∴四邊形ABCD為菱形．∴周長為8．

（3）二次函數(shù)為：y=x2-2bx+b2+，化為頂點式為：y=（x-b）2+，∴二次函數(shù)的圖象不會經(jīng)過點B和點C．設二次函數(shù)的圖象與四邊形有公共部分，當二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A時，將A（0，1），代入二次函數(shù)，解得b=-，b=（不合題意，舍去），當二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點D時，將D（），代入二次函數(shù)，解得b=+，b=（不合題意，舍去），所以實數(shù)b的取值范圍：．例3【解析】試題分析：（1）根據(jù)定義可算出y=ax2（a＞0）的碟寬為、碟高為，由于拋物線可通過平移y=ax2（a＞0）得到，得到碟寬為、碟高為，由此可得碟寬、碟高只與a有關，與別的無關，從而可得．（2）由（1）的結(jié)論，根據(jù)碟寬易得a的值．（3）①根據(jù)y1，容易得到y(tǒng)2．②結(jié)合畫圖，易知h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在直線x=2上，可以考慮hn∥hn﹣1，且都過Fn﹣1的碟寬中點，進而可得．畫圖時易知碟寬有規(guī)律遞減，由此可得右端點的特點．對于“F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n的碟寬右端點是否在一條直線上？”，我們可以推測任意相鄰的三點是否在一條直線上，如果相鄰的三個點不共線則結(jié)論不成立，反之則成立，所以可以考慮基礎的幾個圖形關系，利用特殊點求直線方程即可．試題解析：（1）4；1；；．∵a＞0，∴y=ax2的圖象大致如下：其必過原點O，記AB為其碟寬，AB與y軸的交點為C，連接OA，OB．∵△DAB為等腰直角三角形，AB∥x軸，∴OC⊥AB，∴∠OCA=∠OCB=∠AOB=×90°=45°，∴△ACO與△BCO亦為等腰直角三角形，∴AC=OC=BC，∴xA=-yA，xB=yB，代入y=ax2，∴A（﹣，），B（，），C（0，），∴AB=，OC=，即y=ax2的碟寬為．①拋物線y=x2對應的a=，得碟寬為4；②拋物線y=4x2對應的a=4，得碟寬為為；③拋物線y=ax2（a＞0），碟寬為；④拋物線y=a(x﹣2)2+3（a＞0）可看成y=ax2向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度后得到的圖形，∵平移不改變形狀、大小、方向，∴拋物線y=a(x﹣2)2+3（a＞0）的準碟形與拋物線y=ax2的準碟形全等，∵拋物線y=ax2（a＞0），碟寬為，∴拋物線y=a(x﹣2)2+3（a＞0），碟寬為．（2）∵y=ax2﹣4ax﹣，∴由（1），其碟寬為，∵y=ax2﹣4ax﹣的碟寬為6，∴=6，解得A=，∴y=x2﹣x﹣=(x﹣2)2﹣3（3）①∵F1的碟寬：F2的碟寬=2：1，∴=，∵a1=，∴a2=．∵y=(x﹣2)2﹣3的碟寬AB在x軸上（A在B左邊），∴A（﹣1，0），B（5，0），∴F2的碟頂坐標為（2，0），∴y2=(x﹣2)2．②∵Fn的準碟形為等腰直角三角形，∴Fn的碟寬為2hn，∵2hn：2hn﹣1=1：2，∴hn=hn﹣1=()2hn﹣2=()3hn﹣3=…=()n+1h1，∵h1=3，∴hn=．∵hn∥hn﹣1，且都過Fn﹣1的碟寬中點，∴h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在一條直線上，∵h1在直線x=2上，∴h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在直線x=2上，∴Fn的碟寬右端點橫坐標為2+．另，F(xiàn)1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n的碟寬右端點在一條直線上，直線為y=﹣x+5．分析如下：考慮Fn﹣2，F(xiàn)n﹣1，F(xiàn)n情形，關系如圖2，F(xiàn)n﹣2，F(xiàn)n﹣1，F(xiàn)n的碟寬分別為AB，DE，GH；C，F(xiàn)，I分別為其碟寬的中點，都在直線x=2上，連接右端點，BE，EH．∵AB∥x軸，DE∥x軸，GH∥x軸，∴AB∥DE∥GH，∴GH平行且等于FE，DE平行且等于CB，∴四邊形GFEH，四邊形DCBE都為平行四邊形，∴HE∥GF，EB∥DC，∵∠GFI=∠GFH=∠DCE=∠DCF，∴GF∥DC，∴HE∥EB，∵HE，EB都過E點，∴HE，EB在一條直線上，∴Fn﹣2，F(xiàn)n﹣1，F(xiàn)n的碟寬的右端點是在一條直線，∴F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n的碟寬的右端點是在一條直線．∵F1：y1=(x﹣2)2﹣3準碟形右端點坐標為（5，0），F(xiàn)2：y2=(x﹣2)2準碟形右端點坐標為（2+，），∴待定系數(shù)可得過兩點的直線為y=﹣x+5，∴F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n的碟寬的右端點是在直線y=﹣x+5上．考點：1、等腰直角三角形；2、二次函數(shù)的性質(zhì)；3多點共線例4解析：參考題目：1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，A、B為x軸上兩點，C、D為y軸上的兩點，經(jīng)過點A、C、B的拋物線的一部分C1與經(jīng)過點A、D、B的拋物線的一部分C2組成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”，已知點C的坐標為（0，），點M是拋物線C2：y=mx2-2mx-3m(m<0)的頂點.（1）求A、B兩點的坐標；（2）“蛋線”在第四象限內(nèi)是否存在一點P，使得?PBC的面積最大？若存在，求出?PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由；（3）當?BDM為直角三角形時，請直接寫出m的值.(參考公式：在平面直角坐標系中，若M(x1,y1)，N(x2,y2)，則M、N兩點間的距離為MN=.（1）A（-1，0），B（3，0）；（2）存在，；（3）-1或-.【解析】試題分析：（1）將y=mx2-2mx-3m化為交點式，即可得到A、B兩點的坐標；（2）先用待定系數(shù)法得到拋物線C1的解析式，過點P作PQ∥y軸，交BC于Q，用待定系數(shù)法得到直線BC的解析式，再根據(jù)三角形的面積公式和配方法得到△PBC面積的最大值；（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分兩種情況：①DM2+BD2=MB2時；②DM2+MB2=BD2時，討論即可求得m的值．試題解析：（1）y=mx2-2mx-3m=m（x-3）（x+1），∵m≠0，∴當y=0時，x1=-1，x2=3，∴A（-1，0），B（3，0）；（2）設C1：y=ax2+bx+c，將A、B、C三點的坐標代入得：，解得，故C1：y=x2-x-．依題意，設點P的坐標為（n，n2-n-）(0<n<3)則S?PBC=S?POC+S?BOP-S?BOC

=××n+×3×(-n2+n+)-×3×=-(n-)2+∵-＜0,∴當n=時S?PBC的最大值是（3）y=mx2-2mx-3m=m（x-1）2-4m，頂點M坐標（1，-4m），當x=0時，y=-3m，∴D（0，-3m），B（3，0），∴DM2=（0-1）2+（-3m+4m）2=m2+1，MB2=（3-1）2+（0+4m）2=16m2+4，BD2=（3-0）2+（0+3m）2=9m2+9，當△BDM為Rt△時有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2．①DM2+BD2=MB2時有：m2+1+9m2+9=16m2+4，解得m=-1（∵m＜0，∴m=1舍去）；②DM2+MB2=BD2時有：m2+1+16m2+4=9m2+9，解得m=-（m=舍去）．綜上，m=-1或-時，△BDM為直角三角形．2．對于平面直角坐標系xOy中的點P（a，b），若點的坐標為（，）（其中k為常數(shù)，且），則稱點為點P的“k屬派生點”．例如：P（1，4）的“2屬派生點”為（1+，），即