概率高考題(理科)

1某種有獎(jiǎng)銷售的飲料，瓶蓋印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”或“購(gòu)買”字樣，購(gòu)買一瓶若其瓶蓋印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”字樣即為中獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)概率為．甲、乙、丙三位同學(xué)每人購(gòu)買了一瓶該飲料。（Ⅰ）求甲中獎(jiǎng)且乙、丙都沒有中獎(jiǎng)的概率；（Ⅱ）求中獎(jiǎng)人數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ解：（Ⅰ）設(shè)甲、乙、丙中獎(jiǎng)的事件分別為A、B、C，那么 答：甲中獎(jiǎng)且乙、丙都沒有中獎(jiǎng)的概率是（Ⅱ）的可能取值為0，1，2，3。 0123P 2如圖，由M到N的電路中有4個(gè)元件，分別標(biāo)為T1，T2，T3，T4，電流能通過T1，T2，T3的概率都是p，電流能通過T4的概率是．電流能否通過各元件相互獨(dú)立．已知T1，T2，T3中至少有一個(gè)能通過電流的概率為．（Ⅰ）求p；（Ⅱ）求電流能在M與N之間通過的概率；（Ⅲ）表示T1，T2，T3，T4中能通過電流的元件個(gè)數(shù)，求的期望．）解：記A1表示事件，電流能通過A表示事件：中至少有一個(gè)能通過電流，B表示事件：電流能在M與N之間通過。（I）相互獨(dú)立，又故 （III）由于電流能通過各元件的概率都是，且電流能通過各元件相互獨(dú)立。故 3設(shè)進(jìn)入某商場(chǎng)的每一位顧客購(gòu)買甲商品的概率，購(gòu)買乙商品的概率為，且顧客購(gòu)買甲商品與購(gòu)買乙商品相互獨(dú)立，每位顧客間購(gòu)買商品也相互獨(dú)立．（Ⅰ）求進(jìn)入商場(chǎng)的1位顧客購(gòu)買甲、乙兩種商品中的一種的概率；（Ⅱ）求進(jìn)入商場(chǎng)的1位顧客至少購(gòu)買甲、乙兩種商品中的一種的概率；（Ⅲ）設(shè)是進(jìn)入商場(chǎng)的3位顧客至少購(gòu)買甲、乙商品中一種的人數(shù)，求的分布列及期望．解：題目這么容易，估計(jì)今年的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)要偏了．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）可取0，1，2，3．的分布列為01234為振興旅游業(yè)，省2009年面向國(guó)發(fā)行總量為2000萬的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡（簡(jiǎn)稱金卡），向省人士發(fā)行的是熊貓銀卡（簡(jiǎn)稱銀卡）。某旅游公司組織了一個(gè)有36名游客的旅游團(tuán)到名勝旅游，其中是省外游客，其余是省游客。在省外游客中有持金卡，在省游客中有持銀卡。（=1\*ROMANI）在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3名游客，求恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率；（=2\*ROMANII）在該團(tuán)的省游客中隨機(jī)采訪3名游客，設(shè)其中持銀卡人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。本小題主要考察相互獨(dú)立事件、互斥事件、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概率計(jì)算，考察運(yùn)用概率只是解決實(shí)際問題的能力。解：（Ⅰ）由題意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省游客有9人，其中6人持銀卡。設(shè)事件為“采訪該團(tuán)3人中，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人”，事件為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡，0人持銀卡”，事件為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡，1人持銀卡”。所以在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3人，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率是。（Ⅱ）的可能取值為0，1，2，3,，，所以的分布列為0123所以，5廠家在產(chǎn)品出廠前，需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí)，商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，以決定是否接收這批產(chǎn)品.（Ⅰ）若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為，從中任意取出4件進(jìn)行檢驗(yàn).求至少有1件是合格品的概率;（Ⅱ）若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任取2件，都進(jìn)行檢驗(yàn)，只有2件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品，否則拒收.求該商家可能檢驗(yàn)出不合格產(chǎn)品數(shù)的分布列及期望，并求該商家拒收這批產(chǎn)品的概率.解：（Ⅰ）記“廠家任取4件產(chǎn)品檢驗(yàn)，其中至少有1件是合格品”為事件A用對(duì)立事件A來算，有（Ⅱ）可能的取值為，，記“商家任取2件產(chǎn)品檢驗(yàn)，都合格”為事件B，則商家拒收這批產(chǎn)品的概率所以商家拒收這批產(chǎn)品的概率為6一接待中心有A、B、C、D四部熱線，已知某一時(shí)刻A、B占線的概率均為，C、D占線的概率均為，各部是否占線相互之間沒有影響.假設(shè)該時(shí)刻有ξ部占線.試求隨機(jī)變量ξ的概率分布和它的期望.解：P(ξ=0)=×=.P(ξ=1)=××+×××=P(ξ=2)=××+×××+××=.P(ξ=3)=×××+××=P(ξ=4)=×=于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布列為：ξ01234P所以Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=.7某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5件，一用戶在購(gòu)進(jìn)該批產(chǎn)品前先取出3箱，再?gòu)拿肯渲腥我獬鋈?件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)。設(shè)取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品。（I）用表示抽檢的6件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求的分布列及的數(shù)學(xué)期望；（II）若抽檢的6件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購(gòu)買這批產(chǎn)品，求這批產(chǎn)品被用戶拒絕的概率。．解：（Ⅰ）ξ可能的取值為0，1，2，3．P(ξ＝0)＝EQ\f(C\S(2,4),C\S(2,5))·EQ\f(C\S(2,3),C\S(2,5))＝EQ\f(18,100)＝EQ\f(9,50)P(ξ＝1)＝EQ\f(C\S(1,4),C\S(2,5))·EQ\f(C\S(2,3),C\S(2,5))＋EQ\f(C\S(2,4),C\S(2,5))·EQ\f(C\S(1,3)·C\S(1,2),C\S(2,5))＝EQ\f(12,25)P(ξ＝2)＝EQ\f(C\S(1,4),C\S(2,5))·EQ\f(C\S(1,3)·C\S(1,2),C\S(2,5))＋EQ\f(C\S(2,4),C\S(2,5))·EQ\f(C\S(2,2),C\S(2,5))＝EQ\f(15,50)P(ξ＝3)＝EQ\f(C\S(1,4),C\S(2,5))·EQ\f(C\S(2,2),C\S(2,5))＝EQ\f(1,25)．ξ的分布列為ξ0123PEQ\f(9,50)EQ\f(12,25)EQ\f(15,50)EQ\f(1,25)數(shù)學(xué)期望為Eξ＝．(Ⅱ)所求的概率為p＝P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝EQ\f(15,50)＋EQ\f(1,25)＝EQ\f(17,50)8從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取1件，假設(shè)事件：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率．（1）求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率；AEBCFSAEBCFSD解：（1）記表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”， 表示事件“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”． 則互斥，且，故 于是． 解得（舍去）．（2）的可能取值為．若該批產(chǎn)品共100件，由（1）知其二等品有件，故 ． ． ．所以的分布列為0129購(gòu)買某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保費(fèi)元，若投保人在購(gòu)買保險(xiǎn)的一年度出險(xiǎn)，則可以獲得10000元的賠償金．假定在一年度有10000人購(gòu)買了這種保險(xiǎn)，且各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立．已知保險(xiǎn)公司在一年度至少支付賠償金10000元的概率為．（Ⅰ）求一投保人在一年度出險(xiǎn)的概率；（Ⅱ）設(shè)保險(xiǎn)公司開辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)（單位：元）．解：各投保人是否出險(xiǎn)互相獨(dú)立，且出險(xiǎn)的概率都是，記投保的10000人中出險(xiǎn)的人數(shù)為，則．（Ⅰ）記表示事件：保險(xiǎn)公司為該險(xiǎn)種至少支付10000元賠償金，則發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)，，又，故．（Ⅱ）該險(xiǎn)種總收入為元，支出是賠償金總額與成本的和．支出，盈利，盈利的期望為，由知，，．（元）．故每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)為15元．10如圖，一個(gè)小球從M處投入，通過管道自上面下落到A或B或C，已知小球從每個(gè)叉口落入左右兩個(gè)管道的可能性是相等的.某商家按上述投球式進(jìn)行促銷活動(dòng)，若投入的小球落到A，B，C，則分別設(shè)為1，2，3等獎(jiǎng).（I）已知獲得1，2，3等獎(jiǎng)的