第3節(jié) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第3節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值1.借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要和充分條件.2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.3.會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值.考試要求知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)內(nèi)容索引考點(diǎn)突破題型剖析分層精練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)11.函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)_________，右側(cè)_________.則a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值.(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)__________，右側(cè)________.則b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值.(3)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為_(kāi)_______,極小值和極大值統(tǒng)稱為_(kāi)_____.知識(shí)梳理f′(x)＜0f′(x)＞0f′(x)＞0f′(x)＜0極值點(diǎn)極值2.函數(shù)的最大(小)值(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有最值的條件：如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大(小)值的步驟：①求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的______；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值_____________比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.極值f(a)，f(b)[常用結(jié)論]1.求最值時(shí)，應(yīng)注意極值點(diǎn)和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時(shí)，需要分類(lèi)討論，不可想當(dāng)然認(rèn)為極值就是最值.2.函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒(méi)有必然的大小關(guān)系.1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，若f′(x0)＝0，則x0為極值點(diǎn).(

)(2)函數(shù)的極大值不一定是最大值，最小值也不一定是極小值.(

)(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上不存在最值.(

)(4)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上一定存在最值.(

)解析(1)反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的極值點(diǎn).(3)反例：f(x)＝x2在區(qū)間(－1，2)上的最小值為0.×診斷自測(cè)√×√2.如圖是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則f(x)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)AA.1 B.2 C.3

D.4解析由題意知在x＝－1處f′(－1)＝0，且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值符號(hào)左負(fù)右正.－104.函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋2x－1有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

__________________________.解析f′(x)＝3x2－2ax＋2，由題意知f′(x)有變號(hào)零點(diǎn)，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2＞0，KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值角度1根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象判斷極值例1(多選)(2022·重慶檢測(cè))函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則(

)ACA.－3是函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)

B.－1是函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)C.y＝f(x)在區(qū)間(－3，1)上單調(diào)遞增

D.－2是函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)

解析根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)x∈(－∞，－3)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈(－3，1)時(shí)，f′(x)≥0，所以函數(shù)y＝f(x)在(－∞，－3)上單調(diào)遞減，在(－3，1)上單調(diào)遞增，可知－3是函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)，所以A正確.因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)在(－3，1)上單調(diào)遞增，可知－1不是函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，－2也不是函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤，C正確，D錯(cuò)誤.由圖象判斷函數(shù)y＝f(x)的極值，要抓住兩點(diǎn)：(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù)y＝f(x)的可能極值點(diǎn)；(2)由導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性.兩者結(jié)合可得極值點(diǎn).感悟提升x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)

ln2－1

故f(x)在定義域上的極大值為f(x)極大值＝f(2)＝ln2－1，無(wú)極小值.

(2)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，則函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)在定義域上無(wú)極值點(diǎn)；運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)極值的一般步驟：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)在定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào)；(5)求出極值.感悟提升

角度3由函數(shù)的極值求參數(shù)例3(1)(2023·綿陽(yáng)質(zhì)檢)若x＝2是函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－2)x－4alnx的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

) A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞) C.(2，＋∞) D.(－2，2)A①若a≥0，當(dāng)x＞2時(shí)，f′(x)＞0，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′(x)＜0，所以當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得極小值，不滿足題意，故舍去.

②若a＜－2，由f′(x)＞0可得0＜x＜2或x＞－a，由f′(x)＜0可得2＜x＜－a，所以當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得極大值，滿足題意.③若－2＜a＜0，由f′(x)＞0可得0＜x＜－a或x＞2，由f′(x)＜0可得－a＜x＜2，所以當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得極小值，不滿足題意.④若a＝－2，則f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，此時(shí)f(x)無(wú)極值.綜上，a＜－2滿足條件，故選A.

(2)(2023·南京模擬)已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)在(0，＋∞)上有兩個(gè)極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)____________.當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x＞1時(shí)，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)的極大值為g(1)＝1，又當(dāng)x＞1時(shí)，g(x)＞0，當(dāng)x→＋∞時(shí)，g(x)→0，當(dāng)x→0時(shí)，g(x)→－∞，(1)已知函數(shù)極值確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，要根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解，求解后要檢驗(yàn).(2)判斷極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的根的個(gè)數(shù).感悟提升

訓(xùn)練1(1)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是(

)DA.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B.函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(1)C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2)D.函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2)解析由題圖可知，當(dāng)x<－2時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)－2<x<1時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)1<x<2時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，f′(x)>0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極大值，在x＝2處取得極小值.

(2)(2023·長(zhǎng)沙模擬)若x＝1是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的極值點(diǎn)，則f(x)的極大值為_(kāi)_______.解析因?yàn)閒(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，可得f′(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]，因?yàn)閤＝1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，故可得f′(1)＝0，即2a＋2＝0，解得a＝－1.此時(shí)f′(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝ex－1(x＋2)(x－1).由f′(x)＞0可得x＜－2或x＞1；由f′(x)＜0可得－2＜x＜1，故f(x)的極大值點(diǎn)為x＝－2.則f(x)的極大值為f(－2)＝(4＋2－1)e－3＝5e－3.5e－3

要使g(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，則方程mx2－x＋m＝0有兩個(gè)不相等的正數(shù)根x1，x2.令h(x)＝mx2－x＋m，考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值角度1求已知函數(shù)的最值例4已知函數(shù)f(x)＝xlnx－a(x－1)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值.解f(x)＝xlnx－a(x－1)，則f′(x)＝lnx＋1－a，由f′(x)＝0，得x＝ea－1.所以在區(qū)間(0，ea－1)上f(x)單調(diào)遞減，在區(qū)間(ea－1，＋∞)上f(x)單調(diào)遞增.(1)當(dāng)ea－1≤1，即a≤1時(shí)，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，所以f(x)的最小值為f(1)＝0.

(2)當(dāng)1＜ea－1＜e，即1＜a＜2時(shí)，f(x)在[1，ea－1]上單調(diào)遞減，在[ea－1，e]上單調(diào)遞增，所以f(x)的最小值為f(ea－1)＝a－ea－1.(3)當(dāng)ea－1≥e，即a≥2時(shí)，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，所以f(x)的最小值為f(e)＝a＋e－ae.綜上，當(dāng)a≤1時(shí)，f(x)的最小值為0；當(dāng)1＜a＜2時(shí)，

f(x)的最小值為a－ea－1；當(dāng)a≥2時(shí)，f(x)的最小值為a＋e－ae.

[－2，1)解析由于f′(x)＝－x2＋1，易知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－1，1)上單調(diào)遞增，故若函數(shù)f(x)在(a，10－a2)上存在最大值，(1)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值.(2)若所給函數(shù)f(x)含參數(shù)，則需通過(guò)對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f(x)的最值.感悟提升

由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)，當(dāng)a＝－10時(shí)，f(x)在(1，4)上單調(diào)遞減，f(x)在[1，4]上的最小值為f(4)＝8，符合題意.綜上，a＝－10.FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分層精練鞏固提升31.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)上的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在(a，b)上的極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)B【A級(jí)

基礎(chǔ)鞏固】A.1 B.2 C.3

D.4解析由函數(shù)極值的定義和導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，f′(x)在(a，b)上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，但是在原點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)值恒大于零，故x＝0不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).其余的3個(gè)交點(diǎn)都是極值點(diǎn)，其中有2個(gè)點(diǎn)滿足其附近的導(dǎo)數(shù)值左正右負(fù)，故極大值點(diǎn)有2個(gè).BAC得f′(x)＝x2＋2(a－1)x＋1.根據(jù)題意得[2(a－1)]2－4≤0，解得0≤a≤2.C解析由圖象可知f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，0)與(2，0)，x1，x2是f(x)的極值點(diǎn)，∴1＋b＋c＝0，8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，∴f(x)＝x3－3x2＋2x，∴f′(x)＝3x2－6x＋2，x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的兩根，

6.(2023·哈爾濱質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值.若m，n∈[－1，1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是(

) A.15 B.－15 C.10 D.－13解析因?yàn)閒′(x)＝－3x2＋2ax，f(x)在x＝2處取得極值，所以f′(2)＝0，即－12＋4a＝0，解得a＝3，所以f′(x)＝－3x2＋6x.又當(dāng)n∈[－1，1]時(shí)，f′(n)＝－3n2＋6n單調(diào)遞增，所以當(dāng)n＝－1時(shí)，f′(n)的最小值為－9.當(dāng)m∈[－1，1]時(shí)，f(m)＝－m3＋3m2－4，f′(m)＝－3m2＋6m，令f′(m)＝0，得m＝0或m＝2，所以f(m)在[－1，0]上單調(diào)遞減，在[0，1]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)m＝0時(shí)，f(m)最小值為－4.故f(m)＋f′(n)的最小值為－4＋(－9)＝－13.DABC∴f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－1，2)上單調(diào)遞增，∴f(－1)是函數(shù)的極小值，f(2)是函數(shù)的極大值，故B正確；且當(dāng)x→－∞時(shí)，f(x)→＋∞，x→＋∞時(shí)，f(x)→0，∴f(x)的圖象如圖所示，由圖知C正確，D不正確.8.(2023·廣州模擬)寫(xiě)出一個(gè)存在極值的奇函數(shù)f(x)＝____________________.解析正弦函數(shù)f(x)＝sinx為奇函數(shù)，且存在極值.sinx(答案不唯一)9.若商品的年利潤(rùn)y(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(百萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x3＋27x＋123(x>0)，則獲得最大利潤(rùn)時(shí)的年產(chǎn)量為_(kāi)_______百萬(wàn)件.解析y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，當(dāng)0<x<3時(shí)，y′>0；當(dāng)x>3時(shí)，y′<0.故當(dāng)x＝3時(shí)，該商品的年利潤(rùn)最大.310.(2023·福州一模)已知函數(shù)f(x)＝xlnx＋mex有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范

圍是________________.解析f′(x)＝lnx＋1＋mex(x＞0)，∴h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減且h(1)＝0，∴當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，h(x)≥0，即g′(x)≥0，g(x)在(0，1]上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h(x)＜0，即g′(x)＜0，g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，而當(dāng)x→0時(shí)，g(x)→－∞，當(dāng)x→＋∞時(shí)，g(x)→0，若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，只要y＝－m和g(x)的圖象在(0，＋∞)上有兩個(gè)交點(diǎn)，11.已知函數(shù)f(x)＝excosx－x.(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；解因?yàn)閒(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0.又因?yàn)閒(0)＝1，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝1.解設(shè)h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，則h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx.解因?yàn)镕(x)＝af(x)，令F′(x)>0得0<x<e，令F′(x)<0得x>e，所以F(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，所以F(x)在[a，2a]上的最小值F(x)min＝min{F(a)，F(xiàn)(2a)}.所以當(dāng)0<a≤2時(shí)，F(xiàn)(a)－F(2a)≤0，F(xiàn)(x)min＝F(a)＝lna.當(dāng)a>2時(shí)，F(xiàn)(a)－F(2a)>0，B【B級(jí)

能力提升】AD解析f′(x)＝lnx＋1＋2x，∵x0是f(x)的極值點(diǎn)，∴f′(x0)＝0，即lnx0＋1＋2x0＝0，所以當(dāng)0＜t＜2時(shí)，f′(t)