第8節(jié) 二項分布與超幾何分布、正態(tài)分布

第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第8節(jié)二項分布與超幾何分布、正態(tài)分布1.理解二項分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡單的實際問題.2.借助正態(tài)分布曲線了解正態(tài)分布的概念，并進行簡單應(yīng)用.考試要求知識診斷基礎(chǔ)夯實內(nèi)容索引考點突破題型剖析分層精練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎(chǔ)夯實11.伯努利試驗與二項分布(1)伯努利試驗____________________的試驗叫做伯努利試驗；將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行n次所組成的隨機試驗稱為________________.(2)二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0＜p＜1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝

，k＝0，1，2，…,n,稱隨機變量X服從二項分布，記作______________.知識梳理只包含兩個可能結(jié)果n重伯努利試驗X～B(n，p)2.兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝____，D(X)＝________.(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝______，D(X)＝_________.pp(1－p)np(1－p)np3.超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝

，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，稱隨機變量X服從超幾何分布.正態(tài)分布x＝μx＝μ(3)3σ原則①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝____，D(X)＝______.μσ2[常用結(jié)論]1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)X表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項分布.(

)(2)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布.(

)(3)n重伯努利試驗中各次試驗的結(jié)果必須相互獨立.(

)(4)正態(tài)分布是對于連續(xù)型隨機變量而言的.(

)√診斷自測√√√A3.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3，1)，且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，則c＝________.解析隨機變量X服從正態(tài)分布N(3，1)，∵P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，解析設(shè)每次甲勝的概率為p，由題意得，甲取勝的次數(shù)X～B(3，p)，KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點突破題型剖析2考點一二項分布解依題意知，該運動員在每個項目上“能打破世界紀錄”為獨立事件，并且每個事件發(fā)生的概率相同.設(shè)其打破世界紀錄的項目數(shù)為隨機變量ξ，設(shè)“該運動員至少能打破2項世界紀錄”為事件A，

(2)若該運動員能打破世界紀錄的項目數(shù)為X，求X的分布列及均值.所以X的分布列為判斷某隨機變量是否服從二項分布的關(guān)鍵點(1)在每一次試驗中，事件發(fā)生的概率相同.(2)各次試驗中的事件是相互獨立的.(3)在每一次試驗中，試驗的結(jié)果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生.感悟提升

(2)若該工藝師制作4次，其中優(yōu)秀作品數(shù)為X，求X概率分布列及期望.解該工藝師制作4次，其中優(yōu)秀作品數(shù)為X，X的所有可能取值為0，1，2，3，4，故X的分布列為考點二超幾何分布例2

(2023·天津模擬)某大學(xué)生志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機選取3名同學(xué)到希望小學(xué)進行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同). (1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院的概率；

(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機變量X的分布列及期望.解隨機變量X的所有可能值為0，1，2，3，所以隨機變量X的分布列為：(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布.(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型.感悟提升

訓(xùn)練2

端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個.(1)求三種粽子各取到1個的概率；解令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個”，

(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列，并求E(X).綜上知，X的分布列為考點三正態(tài)分布例3(1)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，下列結(jié)論中不正確的是(

)A.σ越小，該物理量在一次測量中在(9.9，10.1)的概率越大B.σ越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C.σ越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.σ越小，該物理量在一次測量中落在(9.9，10.2)與落在(10,10.3)的概率相等D

解析對于A，σ2為數(shù)據(jù)的方差，所以σ越小，數(shù)據(jù)在μ＝10附近越集中，所以測量結(jié)果落在(9.9，10.1)內(nèi)的概率越大，故A正確；對于B，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5，故B正確；對于C，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等，故C正確；對于D，因為該物理量一次測量結(jié)果落在(9.9，10.0)的概率與落在(10.2，10.3)的概率不同，所以一次測量結(jié)果落在(9.9，10.2)的概率與落在(10，10.3)的概率不同，故D錯誤.(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>2.5)＝________.解析因為X～N(2，σ2)，所以P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.0.14解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點：(1)對稱軸x＝μ；(2)標(biāo)準差σ；(3)分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ及分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準正態(tài)分布下對稱軸才為x＝0.感悟提升

訓(xùn)練3(1)(2023·惠州調(diào)研)若隨機變量X滿足正態(tài)分布N(μ，σ2)，則有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9545.現(xiàn)有20000人參加數(shù)學(xué)測試，成績大致服從正態(tài)分布N(100，102)，則可估計本次數(shù)學(xué)測試成績在120分以上的學(xué)生人數(shù)為(

)A.1587 B.228 C.455

D.3174解析依據(jù)題意可知μ＝100，σ＝10，記本次數(shù)學(xué)測試成績?yōu)殡S機變量X，由于P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9545，所以P(80＜X≤120)≈0.9545，C

(2)(多選)(2023·石家莊模擬)若隨機變量X～N(1，σ2)，且正態(tài)分布N(1，σ2)的正態(tài)密度曲線如圖所示，則下列選項中，可以表示圖中陰影部分面積的是(

)ABC根據(jù)對稱性，P(X≤0)＝P(X≥2)，B正確；

陰影部分的面積也可以表示為P(0≤X≤1)，而P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)，D不正確.二項分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系微點突破1.教材和考題中常涉及二項分布與超幾何分布，學(xué)生對這兩種模型的定義不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的題型，就認為是超幾何分布，事實上，超幾何分布和二項分布確實有著密切的聯(lián)系，但也有明顯的區(qū)別.2.超幾何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不獨立，二項分布的抽取是有放回抽取，各次抽取相互獨立.當(dāng)超幾何分布所對應(yīng)的總體數(shù)量很大時可以近似地看作二項分布.例1

寫出下列離散型隨機變量的分布列，并指出其中服從二項分布的是哪些？服從超幾何分布的是哪些？ (1)X1表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù).解X1的分布列為

(2)有一批產(chǎn)品共有N件，其中次品有M件(N＞M＞0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n＞N)，抽出的次品件數(shù)為X2.解X2的分布列為

(3)有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法抽n件，出現(xiàn)次品的件數(shù)為X3(N－M＞n＞0，且M≥n).解X3的分布列為X3服從超幾何分布.

(2)設(shè)A答對的題數(shù)為X，B答對的題數(shù)為Y，若讓你投票決定參賽選手，你會選擇哪名學(xué)生？請說明理由.解X的可能取值為1，2，3，因為E(X)＝E(Y)，D(X)＜D(Y)，所以A與B答題的平均水平相當(dāng)，但A比B更穩(wěn)定.所以選擇學(xué)生A.訓(xùn)練

某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為[490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到樣本的頻率分布直方圖(如下圖).

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；解質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3＝12(件).

(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；解質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則質(zhì)量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件，X的取值為0，1，2，X服從超幾何分布.∴X的分布列為

(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列.

∴Y的分布列為FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分層精練鞏固提升3B【A級

基礎(chǔ)鞏固】DC解析隨機變量X～B(n，p)，且E(X)＝4，D(X)＝2，4.(2023·南通調(diào)研)某中學(xué)高三(1)班有50名學(xué)生，在一次高三模擬考試中，經(jīng)統(tǒng)計得數(shù)學(xué)成績X～N(110，100)，則估計該班數(shù)學(xué)成績大于120分的學(xué)生人數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：P(|X－μ|＜σ)≈0.68，P(|X－μ|＜2σ)≈0.95)(

) A.16 B.10 C.8

D.2C5.2023年7月，某天文館開館.假設(shè)開館后的1個月內(nèi)每天的游客人數(shù)X服從正態(tài)分布N(2000，4900)，則在此期間的某一天，該館的游客人數(shù)不超過2210的概率為(參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)(

) A.0.99865 B.0.9973 C.0.9772 D.0.00135

解析

因為該天文館開館后1個月內(nèi)每天的游客人數(shù)X服從正態(tài)分布N(2000，4900)，

所以P(1790≤X≤2210)＝P(2000－3×70≤X≤2000＋3×70)≈0.9973，A所以P(X≤2210)≈1－0.00135＝0.99865.

ACDC解析∵函數(shù)f(x)＝P(x≤ξ≤x＋1)為偶函數(shù)，則f(－x)＝f(x)，∴P(－x≤ξ≤－x＋1)＝P(x≤ξ≤x＋1)，解析∵隨機變量X服從二項分布B(4，p)，9.小趙計劃購買某種理財產(chǎn)品，設(shè)該產(chǎn)品每年的收益率為X，若P(X＞0)＝

3P(X≤0)，則小趙購買該產(chǎn)品4年，恰好有2年是正收益的概率為________.10.一袋中有除顏色不同，其他都相同的2個白球，2個黃球，1個紅球，從中任意取出3個球，有黃球的概率是________，若ξ表示取到黃球的個數(shù)，則E(ξ)＝________.ξ表示取到黃球的個數(shù)，則ξ的所有可能取值為0，1，2，11.(2022·濰坊期末)2021年10月1日至10月5日，第30屆全國中學(xué)生生物學(xué)奧林匹克競賽決賽在浙江省蕭山中學(xué)舉行.為做好本次考試的評價工作，將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機抽取了50名學(xué)生的成績(單位：分)，經(jīng)統(tǒng)計，這50名學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中m的值，并估計這50名學(xué)生成績的中位數(shù)；解由(0.004＋0.022＋0.030＋0.028＋m＋0.004)×10＝1，得m＝0.012，前兩組的頻率之和為0.04＋0.22＝0.26＜0.50，前三組的頻率之和為0.04＋0.22＋0.30＝0.56＞0.50，設(shè)中位數(shù)為x0，則x0∈[60，70)，所以0.26＋(x0－60)×0.030＝0.50，得x0＝68，所以估計這50名學(xué)生成績的中位數(shù)為68.(2)在這50名學(xué)生中用分層隨機抽樣的方法從成績在[70，80)，[80，90)，[90，100]這三組中抽取11人，再從這11人中隨機抽取3人，記ξ為3人中成績在[80，90)的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.解因為50名學(xué)生中成績在[70，80)的人數(shù)為0.28×50＝14，成績在[80，90)的人數(shù)為0.12×50＝6，成績在[90，100]的人數(shù)為0.04×50＝2，所以抽取的11人中，成績在[70，80)的有7人，[80，90)的有3人，[90，100]的有1人.易知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，所以ξ的分布列為12.(2023·廣州測試)某校為全面加強和改進學(xué)校體育工作，推進學(xué)校體育評價改革，建立了日常參與、體質(zhì)監(jiān)測和專項運動技能測試相結(jié)合的考查機制，在一次專項運動技能測試中，該校隨機抽取60名學(xué)生作為樣本進行耐力跑測試，這60名學(xué)生的測試成績等級及頻數(shù)如下表.成績等級優(yōu)良合格不合格頻數(shù)711411(1)從這60名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生，這2名學(xué)生中耐力跑測試成績等級為優(yōu)或良的人數(shù)記為X，求P(X＝1)；解根據(jù)題意，這60名學(xué)生中耐力跑測試成績等級為優(yōu)或良的人數(shù)為7＋11＝18，成績等級為合格或不合格的人數(shù)為42，(2)將樣本頻率視為概率，從該校的學(xué)生中隨機抽取3名學(xué)生參加野外拉練活動，耐力跑測試成績等級為優(yōu)或良的學(xué)生能完成該活動，合格或不合格的學(xué)生不能完成該活動，能完成活動的每名學(xué)生得100分，不能完成活動的每名學(xué)生得0分.這3名學(xué)生所得總分記為Y，求Y的數(shù)學(xué)期望.解從該校的學(xué)生中隨機抽取3名，相當(dāng)于進行了3次獨立重復(fù)試驗，設(shè)所抽取的3名學(xué)生中耐力跑測試成績等級為優(yōu)或良的人數(shù)為ξ，則ξ服從二項分布B(3，p).將樣本頻率視為概率得p＝0.3.根據(jù)二項分布的均值公式得E(ξ)＝3p＝0.9.根據(jù)題意得Y＝100ξ，所以Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)＝100E(ξ)＝90.CD【B級

能力提升】解析設(shè)此人答對題目的個數(shù)為ξ，B解析若進行“10合1”混檢，對任意一個10人組進行檢測，總檢測次數(shù)有兩種結(jié)果：1次和11次，概率分別為(1－p)10和1－(1－p)10，故這個10人組檢測次數(shù)的期望為11－10(1－p)10，相當(dāng)于每個個體平均檢測1.1－(1－p)10次.同理，采用“5合1”混檢，每個個體平均檢測1.2－(1－p)5次，ABC解析由二進制數(shù)A的特點知每一個數(shù)位上的數(shù)字只能填0，1，且每個數(shù)位上的數(shù)字再填時互不影響，故以后的5位數(shù)中后4位的所有結(jié)果有5類：16.(2023·泰安模擬)某市為了解本市初中生周末運動時間，隨機調(diào)查了3000名學(xué)生，統(tǒng)計了他們的周末運動時間，制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)按照分層隨機抽樣，從[40，5