比較二次根式大小地巧妙方法

比較二次根式大小的巧妙方法二次根式是初中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)，也是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)容；而比較二次根式的大小又是二次根式知識(shí)中的難點(diǎn)，也是中考和數(shù)學(xué)競賽中常見的題型，經(jīng)常會(huì)考到不查表、不求二次根式的值，來比較幾個(gè)不含分母的二次根式的大小的問題。盡管教材上介紹了比較二次根式大小的幾種基本方法，如求近似值法、比較被開方數(shù)法等，盡管很多教輔材料中也總結(jié)了不少諸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒數(shù)”、“平方”等方法，但許多學(xué)生在考試中仍顯得力不從心，并不清楚到底什么時(shí)候用哪種方法最合適？解答這類題目時(shí)缺少方法與對(duì)策，以至于無從下手。下面就舉例介紹幾種比較二次根式大小的有效方法。

一、移動(dòng)因式法

此法好學(xué)，適用。就是將根號(hào)外的正因式移入根號(hào)，從而轉(zhuǎn)化為比較被開方數(shù)的大小。

例1：比較的大小。

解：

＞

∴＞

二、運(yùn)用平方法

兩邊同時(shí)平方,轉(zhuǎn)化為比較冪的大小。此法的依據(jù)是：兩個(gè)正數(shù)的平方是正數(shù)，平方大的數(shù)就大；兩個(gè)負(fù)數(shù)的平方也是正數(shù)，平方大的數(shù)反而小。

例2：比較與的大小。

解：∵，

＞0，＞0

∴＜

三、分母有理化法

此法是先將各自的分母有理化，再進(jìn)行比較。

例3：比較與的大小。

解：

∴＞

四、分子有理化法

此法是先將各自的分子有理化，再比較大小。

例4：比較與的大小

解：∵

＞

∴＞

五、求差或求商法

求差法的基本思路是：設(shè)為任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，先求出與的差，再根據(jù)“當(dāng)

＜0時(shí)，＜；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)＞0時(shí)，＞”來比較與的大小。

求商法的基本思路是：設(shè)為任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，先求出與的商，再根據(jù)“①同號(hào)：當(dāng)＞1時(shí)，＞；＝1時(shí)，；＜1時(shí)，＜。②異號(hào)：正數(shù)大于負(fù)數(shù)”來比較與的大小。

例5：比較的大小。

解：∵

＜

∴＜

例6：比較的大小。

解：∵＞1

∴＞

六、求倒數(shù)法

先求兩數(shù)的倒數(shù)，而后再進(jìn)行比較。

例7：比較的大小。

解：∵

＞

∴＜

七、運(yùn)用媒介法

此法是借助中間量（定量或變量）巧妙轉(zhuǎn)換達(dá)到直觀比較的方法，類似于解方程中的換元法。

例8：已知，，試比較的大小。

解：設(shè)，

則，

∵＜，∴＜，即＜

八、設(shè)特定值法

如果要比較的二次根式中含有字母，為了快速比較，解答時(shí)可在許可的條件下設(shè)定特殊值來進(jìn)行比較。

例9：比較與的大小。

解：設(shè)，則：

＝1，＝

∵＜1，∴＞

九、局部縮放法

如果要比較的二次根式一眼看不出有什么特點(diǎn)，又不準(zhǔn)求近似值，可采取局部縮放法，以確定它們的取值圍，從而達(dá)到比較大小的目的。

例10：比較的大小。

解：設(shè)，

∵，7＜＜8，即7＜＜8

，8＜＜9，即8＜＜9

∴＜，即＜

例11：比較與的大小。

解：∵＞

∴＞

十、“結(jié)論”推理法

通過二次根式的不斷學(xué)習(xí)，不難得出這樣的結(jié)論：“＞（＞＞0）”，利用此結(jié)論也可以比較一些二次根式的大?。ńY(jié)論證明見文末）。

例12：比較1與的大小。

解：∵，

由＞（＞＞0）可知：

＞

即＞

又∵＞

∴＞，即1＞

總的來說，比較二次根式大小的方法不僅僅局限于以上十種，除此之外諸如移項(xiàng)、拆項(xiàng)法，類比推理法，數(shù)形結(jié)合法，數(shù)軸法，還有假設(shè)推理法等等，但不管使用哪種方法，都必須在掌握二次根式的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則上進(jìn)行，要根據(jù)問題的特征，二次根式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，多角度地探索思考，做到具體問題具體分析，針對(duì)不同問題采取不同的策略，另外還應(yīng)多做這方面的訓(xùn)練，方能達(dá)到熟練而又快捷，運(yùn)用自如的程度。

附：“＞（＞＞0）”的證明。

證明：∵，，

＞

∴＞（＞＞0）

【典題新練】：

1、比較與的大?。?/p>

2、比較與的大??；

3、比較與的大?。?/p>

4、比較與的大??；

5、比較與的大??；

6、比較與的大小（其中為正整數(shù)）；

7、設(shè)，，試比較它們的大??；

8、比較與的大??；

9、比較與的大??；

10、比較與的大小；

11、比較與的大??；

12、比較的大?。?/p>

13、比較與的大?。?/p>

14、比較與的大小；

15、若為正整數(shù)，試比較的大小；

16、比較的大??；

17、比較與的大小。

【典題新練參考答案】：

1、提示：，，∴＜

2、提示：平方后再進(jìn)行比較。

，，

∴＞

3、提示：可利用＞（＞＞0）。

＞，即＞

4、提示：分母有理化后再進(jìn)行比較。

，，＜，

∴＜

5、提示：分子有理化后再進(jìn)行比較。

∵＞，∴＜，

即＜

6、提示：∵，

其中為正整數(shù)，∴＞

故＜

7、提示：設(shè)，

則：，

∵＜

∴＜，∴＜

8、平方后再進(jìn)行比較。

，，又∵＞，∴＞

∴＜，∴＜

9、提示：∵2＜＜3，7＜＜8，∴＜5＜，∴＜

10、提示：分子有理化后再進(jìn)行比較。

因?yàn)?，，而?/p>

所以＜，故＜

11、提示：分別求其倒數(shù)后，再進(jìn)行比較。

∵，

＞，∴＜

12、提示：∵，而7＜＜8，∴的整數(shù)部分為7。同樣可得

的整數(shù)部分為8，∴＜

13、提示：∵＞

∴＞

14、提示：平方后再比較大小。

∵，，

∴＜

15、提示：由偶次根式的定義得，∴＜2009，∴