數(shù)學(xué)物理方程習(xí)題

數(shù)學(xué)物理方程復(fù)習(xí)2第四章拉普拉斯方程的格林函數(shù)法分離變量法主要適用于求解各種有界問題，而行波法則主要適用于求解各種無界問題，這兩種方法所得到的解一般分別為無窮級數(shù)和無窮積分的形式。格林函數(shù)法給出的解則是有限積分的形式，十分便于理論分析和研究。格林公式光滑閉曲面（邊界）閉曲面所包圍的空間邊界+所包圍的空間=（1）第一邊值問題在空間中某一區(qū)域的邊界上，給定了連續(xù)函數(shù)，要求這樣一個函數(shù),它在閉區(qū)域（或記作）上連續(xù)，在內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足拉普拉斯方程，在上與已知函數(shù)相重合，即

第一邊值問題也稱為迪利克萊（Dirichlet)）問題，或簡稱為迪氏問題。調(diào)和函數(shù)——談到拉普拉斯的連續(xù)解，也就是說，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并且滿足拉氏方程的連續(xù)函數(shù)，稱為調(diào)和函數(shù)。所以，迪氏問題也可以換一種說法：在區(qū)域內(nèi)尋找一個調(diào)和函數(shù)，使它在邊界上的值為已知?。?）第二邊值問題在某光滑的閉曲面的邊界上給出連續(xù)函數(shù)，要求尋找這樣一個函數(shù)，它在內(nèi)部的區(qū)域中是調(diào)和函數(shù)，在上連續(xù)，在上任意一點處的法向?qū)?shù)

存在，并且等于已知函數(shù)在該點的值：第二邊值問題，也稱為牛曼（Neumann）問題第一Green公式第二Green公式重要！格林函數(shù)Laplace方程的Dirichlet問題的解為其中Poisson方程的Dirichlet問題的解為其中用鏡象法求特殊區(qū)域上的函數(shù)。上半空間內(nèi)的Green函數(shù)及Dirichlet問題求解上半空間內(nèi)的Dirichlet問題先求上半空間內(nèi)的Green函數(shù)，即求解問題格林函數(shù)的應(yīng)用在區(qū)域外找出區(qū)域內(nèi)一點關(guān)于邊界的象點，在這兩個點放置適當(dāng)?shù)碾姾?，這兩個電荷產(chǎn)生的電位在曲面邊界上相互抵消。這兩個電荷在區(qū)域中形成的電位就是所要求的格林函數(shù)。（1）尋找“電象點”·····在半空間處的點，放置單位正電荷，找出關(guān)于平面的對稱點，并且在該點置等量異電荷（單位負電荷）。這樣與所產(chǎn)生的電位，在平面上相互抵消。（2）尋找格林函數(shù)

·····（3）求定解問題的解（寫出導(dǎo)數(shù)-注意求導(dǎo)方向；寫出積分解-主要是積分區(qū)域）注意用對公式球域的格林函數(shù)

●設(shè)有一球心在原點，半徑為的球面，在球內(nèi)任取一點，連接OM0并延長至，使，點被稱為點關(guān)于球面的反演點或鏡像點。以表示，則

（1）找鏡像點在放置單位正電荷，在放置單位的負電荷。下面，需要適當(dāng)選擇的值，使得這兩個電荷所產(chǎn)生的電位，在球面上相互抵消。即●●或其中，是球面上任一點?！住瘛瘛瘢?）尋找調(diào)和函數(shù)因此，只要在點處放置單位的負電荷，由它所形成的電場，在任一點的電位這個電位，不僅在所圍成的球域的內(nèi)部是調(diào)和函數(shù)！而且在上具有一次連續(xù)可微，同時在上滿足球域的格林函數(shù)為（3）求解球域內(nèi)的迪氏問題利用格林函數(shù)求球域內(nèi)的迪氏問題為此，需要計算出。注意用對公式從更廣泛的意義上于是●代入（4.23）式，可得球內(nèi)迪氏問題的解在球面上,有考試時候?qū)懙竭@一步就夠了！寫成球坐標(biāo)形式其中：格林函數(shù)求拉普拉斯方程考試求解步驟要求：確定方程類型（拉普拉斯or泊松；狄氏）尋找電象點（作圖標(biāo)明）寫出格林函數(shù)正確寫出求導(dǎo)方向、邊界及條件（明確在哪個邊界上對誰求導(dǎo)）寫出方程解的積分形式（積分限、被積函數(shù)）習(xí)題四.2習(xí)題四.3作業(yè)3：四分之一空間的格林函數(shù)

在四分之一半空間內(nèi)的點，放置單位正電荷，首先找出關(guān)于

平面的對稱點，并且在該點置等量異電荷（單位負電荷）。這樣與所產(chǎn)生的電位，在平面上相互抵消。（1）建立反演點或鏡像點其次，找出M0和M1關(guān)于y=0平面的對稱點M2(x0,-y0,z0)及M3(x0,-y0,-z0)，并在這兩點分別放置與M0和M1點等量的異電荷。這樣M2與M3所產(chǎn)生的電位，與M0和M1所產(chǎn)生的電位在y=0平面上相互抵消。（2）尋找調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)可得，格林函數(shù)為（3）求域內(nèi)的狄氏問題--在邊界上求導(dǎo)入并帶入解的公式作業(yè)4：上半球域的格林函數(shù)

●（1）建立反演點或鏡像點設(shè)球心在坐標(biāo)原點,在球域內(nèi)上取一點并在該點放置一個單位正電荷，令在關(guān)于球面的對稱點處放置一個

單位的負電荷,在關(guān)于平面z=0的對稱點處放置一個

單位負電荷,在關(guān)于球面的對稱點處放置一個

單位的正電荷。（2）尋找調(diào)和函數(shù)則半球內(nèi)的格林函數(shù)為（3）求域內(nèi)的狄氏問題--在邊界上求導(dǎo)入并帶入解的公式展開形式同球域貝塞爾函數(shù)由二維熱傳導(dǎo)方程，通過分離變量法，引出貝塞爾方程----n階貝塞爾方程的常見形式(重要?。?用x

表示自變量,