浙江省紹興區(qū)上虞區(qū)2022-2023學年高二下學期（6月）學考適應性考試數(shù)學試題

2022學年第二學期高二學考適應性考試數(shù)學試題（時間80分鐘總分100分）一、單項選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】應用集合的并運算求集合即可.【詳解】由題知.故選：D2.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零可得出關于的不等式，即可解得函數(shù)的定義域.【詳解】由對數(shù)的真數(shù)大于零得，解得，因此，函數(shù)的定義域為.故選：A.3.設命題：，則的否定為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題根據(jù)題意直接寫出命題的否定即可.【詳解】解：因為命題：，所以的否定：，故選：B【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定，是基礎題.4.設，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)誘導公式即可求解.【詳解】，故選：D5.已知向量，，若，則實數(shù)（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示得到方程，解得即可.【詳解】，且，則，解得.故選：C.6.若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則的平均數(shù)和方差分別為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用期望、方差性質求新數(shù)據(jù)的期望、方差.【詳解】由期望、方差的性質知：，.故選：C7.為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A.向右平移個單位 B.向左平移個單位C.向右平移個單位 D.向左平移個單位【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖像變換的原則，即可容易求得.【詳解】因為將函數(shù)的圖象向左平移個單位，則.故選：D.【點睛】本題考查求函數(shù)圖像平移前后的解析式變化，屬基礎題.8.甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中，若或，就稱甲、乙“心有靈犀”，現(xiàn)在任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意利用列舉法結合古典概型運算求解.【詳解】甲、乙的所有可能情況用二維有序數(shù)組表示：，，，總共有36種，符合條件的有，共11種，所以他們“心有靈犀”的概率為.故選：C.9.科學研究已經(jīng)證實，人的智力，情緒和體力分別以天、天和天為周期，按進行變化，記智力曲線為，情緒曲線為，體力曲線為，且現(xiàn)在三條曲線都處于軸的同一點處，那么第天時（）A.智力曲線處于最低點B.情緒曲線與體力曲線都處于上升期C.智力曲線與情緒曲線相交D.情緒曲線與體力曲線都關于對稱【答案】D【解析】【分析】由已知得第322天時，322除33余25,322除28余14，322除23余0，即智力曲線位于周期處，情緒曲線E位于周期處，體力曲線P剛好位于起始點處，逐一判斷可得選項．【詳解】第322天時，322除33余25,322除28余14，322除23余0，即智力曲線位于周期處，情緒曲線E位于周期處，體力曲線P剛好位于起始點處，A項，則智力曲線不處于最低點，故A錯誤；B項，情緒曲線E處于最高點，即將開始下降，故B錯誤；C項，經(jīng)過n個周期后，因為周期不同，所以智力曲線與情緒曲線不一定相交，故C錯誤；D項，(322,0)位于體力曲線P和情緒曲線E的交點x軸上，故D正確，故選：D．10.兩條異面直線與同一平面所成的角，不可能是（）A.兩個角均為銳角 B.一個角為，一個角為C.兩個角均為 D.兩個角均為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)異面直線和直線與平面所成角的概念逐個分析可得答案.【詳解】對于A，兩個角可能均為銳角，故A不正確；對于B，可能一個角為，一個角為，故B不正確；對于C，可能兩個角均為，故C不正確；對于D，如果兩個角均為，則兩條直線垂直于同一個平面，則這兩條直線平行，不是異面直線，故這兩個角不可能均為，故D正確.故選：D.11.已知定義在上的函數(shù)滿足:為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由奇、偶函數(shù)的定義，推得的最小正周期為4，運用對數(shù)的運算性質和已知區(qū)間上的函數(shù)的解析式，計算可得所求值．【詳解】定義在上的函數(shù)滿足：為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，可得，，則，故，可得的最小正周期為4，由于，則，當時，，所以，則,故選:A12.在三棱錐中，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，則該三棱錐的外接球的半徑為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設中點為，連接，過點作，進而根據(jù)已知條件證明三棱錐的外接球的球心在上，再設外接球的半徑為，球心為，中點為，連接，再根據(jù)幾何關系得，進而代入數(shù)據(jù)計算即可得答案【詳解】設中點為，連接，

因為是以為斜邊的等腰直角三角形，所以，，過點作，因為平面平面，平面平面,平面，平面，所以平面，平面，所以三棱錐的外接球的球心在上，設外接球的半徑為，則由得，由得，又因為，所以為等腰直角三角形，設球心為，中點為，連接，則，所以，即，解得，故選：B二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.每小題列出的四個備選項中有多個是符合題目要求的，全部選對得4分，部分選對且沒錯選得2分，不選、錯選得0分）13.關于復數(shù)為虛數(shù)單位）下列說法正確的是（）A. B.若，則C.若為純虛數(shù)，則 D.【答案】BC【解析】【分析】通過復數(shù)的乘法運算可得，故選項A可判定；利用復數(shù)的幾何意義可解讀，故選項B可判定；利用純虛數(shù)的概念可得，故選項C可判定；特殊值代入可判定選項D.【詳解】，故選項A錯誤；，由幾何意義可得到的距離為2，進而可得，，即，故選項B正確；且為純虛數(shù)，，故選項C正確；，可取則，，選項D錯誤.故選：BC.14.已知函數(shù)，函數(shù)，則下列命題中正確的是（）A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C.是偶函數(shù) D.是偶函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域，結合奇偶函數(shù)的定義，逐項判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域為R，函數(shù)的定義域為，，對于，函數(shù)的定義域為，，是偶函數(shù)，A正確；對于B，函數(shù)的定義域為，，是奇函數(shù)，B正確；對于C，函數(shù)的定義域為，，是奇函數(shù)，C錯誤；對于D，函數(shù)的定義域為，，是偶函數(shù)，D正確.故選：ABD15.下列命題中，正確的是（）A.若事件A，B互斥，則B.若事件A，B相互獨立，則C.若事件A，B，C兩兩互斥，則D.若事件A，B，C兩兩獨立，則【答案】ABC【解析】【分析】利用互斥事件的概率加法公式判斷選項AC；利用獨立事件的乘法公式判斷選項B；舉反例判斷選項D.【詳解】對于A，根據(jù)互斥事件的概率加法公式即可判斷A正確；對于B，若事件A，B相互獨立，則，也相互獨立，所以，故B正確；對于C，根據(jù)互斥事件的概率加法公式即可判斷C正確；對于D，例如，從1，2，3，4中隨機選出一個數(shù)字，記事件“取出的數(shù)字為1或2”，“取出的數(shù)字為1或3”，“取出的數(shù)字為1或4”，則“取出的數(shù)字為1”，顯然，，滿足，，，所以事件A，B，C兩兩獨立，但是，故D錯誤.故選：ABC.16.如圖，正方體的棱長為分別為棱的中點，過三點的平面截正方體，得到截面多邊形，則下列說法正確的是（）A.多邊形是一個六邊形B.多邊形的周長為C.平面D.截面多邊形在頂點處的內角的余弦值為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)正方體的結構特征可得截面圖形為五邊形，即可求解AB，根據(jù)線面垂直的判斷得矛盾，即可求解C，根據(jù)余弦定理即可求解D.【詳解】延長相交于，連接交于，連接,則由可得又,取,連接，過作，連接,由于，又,所以,四邊形為平行四邊形，故，又，所以,根據(jù)所以,則五邊形即為截面多邊形，故A錯誤；由于可知,所以五邊形的周長為，故B正確；由于且平面,所以平面，平面,所以，若平面，平面,則,,故,平面，故平面，這顯然是不成立的，故與平面不垂直，故C錯誤；連接,由于，所以四邊形均為平四邊形，則，故D正確，故選：BD非選擇題部分三、填空題（本大題共4小題，每空3分，共15分）17.已知函數(shù)，則_______；_____.【答案】①.②.【解析】【分析】利用函數(shù)解析式可求得、的值.【詳解】因為，則，.故答案為：；.18.某班共有學生40人，將一次數(shù)學考試成績(單位:分)繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，成績不低于85分的人數(shù)有___人.【答案】9【解析】【分析】先求出a，然后求出成績不低于85分的人的頻率即可成績不低于85分的人數(shù).【詳解】由頻率分布直方圖的頻率和為1，可得：，解得：.故成績不低于85分的人的頻率為，所以成績不低于85分的人數(shù)有.故答案為：9.19.已知實數(shù)，，，則的最小值為______．【答案】3【解析】【分析】由已知變形得出積為定值，然后由基本不等式得最小值．【詳解】解：實數(shù)，，，則，當且僅當，時，取等號，的最小值為：3．故答案為：3．20.已知兩單位向量滿足：對任意的，有恒成立.若，則對任意的，的取值范圍是_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律及一元二次不等式恒成立得到，即可求出與的夾角，不妨設、，，即可求出點在以坐標原點為圓心，半徑的圓上，設，根據(jù)共線定理得到在直線上，則，將問題轉化為圓上的點與直線上的點的連線段的長度問題，求出圓心到直線的距離，即可求出最小值.【詳解】因為對任意的，有恒成立，所以恒成立，即恒成立，又、為單位向量，所以恒成立，所以，所以，所以，設與的夾角為，則，又，所以，不妨設、，，因為，所以，所以點在以坐標原點為圓心，半徑圓上，設，則在直線上，又直線的方程為，即，所以，所以，又到直線的距離，所以，即的取值范圍是.故答案為：【點睛】關鍵點睛：首先由不等式恒成立求出與的夾角，再者是將向量用坐標表示，最后是將向量模的問題轉化為平面幾何圓上的點與直線上的點的連線段長度問題.四、解答題（本大題共3小題，共33分）21.已知在中，角，，所對的邊分別為，，，向量，，且．（1）求角；（2）若，，求面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平行向量的坐標關系得，結合正弦定理與角度關系，即可得角；（2）根據(jù)余弦定理求得邊長，再利用面積公式求解即可.【小問1詳解】解：因為向量，，且所以，由正弦定理得，又，則，即，又，所以；【小問2詳解】解：由余弦定理的，整理得，解得或（舍），所以的面積.22.如圖，在三棱錐中，，，，.設分別為棱的中點，且.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】分析】（1）根據(jù)中位線及勾股定理得出線面垂直，再應用面面垂直判定定理得證；（2）根據(jù)線面垂直，作面面交線的垂線得出二面角，計算即得正弦值.【小問1詳解】由，分別為棱的中點，得,分別為棱的中點，且,，，平面,平面,,平面,平面所以平面平面.【小問2詳解】連，則由，,得，,平面，平面,平面.過點作，垂足為，連，則是二面角的平面角.于是，，所以.23.已知函數(shù)，（1）當時，求函數(shù)的單調遞增區(qū)間（不必寫明證明過程）；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（3）當時，若對任意的，恒有成立，求的最大值.【答案】（1）（2）見解析（3）10【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求解，（2）根據(jù)奇偶性的定義和性質及可求解，（3）根據(jù)分情況討論去掉絕對值，結合函數(shù)和的單調性，即可通過求解函數(shù)最值求解.小問1詳解】時，，又二次函數(shù)的性質可知當，此時在單調遞增，當，在單調遞增，故的單調遞增區(qū)間為【小問2詳解】當時，，對于，，故為偶函數(shù)；當時，，故不是奇函數(shù)；又，，顯然，即，故不是偶函數(shù)，綜上所述，當時，是偶函數(shù)，當時，既不是偶函數(shù)又不是奇函數(shù).【小問3詳解】（ⅰ