3.1 隨機(jī)變量及其分布概率論基礎(chǔ)

第三章隨機(jī)變量與分布函數(shù)概率論基礎(chǔ)第三章隨機(jī)變量與分布函數(shù)3.1

隨機(jī)變量及其分布3.2

隨機(jī)向量，隨機(jī)變量的獨(dú)立性3.3

隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布3.1

隨機(jī)變量及其分布----隨機(jī)變量的定義

在所討論的許多隨機(jī)現(xiàn)象中，許多問題與數(shù)值之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如：在產(chǎn)品檢驗(yàn)中，考慮的是抽樣中出現(xiàn)的次品數(shù)。在機(jī)票超售中，考慮的是旅客實(shí)際到達(dá)數(shù)。在測量過程中，考慮的是誤差。3.1

隨機(jī)變量及其分布----隨機(jī)變量的定義

也有一些隨機(jī)現(xiàn)象，初看是與數(shù)值無關(guān)，例如擲硬幣問題，所出現(xiàn)的結(jié)果為正面或方面，與數(shù)值無關(guān)。但我們可以將試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值建立一種關(guān)系。在擲硬幣試驗(yàn)中，當(dāng)出現(xiàn)“正面”是對(duì)于數(shù)值“1”，當(dāng)出現(xiàn)“反面”是對(duì)于數(shù)值“0”。一般情況，設(shè)A為隨機(jī)事件，則一定可以通過示性函數(shù)是事件A是否與數(shù)值建立關(guān)系：3.1

隨機(jī)變量及其分布----隨機(jī)變量的定義

上面所討論的這些例子中，試驗(yàn)的結(jié)果能用一個(gè)數(shù)ξ來表示，這個(gè)數(shù)ξ是由試驗(yàn)的結(jié)果所決定，也就是ξ是樣本空間的函數(shù)，即ξ(ω)，稱之為隨機(jī)變量，用希臘字母ξ，η，ζ，…等來表示。根據(jù)隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果，我們考慮兩種隨機(jī)變量類型：一種是隨機(jī)變量ξ取值為有限個(gè)，或可列無窮；一種是隨機(jī)變量ξ取值為一個(gè)區(qū)間[c,d]。3.1

隨機(jī)變量及其分布----隨機(jī)變量的定義

隨機(jī)變量定義設(shè)ξ(ω)是定義在概率空間(Ω,F,P)上的單值實(shí)函數(shù)，如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，{ω:ξ(ω)<x}F，則稱ξ(ω)是隨機(jī)變量。分布函數(shù)定義稱F(x)=P(ξ(ω)<x)為隨機(jī)變量ξ(ω)的分布函數(shù)。將“隨機(jī)變量ξ(ω)服從分布函數(shù)F(x)”簡記為ξ(ω)~F(x)。P(a≤ξ<b)=F(b)?F(a)3.1

隨機(jī)變量及其分布----分布函數(shù)性質(zhì)

定理(I)單調(diào)性：若a

<b，則F(a)

≤F(b)。(II)。(III)左連續(xù)性：F(x?0)=F(x)。3.1

隨機(jī)變量及其分布----分布函數(shù)性質(zhì)

由P(a≤ξ<b)=F(b)?F(a)，以及分布函數(shù)的性質(zhì)可以推出一些計(jì)算概率的公式：P(ξ(ω)=a)=F(a+0)?F(a)

。P(ξ(ω)≤a)=F(a+0)。P(ξ(ω)≥a)=1?F(a)。P(ξ(ω)>a)=1?F(a+0)。3.1

隨機(jī)變量及其分布----離散型隨機(jī)變量

設(shè){xi}為離散型隨機(jī)變量ξ所有取值，p(xi)是ξ取xi的概率，即P{ξ=xi}=p(xi)(i=1,2,…)。{p(xi)|i=1,2,…}稱為隨機(jī)變量ξ的概率分布，滿足：3.1

隨機(jī)變量及其分布----離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量ξ的分布列隨機(jī)變量ξ的分布函數(shù)是一個(gè)跳躍函數(shù)。3.1

隨機(jī)變量及其分布----離散型隨機(jī)變量退化分布若隨機(jī)變量ξ只取常數(shù)值c，即P{ξ=c}=1。退化分布的分布函數(shù)3.1

隨機(jī)變量及其分布----離散型隨機(jī)變量伯努利分布（兩點(diǎn)分布，0-1分布）在一次試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率為p（0<p<1），不出現(xiàn)的概率q=1?

p。設(shè)隨機(jī)變量ξ表示事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則ξ可能取值為0與1，其對(duì)應(yīng)的概率P{ξ=k}=pkq1?k，k=0,1。3.1

隨機(jī)變量及其分布----離散型隨機(jī)變量二項(xiàng)分布（記為ξ~B(n,p)）在n重伯努利試驗(yàn)中，P(A)=p，設(shè)隨機(jī)變量ξ表示事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則ξ可能取值為0,1,2,…,n，其對(duì)應(yīng)的概率其中0<p<1，q=1?

p。3.1

隨機(jī)變量及其分布----離散型隨機(jī)變量超幾何分布N件產(chǎn)品中有M件次品，進(jìn)行不放回抽樣，共抽取n件產(chǎn)品，設(shè)隨機(jī)變量ξ表示這n件產(chǎn)品中次品數(shù)，則ξ可能取值為0,1,2,…,n，其對(duì)應(yīng)的概率3.1

隨機(jī)變量及其分布----離散型隨機(jī)變量泊松分布（記為ξ~P(

)）若ξ可能取值為一切非負(fù)整數(shù)值，且其中參數(shù)

>0。3.1

隨機(jī)變量及其分布----離散型隨機(jī)變量幾何分布在事件A出現(xiàn)的概率為p（0<p<1,q=1?p）的伯努利試驗(yàn)中，若以ξ記為事件A首次出現(xiàn)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)，則ξ為一隨機(jī)變量，其可能取值為0,1,2,…，其對(duì)應(yīng)的概率幾何分布的無記憶性3.1

隨機(jī)變量及其分布----離散型隨機(jī)變量帕斯卡分布在事件A出現(xiàn)的概率為p（0<p<1,q=1?p）的伯努利試驗(yàn)中，若以ξ記第r次事件A出現(xiàn)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)，則ξ為一隨機(jī)變量，其可能取值為r,r+1,r+2,…，其對(duì)應(yīng)的概率3.1

隨機(jī)變量及其分布----連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)性隨機(jī)變量隨機(jī)變量ξ可能取值為一區(qū)間[c,d]或(?∞,d]或[c,+∞)或(?∞,∞)內(nèi)的一切值，其分布函數(shù)F(x)是絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，即存在可積函數(shù)p(x)，使稱函數(shù)p(x)為隨機(jī)變量ξ的（分布）密度函數(shù)。3.1

隨機(jī)變量及其分布----連續(xù)型隨機(jī)變量顯然成立反之，若可積函數(shù)p(x)滿足上述式子，則由定義的函數(shù)F(x)是分布函數(shù)。3.1

隨機(jī)變量及其分布----連續(xù)型隨機(jī)變量對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量ξ，設(shè)c是任意常數(shù)，計(jì)算P{ξ=c}：因?yàn)樗运?/p>

P{ξ=c}=0。當(dāng)x是p(x)的連續(xù)點(diǎn)，則有3.1

隨機(jī)變量及其分布----連續(xù)型隨機(jī)變量均勻分布（記為ξ~U[a,b]）隨機(jī)變量ξ的密度函數(shù)為相應(yīng)的分布函數(shù)為3.1

隨機(jī)變量及其分布----連續(xù)型隨機(jī)變量正態(tài)分布（記為ξ~N(μ,σ2)）隨機(jī)變量ξ的密度函數(shù)為其中μ與σ是常數(shù)，σ

>0。當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)，成為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。3.1

隨機(jī)變量及其分布----連續(xù)型隨機(jī)變量指數(shù)分布（記為ξ~Exp(

)）

隨機(jī)變量ξ的密度函數(shù)為其中參數(shù)

>0。相應(yīng)的分布函數(shù)為3.1

隨機(jī)變量及其分布----連續(xù)型隨機(jī)變量指數(shù)分布有及其重要的應(yīng)用，包括電子元器件的壽命，動(dòng)物的壽命，通話時(shí)間，服務(wù)時(shí)間等通常被假設(shè)為服從指數(shù)分布。指數(shù)分布也具有“無記憶性