求遞推數(shù)列通項(xiàng)的特征根法

求遞推數(shù)列通項(xiàng)的特征根法（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）

求遞推數(shù)列通項(xiàng)的特征根法求遞推數(shù)列通項(xiàng)的特征根法（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）-----07、08廣東卷壓軸題深圳東升學(xué)校陳勝華內(nèi)容摘要：針對07、08年廣東高考題絕大部分同學(xué)感覺很難，無從下手！對其思路、方法分析、歸納，以共參考.關(guān)鍵詞：特征方程一、形如是常數(shù)）的數(shù)列形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項(xiàng)，其特征方程為…①若①有二異根，則可令是待定常數(shù)）若①有二重根，則可令是待定常數(shù)）再利用可求得，進(jìn)而求得下面以08廣東卷理科21題來看其應(yīng)用：設(shè)為實(shí)數(shù)，是方程的兩個實(shí)根，數(shù)列滿足，，（…）．（1）證明：，；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若，，求的前項(xiàng)和．解析：（1）由是方程的兩個實(shí)根，則；故，（2）設(shè)，則，由得，消去，得，是方程的根，由題意可知，①當(dāng)時，此時方程組的解記為即、分別是公比為、的等比數(shù)列，由等比數(shù)列性質(zhì)可得,,兩式相減，得，，，，即，②當(dāng)時，由①可知，，即，等式兩邊同時除以，得，即數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，,綜上所述，（3）把，代入，得，解得二、形如的數(shù)列(不動點(diǎn)法)對于數(shù)列，是常數(shù)）其特征方程為，變形為…②若②有二異根，則有，再進(jìn)一步求得.如07廣東卷理科21題：已知函數(shù)，是方程f(x)=0的兩個根，是f(x)的導(dǎo)數(shù)；設(shè)，（n=1,2,……）（1）求的值；（2）證明：對任意的正整數(shù)n，都有；；（3）記（n=1,2,……），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。解析：（1）∵，是方程f(x)=0的兩個根，∴；（2），，其特征根方程為，即由.,∴,則.（3），同理，，又.參考文獻(xiàn)《奧林匹克數(shù)學(xué)中的代數(shù)問題》湖南師范大學(xué)出版社淺談特征根法在求遞推數(shù)列通項(xiàng)中的運(yùn)用高三數(shù)學(xué)組徐朝生以往浙江每年高考理科數(shù)學(xué)都會考數(shù)列，而且往往以壓軸題出現(xiàn)，難度都比較大，09年浙江高考理科沒有考數(shù)列大題，文科考了等差數(shù)列，題目相對簡單，但在全國其它省市中（如安徽、山東、廣東、寧夏、海南、天津、江西等）經(jīng)常考數(shù)列大題，題目有難有易，比如廣東和江西的較難。而各種數(shù)列問題在很多情形下，就是對數(shù)列通項(xiàng)公式的求解。特別是在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問題中，數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸。如：（08年廣東高考）設(shè)p、q為實(shí)數(shù)，α、β是方程x2-px+q=0的兩個實(shí)數(shù)根，數(shù)列{xn}滿足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5……)1）……………2）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式。3）若，，求數(shù)列{xn}的前n項(xiàng)的和sn(09年江西高考)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，，1）當(dāng)。像上述兩道題，如果不能順利求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，就不能繼續(xù)做后面的題，想得高分就難，對于那些有可能上重點(diǎn)大學(xué)的績優(yōu)學(xué)生來說重點(diǎn)大學(xué)之夢就可能是兩個字——遺憾。本文就一、兩種題型進(jìn)行探討，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法之一——特征根法的運(yùn)用，希望能對部分同學(xué)有幫助。類型一、遞推公式為（其中p，q均為非零常數(shù)）。先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，其中滿足，顯然是方程的兩個非零根。如果，則，成等比，很容易求通項(xiàng)公式。如果，則{}成等比。公比為，所以，轉(zhuǎn)化成：，(I)又如果，則{}等差，公差為，所以，即：可以整理成通式：Ii)如果，則令，，,就有，利用待定系數(shù)法可以求出的通項(xiàng)公式所以，化簡整理得：，小結(jié)特征根法：對于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當(dāng)時，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。簡例應(yīng)用（特征根法）：數(shù)列：，的特征方程是：,。又由，于是故下面再看特征根法在08年廣東高考題中的應(yīng)用：設(shè)p、q為實(shí)數(shù)，α、β是方程x2-px+q=0的兩個實(shí)數(shù)根，數(shù)列{xn}滿足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5……)1）……………2）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式。3）若，，求數(shù)列{xn}的前n項(xiàng)的和sn解：2）顯然xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5……)的特征根方程就是x2-px+q=0，而α、β是方程x2-px+q=0的兩個實(shí)數(shù)根，所以可以直接假設(shè)：當(dāng)α=β時，設(shè)，因?yàn)閤1=p,x2=p2-q，所以解得當(dāng)時，設(shè)，因?yàn)閤1=p,x2=p2-q，所以解得，+3），時，，由第2）小題的⑴項(xiàng)可以直接得到，可以用錯位相減法求和順利拿下第3）小題。本題是08年廣東高考真題，開始前兩問均以字母的形式出現(xiàn)，給考生設(shè)置了接題障礙，如果在考前曾經(jīng)學(xué)過特征根法，記住公式，那本題對這同學(xué)來說無疑是幾分種的事情，或?qū)μ卣鞲ㄓ幸欢ǖ牧私?，也許是多花點(diǎn)時間的問題，至少是接題思路和方向明確，絕不會象無頭蒼蠅一樣亂撞。知道特征根法的來龍去脈、公式、以及運(yùn)用也是學(xué)生能力拓展的一種表現(xiàn)。特征根法還能應(yīng)用于下面一種數(shù)列題型的解答：類型二、解法：如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程,當(dāng)特征方程有且僅有一根時,如果則；如果則是等差數(shù)列。當(dāng)特征方程有兩個相異的根、時，則是等比數(shù)列。（證明方法如同類型一，從略）例：已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于且求的通項(xiàng)公式.解:數(shù)列的特征方程為變形得其根為故特征方程有兩個相異的根，則有∴∴即例：已知數(shù)列滿足：對于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當(dāng)取哪些值時，無窮數(shù)列不存在？解：作特征方程變形得特征方程有兩個相同的特征根(1)∵對于都有(2)∵∴令，得.故數(shù)列從第5項(xiàng)開始都不存在，當(dāng)≤4，時，.(3)∵∴∴令則∴對于∴(4)、顯然當(dāng)時，數(shù)列從第2項(xiàng)開始便不存在.由本題的第（1）小題的解答過程知，時，數(shù)列是存在的，當(dāng)時，則有令則得且≥2.∴當(dāng)（其中且N≥2）時，數(shù)列從第項(xiàng)開始便不存在。于是知：當(dāng)在集合或且≥2}上取值時，無窮數(shù)列都不存在。變式:（2005，重慶,文,22,本小題滿分12分）數(shù)列記（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和解：由已知,得,其特征方程為解之得,或,,下面再欣賞用特征根法解決09年江西高考真題各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，，1）當(dāng)解：由得化間得，作特征方程，，。所以從上面的解答不難看出特征根法在某些特殊的數(shù)列遞推題型中有比較輕巧靈活簡便的運(yùn)用，而離開特征根法，這些題目不僅難度較大，運(yùn)算較煩，許多同學(xué)只能是望題興嘆！其實(shí)從網(wǎng)絡(luò)上搜索便知特征根法在許多的數(shù)學(xué)分支領(lǐng)域、科學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。求遞推數(shù)列通項(xiàng)的特征根法-----07、08廣東卷壓軸題深圳東升學(xué)校陳勝華內(nèi)容摘要：針對07、08年廣東高考題絕大部分同學(xué)感覺很難，無從下手！對其思路、方法分析、歸納，以共參考.關(guān)鍵詞：特征方程一、形如是常數(shù)）的數(shù)列形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項(xiàng)，其特征方程為…①若①有二異根，則可令是待定常數(shù)）若①有二重根，則可令是待定常數(shù)）再利用可求得，進(jìn)而求得下面以08廣東卷理科21題來看其應(yīng)用：設(shè)為實(shí)數(shù)，是方程的兩個實(shí)根，數(shù)列滿足，，（…）．（1）證明：，；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若，，求的前項(xiàng)和．解析：（1）由是方程的兩個實(shí)根，則；故，（2）設(shè)，則，由得，消去，得，是方程的根，由題意可知，①當(dāng)時，此時方程組的解記為即、分別是公比為、的等比數(shù)列，由等比數(shù)列性質(zhì)可得,,兩式相減，得，，，，即，②當(dāng)時，由①可知，，即，等式兩邊同時除以，得，即數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，,綜上所述，（3）把，代入，得，解得二、形如的數(shù)列(不動點(diǎn)法)對于數(shù)列，是常數(shù)）其特征方程為，變形為…②若②有二異根，則有，再進(jìn)一步求得.如07廣東卷理科21題：已知函數(shù)，是方程f(x)=0的兩個根，是f(x)的導(dǎo)數(shù)；設(shè)，（n=1,2,……）（1）求的值；（2）證明：對任意的正整數(shù)n，都有；；（3）記（n=1,2,……），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。解析：（1）∵，是方程f(x)=0的兩個根，∴；（2），，其特征根方程為，即由.,∴,則.（3），同理，，又.參考文獻(xiàn)《奧林匹克數(shù)學(xué)中的代數(shù)問題》湖南師范大學(xué)出版社求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的九種方法利用遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式，在理論上和實(shí)踐中均有較高的價值.自從二十世紀(jì)八十年代以來，這一直是全國高考和高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的熱點(diǎn)之一.一、作差求和法mw.w例1在數(shù)列{}中，,，求通項(xiàng)公式.解：原遞推式可化為：則，……，逐項(xiàng)相加得：.故.二、作商求和法例2設(shè)數(shù)列{}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n=1,2,3…），則它的通項(xiàng)公式是=▁▁▁（2000年高考15題）解：原遞推式可化為：=0∵＞0，則……，逐項(xiàng)相乘得：，即=.三、換元法例3已知數(shù)列{}，其中，且當(dāng)n≥3時，，求通項(xiàng)公式（1986年高考文科第八題改編）.解：設(shè)，原遞推式可化為：是一個等比數(shù)列，，公比為.故.故.由逐差法可得：.例4已知數(shù)列{}，其中，且當(dāng)n≥3時，，求通項(xiàng)公式。解由得：，令，則上式為，因此是一個等差數(shù)列，，公差為1.故.。由于又所以，即四、積差相消法例5（1993年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽題一試第五題）設(shè)正數(shù)列，，…，，…滿足=且，求的通項(xiàng)公式.解將遞推式兩邊同除以整理得：設(shè)=，則=1，，故有⑴⑵…………(由⑴+⑵+…+(得=，即=.逐項(xiàng)相乘得：=，考慮到，故.五、取倒數(shù)法例6已知數(shù)列{}中，其中，且當(dāng)n≥2時，，求通項(xiàng)公式。解將兩邊取倒數(shù)得：，這說明是一個等差數(shù)列，首項(xiàng)是，公差為2，所以，即.六、取對數(shù)法例7若數(shù)列{}中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項(xiàng)公式是=▁▁▁（2002年上海高考題）.解由題意知＞0，將兩邊取對數(shù)得，即，所以數(shù)列是以=為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，，即.七、平方（開方）法例8若數(shù)列{}中，=2且（n），求它的通項(xiàng)公式是.解將兩邊平方整理得。數(shù)列{}是以=4為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列。。因?yàn)椋?，所以。八、待定系數(shù)法待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是從策略上規(guī)范一個遞推式可變成為何種等比數(shù)列，可以少走彎路.其變換的基本形式如下：1、（A、B為常數(shù)）型，可化為=A（）的形式.例9若數(shù)列{}中，=1，是數(shù)列{}的前項(xiàng)之和，且（n），求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是.解遞推式可變形為（1）設(shè)（1）式可化為（2）比較（1）式與（2）式的系數(shù)可得，則有。故數(shù)列{}是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列。=。所以。當(dāng)n，。數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是。2、（A、B、C為常數(shù)，下同）型，可化為=）的形式.例10在數(shù)列{}中，求通項(xiàng)公式。解：原遞推式可化為：①比較系數(shù)得=-4，①式即是：.則數(shù)列是一個等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比是2.∴即.3、型，可化為的形式。例11在數(shù)列{}中，，當(dāng)，①求通項(xiàng)公式.解：①式可化為：比較系數(shù)得=-3或=-2，不妨取=-2.①式可化為：則是一個等比數(shù)列，首項(xiàng)=2-2（-1）=4，公比為3.∴.利用上題結(jié)果有：.4、型，可化為的形式。例12在數(shù)列{}中，，=6①求通項(xiàng)公式.解①式可化為：②比較系數(shù)可得：=-6，，②式為是一個等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比為.∴即故.九、猜想法運(yùn)用猜想法解題的一般步驟是：首先利用所給的遞推式求出……，然后猜想出滿足遞推式的一個通項(xiàng)公式，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想是正確的。例13在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，=+，求其通項(xiàng)公式。求遞推數(shù)列通項(xiàng)的特征根法與不動點(diǎn)法一、形如是常數(shù)）的數(shù)列形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項(xiàng)，其特征方程為…①若①有二異根，則可令是待定常數(shù)）若①有二重根，則可令是待定常數(shù)）再利用可求得，進(jìn)而求得．例1．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)．解：其特征方程為，解得，令，由，得，．例2．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)．解：其特征方程為，解得，令，由，得，．二、形如的數(shù)列對于數(shù)列，是常數(shù)且）其特征方程為，變形為…②若②有二異根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值．這樣數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是這樣可求得．若②有二重根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值．這樣數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，于是這樣可求得．此方法又稱不動點(diǎn)法．例3．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)．解：其特征方程為，化簡得，解得，令由得，可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，，．例4．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)．解：其特征方程為，即，解得，令由得，求得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，，．求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的九種方法利用遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式，在理論上和實(shí)踐中均有較高的價值.自從二十世紀(jì)八十年代以來，這一直是全國高考和高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的熱點(diǎn)之一.一、作差求和法mw.w例1在數(shù)列{}中，,，求通項(xiàng)公式.解：原遞推式可化為：則，……，逐項(xiàng)相加得：.故.二、作商求和法例2設(shè)數(shù)列{}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n=1,2,3…），則它的通項(xiàng)公式是=▁▁▁（2000年高考15題）解：原遞推式可化為：=0∵＞0，則……，逐項(xiàng)相乘得：，即=.三、換元法例3已知數(shù)列{}，其中，且當(dāng)n≥3時，，求通項(xiàng)公式（1986年高考文科第八題改編）.解：設(shè)，原遞推式可化為：是一個等比數(shù)列，，公比為.故.故.由逐差法可得：.例4已知數(shù)列{}，其中，且當(dāng)n≥3時，，求通項(xiàng)公式。解由得：，令，則上式為，因此是一個等差數(shù)列，，公差為1.故.。由于又所以，即四、積差相消法例5（1993年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽題一試第五題）設(shè)正數(shù)列，，…，，…滿足=且，求的通項(xiàng)公式.解將遞推式兩邊同除以整理得：設(shè)=，則=1，，故有⑴⑵…………(由⑴+⑵+…+(得=，即=.逐項(xiàng)相乘得：=，考慮到，故.五、取倒數(shù)法例6已知數(shù)列{}中，其中，且當(dāng)n≥2時，，求通項(xiàng)公式。解將兩邊取倒數(shù)得：，這說明是一個等差數(shù)列，首項(xiàng)是，公差為2，所以，即.六、取對數(shù)法例7若數(shù)列{}中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項(xiàng)公式是=▁▁▁（2002年上海高考題）.解由題意知＞0，將兩邊取對數(shù)得，即，所以數(shù)列是以=為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，，即.七、平方（開方）法例8若數(shù)列{}中，=2且（n），求它的通項(xiàng)公式是.解將兩邊平方整理得。數(shù)列{}是以=4為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列。。因?yàn)椋?，所以。八、待定系數(shù)法待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是從策略上規(guī)范一個遞推式可變成為何種等比數(shù)列，可以少走彎路.其變換的基本形式如下：1、（A、B為常數(shù)）型，可化為=A（）的形式.例9若數(shù)列{}中，=1，是數(shù)列{}的前項(xiàng)之和，且（n），求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是.解遞推式可變形為（1）設(shè)（1）式可化為（2）比較（1）式與（2）式的系數(shù)可得，則有。故數(shù)列{}是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列。=。所以。當(dāng)n，。數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是。2、（A、B、C為常數(shù)，下同）型，可化為=）的形式.例10在數(shù)列{}中，求通項(xiàng)公式。解：原遞推式可化為：①比較系數(shù)得=-4，①式即是：.則數(shù)列是一個等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比是2.∴即.3、型，可化為的形式。例11在數(shù)列{}中，，當(dāng)，①求