江西省宜春市高安灰埠中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

江西省宜春市高安灰埠中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知直線x﹣9y﹣8=0與曲線C：y=x3﹣px2+3x相交于A，B，且曲線C在A，B處的切線平行，則實(shí)數(shù)p的值為（）A．4 B．4或﹣3 C．﹣3或﹣1 D．﹣3參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，得到函數(shù)在A，B點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，由A，B點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相等得到3x12﹣2px1+3=3x22﹣2px2+3=m，把x1，x2看作方程3x2﹣2px+3﹣m=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)關(guān)系得到x1+x2=p，進(jìn)一步得到AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后再證明AB的中點(diǎn)在曲線C上，最后由AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等求得實(shí)數(shù)p的值，注意檢驗(yàn)．【解答】解：由y=x3﹣px2+3x，得y′=3x2﹣2px+3，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則曲線C在A，B處的切線的斜率分別為3x12﹣2px1+3，3x22﹣2px2+3，∵曲線C在A，B處的切線平行，∴3x12﹣2px1+3=3x22﹣2px2+3，令3x12﹣2px1+3=3x22﹣2px2+3=m，∴x1，x2是方程3x2﹣2px+3﹣m=0的兩個(gè)根，則x1+x2=p，下面證線段AB的中點(diǎn)在曲線C上，∵===p﹣p3，而（）3﹣p（）2+3?=p3﹣p3+p=p﹣p3，∴線段AB的中點(diǎn)在曲線C上，由x1+x2=p，知線段的中點(diǎn)為（p，（p﹣8）），∴﹣+p=p﹣p3，解得p=﹣1，﹣3或4．當(dāng)p=﹣1時(shí)，y=x3+x2+3x的導(dǎo)數(shù)為y′=3x2+2x+3＞0恒成立，即函數(shù)為遞增函數(shù)，直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，舍去；p=﹣3，或4時(shí)，y=x3﹣px2+3x不單調(diào)，成立．故選：B．2.方程的根存在的大致區(qū)間是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B試題分析：由于函數(shù)（x＞0）在其定義域（0，+∞）上是增函數(shù)，f（1）=ln2-2＜0，f（2）=ln3-1＞0，∴f（1）?f（2）＜0，故函數(shù)（x＞0）的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是，故選B．考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.3.已知向量與的夾角為120°，則 (

) A．5

B．4

C.3

D．1參考答案：B4.下列函數(shù)中與為同一函數(shù)的是（

）

A、

B、

C、

D、參考答案：B略5.設(shè)集合A={x∈Z||x|≤2}，，則A∩B=（）A．{1，2} B．{﹣1，﹣2} C．{﹣2，﹣1，2} D．{﹣2，﹣1，0，2}參考答案：C【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【分析】分別求出根據(jù)A、B的范圍，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x≥或x＜0}，故A∩B={﹣2，﹣1，2}，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的交集的運(yùn)算，考查不等式問題，是一道基礎(chǔ)題．6.已知,則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A考點(diǎn)：同角三角函數(shù)的關(guān)系及運(yùn)用.7.函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，要得到函數(shù)的圖像只需將的圖像（

）A.向左平移

B.向右平移 C.向左平移

D.向右平移參考答案：A略8.在平行四邊形中，為一條對(duì)角線，則（

）A.（2，4） B.（3，5） C. D.（—2，—4）參考答案：C略9.某程序框圖如右圖所示，則程序運(yùn)行后輸出的值為（

）A．

B．C．

D．

參考答案：D略10.過雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B，C．若，則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】求出直線l和兩個(gè)漸近線的交點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)，求得a和b的關(guān)系，根據(jù)c2﹣a2=b2，求得a和c的關(guān)系，則離心率可得．【解答】解：直線l：y=x+a與漸近線l1：bx﹣ay=0交于B（，），l與漸近線l2：bx+ay=0交于C（﹣，﹣），∵A（a，0），，∴（﹣a，）=（﹣﹣，﹣﹣），∴﹣a=（﹣﹣）∴b=2a，∴c2﹣a2=4a2，∴e2==5，∴e=，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．要求學(xué)生有較高地轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用能力，能將已知條件轉(zhuǎn)化到基本知識(shí)的運(yùn)用．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則____參考答案：1112.在△ABC中，已知，則角A的值為

參考答案：13.已知平面向量滿足，則的最小值是________參考答案：14.已知函數(shù)若成立，則___________。參考答案：或略15.設(shè)是定義在上周期為4的奇函數(shù)，若在區(qū)間，，則--------________參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的周期性．B4【答案解析】．

解析：設(shè)0＜x≤2，則﹣2≤﹣x＜0，f（﹣x）=﹣ax+b，f（x）是定義在R上周期為4的奇函數(shù)，所以f（﹣x）=﹣f（x）=﹣ax+1=﹣ax+b，∴b=1，而f（﹣2）=f（2），∴﹣2a+1=2a﹣1，即a=，所以f（2015）=f（﹣1）=．

故答案為：．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)奇偶性求出b，然后根據(jù)周期性可求出a的值，從而可求出f（2015）的值．16.設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，則********

．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．B4

【答案解析】﹣1

解析：∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴f（x）+f（﹣x）=0，∴f（1）+f（﹣1）=0，即2（1+a）+0=0，∴a=﹣1．故應(yīng)填﹣1．【思路點(diǎn)撥】一般由奇函數(shù)的定義應(yīng)得出f（x）+f（﹣x）=0，但對(duì)于本題來說，用此方程求參數(shù)的值運(yùn)算較繁，因?yàn)閒（x）+f（﹣x）=0是一個(gè)恒成立的關(guān)系故可以代入特值得到關(guān)于參數(shù)的方程求a的值．17.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=logn（n+1）（n≥2，n∈N*）．定義：使乘積a1?a2…ak為正整數(shù)的k（k∈N*）叫做“易整數(shù)”．則在[1，2015]內(nèi)所有“易整數(shù)”的和為．參考答案：2036【考點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由題意，及對(duì)數(shù)的換底公式知，a1?a2?a3…ak=log2（k+1），結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵an=logn（n+1），∴由a1?a2…ak為整數(shù)得1?log23?log34…logk（k+1）=log2（k+1）為整數(shù)，設(shè)log2（k+1）=m，則k+1=2m，∴k=2m﹣1；∵211=2048＞2015，∴區(qū)間[1，2015]內(nèi)所有“易整數(shù)”為：21﹣1，22﹣1，23﹣1，24﹣1，…，210﹣1，其和M=21﹣1+22﹣1+23﹣1+24﹣1+…+210﹣1=﹣10=211﹣2﹣10=2036．故答案為：2036．【點(diǎn)評(píng)】本題以新定義“易整數(shù)”為切入點(diǎn)，主要考查了對(duì)數(shù)的換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C的左，右焦點(diǎn)分別為，且該橢圓過點(diǎn)。（I）求橢圓C的方程；（II）已知定點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與曲線C交于兩點(diǎn)，求面積的最大值。參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】橢圓，直線與圓錐曲線位置關(guān)系H5H8（I）；（II）（I）由已知可設(shè)橢圓方程為，則有，解得，所以所求的橢圓方程為；（II）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，;②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線l:y=kx與橢圓交于，將y=kx代入橢圓方程得，點(diǎn)A到直線l的距離，所以，所以當(dāng)時(shí)面積最大為，綜上可知所求面積的最大值為【思路點(diǎn)撥】求橢圓方程可結(jié)合條件利用待定系數(shù)法解答；一般遇到直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題，通常聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理尋求系數(shù)關(guān)系進(jìn)行解答.19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求證：EF⊥平面PDC．參考答案：【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【專題】證明題．【分析】對(duì)于（Ⅰ），要證EF∥平面PAD，只需證明EF平行于平面PAD內(nèi)的一條直線即可，而E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)，所以連接AC，EF為中位線，從而得證；對(duì)于（Ⅱ）要證明EF⊥平面PDC，由第一問的結(jié)論，EF∥PA，只需證PA⊥平面PDC即可，已知PA=PD=AD，可得PA⊥PD，只需再證明PA⊥CD，而這需要再證明CD⊥平面PAD，由于ABCD是正方形，面PAD⊥底面ABCD，由面面垂直的性質(zhì)可以證明，從而得證．【解答】證明：（Ⅰ）連接AC，則F是AC的中點(diǎn)，在△CPA中，EF∥PA（3分）且PA?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD（6分）（Ⅱ）因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA（9分）又PA=PD=AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=，即PA⊥PD（12分）而CD∩PD=D，∴PA⊥平面PDC，又EF∥PA，所以EF⊥平面PDC（14分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定及線面垂直的判定，而其中的轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用值得注意，將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行；證明線面垂直，轉(zhuǎn)化為線線垂直，在證明線線垂直時(shí)，往往還要通過線面垂直來進(jìn)行．20.已知等差數(shù)列滿足：，，的前n項(xiàng)和為．

（1）求及；

（2）令bn=()，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．參考答案：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，，所以有，解得，所以?=。（2）由（Ⅰ）知，所以bn===，所以==，即數(shù)列的前n項(xiàng)和=.略21.（本小題滿分13分）某單位從一所學(xué)校招收某類特殊人才．對(duì)位已經(jīng)選拔入圍的學(xué)生進(jìn)行運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力和邏輯思維能力的測試，其測試結(jié)果如下表：

一般良好優(yōu)秀一般良好優(yōu)秀例如表中運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力良好且邏輯思維能力一般的學(xué)生是人．由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這位參加測試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率為．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）從運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力為優(yōu)秀的學(xué)生中任意抽取位，求其中至少有一位邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率．參考答案：（I）由題意可知，邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生共有人．設(shè)事件：從位學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生，則．解得．所以．

……………………5分（Ⅱ）由題意可知，運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力為優(yōu)秀的學(xué)生共有位，分別記為．其中和為運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力和邏輯思維能力都優(yōu)秀的學(xué)生.從中任意抽取位，可表示為,,,，共種可能．設(shè)事件：從運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力為