北京市西城區(qū)2021下學期高二年級期末考試數(shù)學試卷

北京市西城區(qū)2021學年下學期高二年級期末考試數(shù)學試卷本試卷共150分，考試時長120分鐘。第一部分(選擇題共40分)、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1在復平面內，復數(shù)1的共鈍復數(shù)所對應的點位于A第一象吟 B第二象限 C第三象限 D第四象限2函數(shù)y=jx在x=1處的瞬時變化率為TOC\o"1-5"\h\z1A2 B— C-- D12(1+X)4的展開式中x2的系數(shù)是A8 B7 C6 D44曲線y=2在點Q(1,2)處的切線方程為xA2x+y-4=0 B2x+y+4=0Cx-y+1=0 Dx+y-1=06一兀 f6一兀 f(x) g(x) f'(x)g'(x)y=g(x)-f(x)f(x)f(x)ceDa,bwDf(a)-f(b)=f'(c)f(x)「「

a-b5某批數(shù)量很大的產品的次品率為p3p3(1-p)C3P3(1-p)C3P3E(X)=6.3 4 4~f(x)f(x)=x2f(x)=x3f(x)=exf(x)=lnxz=7IzI(x2+—)5f(x)f(x)pson)于1951年提出的，辛普森悖論的內容大意是“在某個條件下的兩組數(shù)據，分別討論時都會滿足某種性質，可是一旦合并考慮，卻可能導致相反的結論?！毕旅孢@個案例可以讓我們感受到這個悖論：關于某高校法學院和商學院新學期已完成的招生情況，現(xiàn)有如下數(shù)據某高校申請人數(shù)性別錄取率法學院200人男50%女70%商學院300人男60%女90%對于此次招生給出下列四個結論：①法學院的錄取率小于商學院的錄取率；②這兩個學院所有男生的錄取率小于這兩個學院所有女生的錄取率;

③這兩個學院所有男生的錄取率不一定小于這兩個學院所有女生的錄取率；④法學院的錄取率不一定小于這兩個學院所有學生的錄取率。其中，所有正確結論的序號是 三、解答題：共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。17(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(X)=X3-3x。(I)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；(II)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［-1,3］上的最大值和最小值。18(本小題滿分13分)某射手打靶命中8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率分別為、、，如果他連續(xù)打靶三次，且每次打靶的命中結果互不影響。(I)求該射手命中29環(huán)的概率；(II)求該射手命中不少于28環(huán)的概率。19(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)=x-alnx(a豐0)。(I)當a=1時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；(I)求函數(shù)f(x)的極值點和極值。20(本小題滿分14分)高中必修課程結束之后，學生需要從物理、化學、生物、歷史、地理、政治六科中選擇三科，繼續(xù)學習選擇性必修課程，某地記者為了了解本地區(qū)高一學生的選擇意向，隨機采訪了100名學生作為樣本進行情況調研，得到下表：組另T/.工、【口選考科目頻數(shù)第1組歷史、地理、政治20第2組物理、化學、生物17第3組生物、歷史、地理14第4組化學、生物、地理12第5組物理、化學、地理10第6組物理、生物、地理9第7組化學、歷史、地理7第8組物理、歷史、地理5第8組化學、生物、政治4第10組生物、地理、政治2合計：100(I)從樣本中隨機選1名學生，求該學生選擇了化學的概率；(I)從第8組、第9組、第10組中，隨機選2名學生，記其中選擇政治的人數(shù)為X,求X的分布列和期望；(III)如果這個地區(qū)一名高一學生選擇了地理，則在其它五科中，他同時選擇哪一科的可能性最大并說明理由。21(本小題滿分13分)已知函數(shù)f已知函數(shù)f(x)=ex--x-1(I)若a=0,證明：f(x)>0；(I)若曲線y=f(x)的切線斜率不存在最小值，求a的取值范圍。22(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax-a。(I)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;(II)求證：當a>1時，函數(shù)g(x)=e-i—f(x)存在最小值，且最小值小于1?！驹囶}答案】一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。1D2B3C 4A 5C6C 7B 8D9B10B二、填空題：共6小題，每小題5分，共30分。112<2 1240 1345 141 15f(x)=x3+1(答案不唯一)16②④注：第16小題只選對一個正確命題得2分，錯選不得分。三、解答題：共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。17(本小題滿分13分)解：(I)因為f(x)=x3-3X，所以f'(x)=3x2—3。 3分令f'(x)=0，解得x=-1,x=1o12隨著的變化，f'(x),f(x)變化情況如下表：(-8,-1)一1(一1,1)1(1,+8)f'(x)十00十f(x)/極大值\極小值/8分所以，函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(-8,-1)和(1,+8)，單調遞減區(qū)間為(-1,1)o9分(II)因為函數(shù)f(x)在區(qū)間［-1,1］上單調遞減，在區(qū)間［1,3］上單調遞增，TOC\o"1-5"\h\z又f(-1)=2,f(1)=-2,f(3)=18, 11分所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間［-1,3］上的最大值為18,最小值為一2o 13分18(本小題滿分13分)解：(I)設A="連續(xù)射擊3次，中29環(huán)”，則P(A)=C2-0.25-(0.2)2 4分3所以該射手命中29環(huán)的概率為。 5分(II)設B="連續(xù)射擊3次，命中不少于28環(huán)”，依題意，命中30環(huán)的概率為(0.2)3=0.008； 7分命中28環(huán)的概率為C2.0.15.(0.2)2+C2.(0.25)2?0.2 11分33=0.018+0.0375=0.0555； 12分由(1)知,命中29環(huán)的概率為；所以p(B)=0.008+0.0555+0.03=0.0935, 13分所以該射手連續(xù)射擊3次，命中不少于28環(huán)的概率為。19(本小題滿分13分)1x-1解：(I)當a=1時，f(x)=x-lnx，所以f(x)=1-= , 3分xx所以f'(1)=0，又因為f⑴=1,所以曲線>=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=1o5分(11)由已知，f'(x)=1--=x_a,xe(0,+8),xx①當a<0時，f(x)>0,函數(shù)f(x)在定義域內是增函數(shù)，不存在極值。 7分②當a>0時，令f(x)=0，解得x=a,隨著的變化，f'(x),f(x)變化情況如下表：(0,a)a(a,+8)

f'(x)0十f(x)\極小值/9分TOC\o"1-5"\h\z所以，函數(shù)f(X)在區(qū)間(0,a)上單調遞減，在區(qū)間(a,+8)上單調遞增， 10分所以，函數(shù)f(x)的極小值點為x=a，極小值為f(a)=a-alna, 12分函數(shù)f(x)不存在極大值。 13分綜上，當a<0時，函數(shù)f(x)沒有極值；當a>0時，f(x)有極小值a—alna，極小值點為x=a，無極大值。20(本小題滿分14分)解：(I)設A=”從樣本中隨機選1人，該學生選擇了化學”，17+1217+12+10+7+4100501004分4分所以，從樣本中隨機選1人，該學生選擇了化學的概率為了(II)第8、9、10組共有11人，其中選擇政治的有6人。所以X的所有可能取值為0,1,2。 5分C2 26分P(X=0)=C=IT11C1C1 6P(X—1)——5~6-―■,C2 1111C2 37分P(x=2)=C二n。11所以X的分布列為8分X012P(X)121111319分TOC\o"1-5"\h\z2 6 3 12故X的期望E(X)—0x—+1義 +2x—— 。 11分11 11 1111(III)選擇地理的總人數(shù)為：20+14+12+10+9+7+5+2—79。所以P(“同時選擇生物”)_14所以P(“同時選擇生物”)_14+12+9+2—377979P(“同時選擇化學”)PP(“同時選擇化學”)P(“同時選擇政治")P(“同時選擇物理”)P(“同時選擇歷史”)12+10+7_22—79 79；20+2_2279―79；10+9+5_2479 79；20+14+7+5_4679 7913分46因為—46因為—最大，所以一個學生選擇了地理同時選擇歷史的可能性最大。14分21(本小題滿分13分)解：(I)當a=0時，f(x)—以一x一1,所以f(x)―ex—1, 1分解f(x)>0，得x>0；解f'(x)<0，得x<0,所以f(x)在區(qū)間(-叫。)上單調遞減，在區(qū)間(0,+8)上單調遞增， 3分所以f(x)的最小值為f(0)=0，5分所以f(x)>05分a(II)因為f(x)=e--x2-x一1,所以f(x)=ex-ax-1,設g(x)=ex-ax-1,則曲線y=f(x)的切線斜率不存在最小值等價于g(x)不存在最小值。7分g'(x)=ex-a。①當a<0時，g'(x)>0恒成立，所以g(x)在區(qū)間(-8,+8)上單調遞增，不存在最小值，TOC\o"1-5"\h\z所以a<0符合題意。 9分②當a>0時，解g'(x)>0,得x>lna；解g'(x)<0,得x<Ina,所以g(x)在區(qū)間(-8,lna)上單調遞減，在區(qū)間(lna,+8)上單調遞增， 10分所以g(x)在x=lna處取得最小值，所以a>0不符合題意。 12分綜上，a的取值范圍為｛aIa<0｝。 13分22(本小題滿分14分)1ax+1解：(I)函數(shù)f(x)定乂域為｛xIx>0｝,f(x)=+a= 。xx①當a>0時，f'(x)>0恒成立，函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,+8)。 2分②當a<0時，11解f(x)>0,得0<x<-—；解f(x)<0,得x>-,aa11所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,-)，單調遞減區(qū)間為(-,+8)。 4分aa1綜上，當a>0時，f(x)單調遞增區(qū)間為(0,+8)；當a<0時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,--)，單調遞a1減區(qū)間為(-,+8)。a(II)證法1：由已知g(x)=ex-1-lnx-ax+a,x>0。因為g(1)=1,所以只需證明g(x)存在最小值，但x=1不是最小值點，即g(x)<g(1)=1。6分minex 1因為g(x)=--lnx-ax+a，所以g(x)=ex-1---a,ex1因為函數(shù)y=ex-1,y=-一在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù)，xTOC\o"1-5"\h\z所以g'(x)在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù)， 8分因為a>1，所以g'(1)=-a<0,11g'(1+ln(a+1))=a+1 a=1 >0,1+ln(a+1) 1+ln(a+1)所以方程g'(x)=0在區(qū)間(0,+8)上存在唯一解， 10分不妨設為x，則x>1,00隨著的變化，g'(x),g(x)變化情況如下表:(0,x0)x(x0,+8)g'(x)0十g(x)\極小值/

所以g(x)有最小值，最小值為g(x0)<g⑴=1, 13分所以函數(shù)g(x)-ex-1-f(x)存在最小值，且最小值小于1。 14分ex證法2：由已知g(x)-ex-1-lnx-ax+a---Inx-ax+a,x>0,ex1因為y-ex-1,y---在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù),x6分所以g'(x)在(0,+8)6分因為a>1,所以gr(1)=-a<0,gr(1+ln(a+1))=a+1一1+ln(a+1)-a>0，所以方程g'(x)-0存在唯一解，8分不妨設為x，則x>1，00隨著的變化，g'(x),g(x)變化情況如下表:(0,x0)x(x0,+8)g'(x)0十g(x)\極小值/所以g(x)min-g(x0)-ex0-1—lnx—ax