北京市西城區(qū)2021下學(xué)期高二年級期末考試數(shù)學(xué)試卷

北京市西城區(qū)2021學(xué)年下學(xué)期高二年級期末考試數(shù)學(xué)試卷本試卷共150分，考試時(shí)長120分鐘。第一部分(選擇題共40分)、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1的共鈍復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)位于A第一象吟 B第二象限 C第三象限 D第四象限2函數(shù)y=jx在x=1處的瞬時(shí)變化率為TOC\o"1-5"\h\z1A2 B— C-- D12(1+X)4的展開式中x2的系數(shù)是A8 B7 C6 D44曲線y=2在點(diǎn)Q(1,2)處的切線方程為xA2x+y-4=0 B2x+y+4=0Cx-y+1=0 Dx+y-1=06一兀 f6一兀 f(x) g(x) f'(x)g'(x)y=g(x)-f(x)f(x)f(x)ceDa,bwDf(a)-f(b)=f'(c)f(x)「「

a-b5某批數(shù)量很大的產(chǎn)品的次品率為p3p3(1-p)C3P3(1-p)C3P3E(X)=6.3 4 4~f(x)f(x)=x2f(x)=x3f(x)=exf(x)=lnxz=7IzI(x2+—)5f(x)f(x)pson)于1951年提出的，辛普森悖論的內(nèi)容大意是“在某個(gè)條件下的兩組數(shù)據(jù)，分別討論時(shí)都會(huì)滿足某種性質(zhì)，可是一旦合并考慮，卻可能導(dǎo)致相反的結(jié)論?！毕旅孢@個(gè)案例可以讓我們感受到這個(gè)悖論：關(guān)于某高校法學(xué)院和商學(xué)院新學(xué)期已完成的招生情況，現(xiàn)有如下數(shù)據(jù)某高校申請人數(shù)性別錄取率法學(xué)院200人男50%女70%商學(xué)院300人男60%女90%對于此次招生給出下列四個(gè)結(jié)論：①法學(xué)院的錄取率小于商學(xué)院的錄取率；②這兩個(gè)學(xué)院所有男生的錄取率小于這兩個(gè)學(xué)院所有女生的錄取率;

③這兩個(gè)學(xué)院所有男生的錄取率不一定小于這兩個(gè)學(xué)院所有女生的錄取率；④法學(xué)院的錄取率不一定小于這兩個(gè)學(xué)院所有學(xué)生的錄取率。其中，所有正確結(jié)論的序號是 三、解答題：共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。17(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(X)=X3-3x。(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(II)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［-1,3］上的最大值和最小值。18(本小題滿分13分)某射手打靶命中8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率分別為、、，如果他連續(xù)打靶三次，且每次打靶的命中結(jié)果互不影響。(I)求該射手命中29環(huán)的概率；(II)求該射手命中不少于28環(huán)的概率。19(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)=x-alnx(a豐0)。(I)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；(I)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)和極值。20(本小題滿分14分)高中必修課程結(jié)束之后，學(xué)生需要從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理、政治六科中選擇三科，繼續(xù)學(xué)習(xí)選擇性必修課程，某地記者為了了解本地區(qū)高一學(xué)生的選擇意向，隨機(jī)采訪了100名學(xué)生作為樣本進(jìn)行情況調(diào)研，得到下表：組另T/.工、【口選考科目頻數(shù)第1組歷史、地理、政治20第2組物理、化學(xué)、生物17第3組生物、歷史、地理14第4組化學(xué)、生物、地理12第5組物理、化學(xué)、地理10第6組物理、生物、地理9第7組化學(xué)、歷史、地理7第8組物理、歷史、地理5第8組化學(xué)、生物、政治4第10組生物、地理、政治2合計(jì)：100(I)從樣本中隨機(jī)選1名學(xué)生，求該學(xué)生選擇了化學(xué)的概率；(I)從第8組、第9組、第10組中，隨機(jī)選2名學(xué)生，記其中選擇政治的人數(shù)為X,求X的分布列和期望；(III)如果這個(gè)地區(qū)一名高一學(xué)生選擇了地理，則在其它五科中，他同時(shí)選擇哪一科的可能性最大并說明理由。21(本小題滿分13分)已知函數(shù)f已知函數(shù)f(x)=ex--x-1(I)若a=0,證明：f(x)>0；(I)若曲線y=f(x)的切線斜率不存在最小值，求a的取值范圍。22(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax-a。(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(II)求證：當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)g(x)=e-i—f(x)存在最小值，且最小值小于1。【試題答案】一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。1D2B3C 4A 5C6C 7B 8D9B10B二、填空題：共6小題，每小題5分，共30分。112<2 1240 1345 141 15f(x)=x3+1(答案不唯一)16②④注：第16小題只選對一個(gè)正確命題得2分，錯(cuò)選不得分。三、解答題：共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。17(本小題滿分13分)解：(I)因?yàn)閒(x)=x3-3X，所以f'(x)=3x2—3。 3分令f'(x)=0，解得x=-1,x=1o12隨著的變化，f'(x),f(x)變化情況如下表：(-8,-1)一1(一1,1)1(1,+8)f'(x)十00十f(x)/極大值\極小值/8分所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-1)和(1,+8)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1)o9分(II)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間［-1,1］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［1,3］上單調(diào)遞增，TOC\o"1-5"\h\z又f(-1)=2,f(1)=-2,f(3)=18, 11分所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間［-1,3］上的最大值為18,最小值為一2o 13分18(本小題滿分13分)解：(I)設(shè)A="連續(xù)射擊3次，中29環(huán)”，則P(A)=C2-0.25-(0.2)2 4分3所以該射手命中29環(huán)的概率為。 5分(II)設(shè)B="連續(xù)射擊3次，命中不少于28環(huán)”，依題意，命中30環(huán)的概率為(0.2)3=0.008； 7分命中28環(huán)的概率為C2.0.15.(0.2)2+C2.(0.25)2?0.2 11分33=0.018+0.0375=0.0555； 12分由(1)知,命中29環(huán)的概率為；所以p(B)=0.008+0.0555+0.03=0.0935, 13分所以該射手連續(xù)射擊3次，命中不少于28環(huán)的概率為。19(本小題滿分13分)1x-1解：(I)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x-lnx，所以f(x)=1-= , 3分xx所以f'(1)=0，又因?yàn)閒⑴=1,所以曲線>=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=1o5分(11)由已知，f'(x)=1--=x_a,xe(0,+8),xx①當(dāng)a<0時(shí)，f(x)>0,函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，不存在極值。 7分②當(dāng)a>0時(shí)，令f(x)=0，解得x=a,隨著的變化，f'(x),f(x)變化情況如下表：(0,a)a(a,+8)

f'(x)0十f(x)\極小值/9分TOC\o"1-5"\h\z所以，函數(shù)f(X)在區(qū)間(0,a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(a,+8)上單調(diào)遞增， 10分所以，函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)為x=a，極小值為f(a)=a-alna, 12分函數(shù)f(x)不存在極大值。 13分綜上，當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)沒有極值；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)有極小值a—alna，極小值點(diǎn)為x=a，無極大值。20(本小題滿分14分)解：(I)設(shè)A=”從樣本中隨機(jī)選1人，該學(xué)生選擇了化學(xué)”，17+1217+12+10+7+4100501004分4分所以，從樣本中隨機(jī)選1人，該學(xué)生選擇了化學(xué)的概率為了(II)第8、9、10組共有11人，其中選擇政治的有6人。所以X的所有可能取值為0,1,2。 5分C2 26分P(X=0)=C=IT11C1C1 6P(X—1)——5~6-―■,C2 1111C2 37分P(x=2)=C二n。11所以X的分布列為8分X012P(X)121111319分TOC\o"1-5"\h\z2 6 3 12故X的期望E(X)—0x—+1義 +2x—— 。 11分11 11 1111(III)選擇地理的總?cè)藬?shù)為：20+14+12+10+9+7+5+2—79。所以P(“同時(shí)選擇生物”)_14所以P(“同時(shí)選擇生物”)_14+12+9+2—377979P(“同時(shí)選擇化學(xué)”)PP(“同時(shí)選擇化學(xué)”)P(“同時(shí)選擇政治")P(“同時(shí)選擇物理”)P(“同時(shí)選擇歷史”)12+10+7_22—79 79；20+2_2279―79；10+9+5_2479 79；20+14+7+5_4679 7913分46因?yàn)椤?6因?yàn)椤畲?，所以一個(gè)學(xué)生選擇了地理同時(shí)選擇歷史的可能性最大。14分21(本小題滿分13分)解：(I)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)—以一x一1,所以f(x)―ex—1, 1分解f(x)>0，得x>0；解f'(x)<0，得x<0,所以f(x)在區(qū)間(-叫。)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增， 3分所以f(x)的最小值為f(0)=0，5分所以f(x)>05分a(II)因?yàn)閒(x)=e--x2-x一1,所以f(x)=ex-ax-1,設(shè)g(x)=ex-ax-1,則曲線y=f(x)的切線斜率不存在最小值等價(jià)于g(x)不存在最小值。7分g'(x)=ex-a。①當(dāng)a<0時(shí)，g'(x)>0恒成立，所以g(x)在區(qū)間(-8,+8)上單調(diào)遞增，不存在最小值，TOC\o"1-5"\h\z所以a<0符合題意。 9分②當(dāng)a>0時(shí)，解g'(x)>0,得x>lna；解g'(x)<0,得x<Ina,所以g(x)在區(qū)間(-8,lna)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(lna,+8)上單調(diào)遞增， 10分所以g(x)在x=lna處取得最小值，所以a>0不符合題意。 12分綜上，a的取值范圍為｛aIa<0｝。 13分22(本小題滿分14分)1ax+1解：(I)函數(shù)f(x)定乂域?yàn)椋鹸Ix>0｝,f(x)=+a= 。xx①當(dāng)a>0時(shí)，f'(x)>0恒成立，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8)。 2分②當(dāng)a<0時(shí)，11解f(x)>0,得0<x<-—；解f(x)<0,得x>-,aa11所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,-)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-,+8)。 4分aa1綜上，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8)；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,--)，單調(diào)遞a1減區(qū)間為(-,+8)。a(II)證法1：由已知g(x)=ex-1-lnx-ax+a,x>0。因?yàn)間(1)=1,所以只需證明g(x)存在最小值，但x=1不是最小值點(diǎn)，即g(x)<g(1)=1。6分minex 1因?yàn)間(x)=--lnx-ax+a，所以g(x)=ex-1---a,ex1因?yàn)楹瘮?shù)y=ex-1,y=-一在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù)，xTOC\o"1-5"\h\z所以g'(x)在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù)， 8分因?yàn)閍>1，所以g'(1)=-a<0,11g'(1+ln(a+1))=a+1 a=1 >0,1+ln(a+1) 1+ln(a+1)所以方程g'(x)=0在區(qū)間(0,+8)上存在唯一解， 10分不妨設(shè)為x，則x>1,00隨著的變化，g'(x),g(x)變化情況如下表:(0,x0)x(x0,+8)g'(x)0十g(x)\極小值/

所以g(x)有最小值，最小值為g(x0)<g⑴=1, 13分所以函數(shù)g(x)-ex-1-f(x)存在最小值，且最小值小于1。 14分ex證法2：由已知g(x)-ex-1-lnx-ax+a---Inx-ax+a,x>0,ex1因?yàn)閥-ex-1,y---在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù),x6分所以g'(x)在(0,+8)6分因?yàn)閍>1,所以gr(1)=-a<0,gr(1+ln(a+1))=a+1一1+ln(a+1)-a>0，所以方程g'(x)-0存在唯一解，8分不妨設(shè)為x，則x>1，00隨著的變化，g'(x),g(x)變化情況如下表:(0,x0)x(x0,+8)g'(x)0十g(x)\極小值/所以g(x)min-g(x0)-ex0-1—lnx—ax