2023年四川省綿陽(yáng)市涪城區(qū)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高考數(shù)學(xué)三診試卷（理科）-

2023年四川省綿陽(yáng)市涪城區(qū)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高考數(shù)學(xué)三診試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．1．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝1﹣i，則＝（）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解．【解答】解：∵z＝1﹣i，∴＝3﹣3i，∴＝．故選：D．2．（5分）設(shè)集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，則A∪B＝（）A．（﹣2，3） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（2，3）【答案】A【分析】求出集合A，B，利用并集定義能求出A∪B．【解答】解：集合A＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|0＜x＜3}，則A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}．故選：A．3．（5分）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a2+a3+a4＝42，則S5＝（）A．32 B．30 C．60 D．70【答案】D【分析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得a2+a3+a4＝3a3＝42，求出a3，再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式得到S5＝5a3，由此能求出結(jié)果．【解答】解：因?yàn)閍2+a4＝2a3，所以a2+a3+a4＝3a3＝42，a3＝14，即S5＝＝5a3＝70．故選：D．4．（5分）已知，設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，f（t）取得最小值，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)二次函數(shù)取最小值，確定值，再用向量投影定義求解．【解答】解：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，f2（t）＝||2＝，當(dāng)t＝＝，即＝﹣時(shí)，f2（t）取得最小值，于是f（t）取得最小值，所以在方向上的投影為＝＝﹣，故選：D．5．（5分）算盤(pán)是中國(guó)傳統(tǒng)的計(jì)算工具，是中國(guó)人在長(zhǎng)期使用算籌的基礎(chǔ)上發(fā)明的，是中國(guó)古代一項(xiàng)偉大的、重要的發(fā)明，在阿拉伯?dāng)?shù)字出現(xiàn)前是全世界廣為使用的計(jì)算工具．“珠算”一詞最早見(jiàn)于東漢徐岳所撰的《數(shù)術(shù)記遺》，其中有云：“珠算控帶四時(shí)，經(jīng)緯三才．”北周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上、下兩部分是停游珠用的，中間一部分是作定位用的．如圖是一把算盤(pán)的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個(gè)位、十位、百位、…，上面一粒珠（簡(jiǎn)稱(chēng)上珠）代表5，下面一粒珠（簡(jiǎn)稱(chēng)下珠）代表1，即五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小．現(xiàn)在從個(gè)位、十位和百位這三組中隨機(jī)選擇往下?lián)?粒上珠，且往上撥2粒下珠，則算盤(pán)表示的數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．9 B．18 C．27 D．36【答案】B【分析】利用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理求解即可．【解答】解：根據(jù)珠算的運(yùn)算法則以及題干中描述的操作，從個(gè)、十、百上珠中選1粒往下?lián)埽瑒t有種，下珠往上撥分兩種情況，全部來(lái)自個(gè)、十、百，即種，或者來(lái)自個(gè)、十、百中的兩個(gè)，即種，故算盤(pán)表示的數(shù)的個(gè)數(shù)為（+）＝18．故選：B．6．（5分）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2﹣＝1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，當(dāng)|PF1|＝6時(shí)，△PF1F2的面積為（）A．4 B．3 C． D．6【答案】B【分析】利用雙曲線的定義可得|PF2|＝4，又|F1F2|＝2c＝4，進(jìn)而即得．【解答】解：雙曲線，∴，又點(diǎn)P在雙曲線c的右支上，|PF1|＝6，所以|PF1|﹣|PF2|＝2a，6﹣|PF2|＝2，即|PF2|＝4，又|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2面積為．故選：B．7．（5分）設(shè)a＝2，b＝log64，c＝4，則（）A．c＞a＞b B．a(chǎn)＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c【答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解．【解答】解：因?yàn)閍＝2，b＝log64，c＝4，所以0＜b＜1，1＜c＝2＜2＝a，所以a＞c＞b．故選：B．8．（5分）若函數(shù)f（x）＝x（x+a）2在x＝1處有極大值，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．1 B．﹣1或﹣3 C．﹣1 D．﹣3【答案】D【分析】利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可得f'（1）＝0，解出a的值之后驗(yàn)證函數(shù)在x＝1處取得極大值．【解答】解：函數(shù)f（x）＝x（x+a）2，f'（x）＝（x+a）2+2x（x+a）＝（x+a）（3x+a），函數(shù)f（x）＝x（x+a）2在x＝1處有極大值，可得f'（1）＝（1+a）（3+a）＝0，解得a＝﹣1或a＝﹣3，當(dāng)a＝﹣1時(shí)，f'（x）＝（x﹣1）（3x﹣1），時(shí)，f'（x）＜0，x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，故f（x）在上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）在x＝1處有極小值，不合題意．當(dāng)a＝﹣3時(shí)，f'（x）＝（x﹣3）（3x﹣3），x∈（﹣∞，1）時(shí)f'（x）＞0，x∈（1，3）時(shí)f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減，f（x）在x＝1處有極大值，符合題意．綜上可得，a＝﹣3．故選：D．9．（5分）中國(guó)古代數(shù)學(xué)巨作《九章算術(shù)》中，記載了一種稱(chēng)為“曲池”的幾何體，該幾何體的上下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．如圖所示，是一曲池形幾何體，其中AA1，BB1，CC1，DD1均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑比為1：2，對(duì)應(yīng)的圓心角為120°，且AA1＝2AB，則直線AB1與CD1所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求解異面直線AB1與CD1所成角的余弦值．【解答】解：如圖所示，是一曲池形幾何體，其中AA1，BB1，CC1，DD1均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑比為1：2，對(duì)應(yīng)的圓心角為120°，且AA1＝2AB，設(shè)上底面圓心為O1，下底面圓心為O，連接OO1，OC，OB，O1C1，O1B1，在下底面作OM⊥OD，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)C，OM，OO1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)OC＝1，由題意可得OA＝2，AB＝1，AA1＝2，則C（1，0，0），A（2cos120°，2sin120°，0）即，B1（cos120°，sin120°，2）即，D1（2，0，2），則，所以，又異面直線所成角的范圍為，故異面直線AB1與CD1所成角的余弦值為．故選：A．10．（5分）材料一：已知三角形三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則三角形的面積為，其中．這個(gè)公式被稱(chēng)為海倫﹣秦九韶公式．材料二：阿波羅尼奧斯（Apollonius）在《圓錐曲線論》中提出橢圓定義：我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．根據(jù)材料一或材料二解答：已知△ABC中，BC＝4，AB+AC＝6，則△ABC面積的最大值為（）A． B．3 C．2 D．6【答案】C【分析】由題意知點(diǎn)A的軌跡是橢圓，寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出△ABC面積的最大值．【解答】解：△ABC中，BC＝4，AB+AC＝6，所以點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，如圖所示；則c＝2，a＝3，b＝＝，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+＝1；由圖形知，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，△ABC的面積取得最大值；此時(shí)△ABC的面積為S＝BC?b＝×4×＝2．故選：C．11．（5分）設(shè)F1、F2橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上存在點(diǎn)M，∠MF1F2＝α，∠MF2F1＝β，使得離心率，則e取值范圍為（）A．（0，1） B． C． D．【答案】C【分析】在△MF1F2中，由正弦定理結(jié)合條件有：＝，再由|MF2|的范圍可求出離心率．【解答】解：設(shè)|MF1|＝m，|MF2|＝n；在△MF1F2中，由正弦定理有：＝；＝＝e，則e＝＝；解得：n＝；由于a﹣c＜|MF2|＜a+c；即（a+c）（a﹣c）＜2a2＜（a+c）2；又a2﹣c2＜2a2成立；則有a＜a+c；∴離心率：﹣1＜e＜1；故選：C．12．（5分）已知f（x），g（x）分別為定義域?yàn)镽的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f（x）+g（x）＝ex，若關(guān)于x的不等式2f（x）﹣ag2（x）≥0在（0，ln3）上恒成立，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．[0，+∞） C． D．【答案】D【分析】由奇偶性求得f（x），g（x）的解析式，化簡(jiǎn)不等式，并用分離參數(shù)法變形為，設(shè)ex+e﹣x＝t，換元后利用函數(shù)的單調(diào)性求得不等式右邊的取值范圍，從而可得a的范圍．【解答】解：因?yàn)閒（x），g（x）分別為R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，f（x）+g（x）＝ex①，所以f（﹣x）+g（﹣x）＝e﹣x，即f（x）﹣g（x）＝e﹣x②，聯(lián)立①②可解得，，所以不等式2f（x）﹣ag2（x）≥0可化為，因?yàn)閤∈（0，ln3），則ex﹣e﹣x＞0，故，設(shè)ex+e﹣x＝t，則（ex﹣e﹣x）2＝（ex+e﹣x）2﹣4＝t2﹣4，故，因?yàn)閠＝ex+e﹣x，x∈（0，ln3），所以t'＝ex﹣e﹣x＞0，故t＝ex+e﹣x在（0，ln3）上是增函數(shù)，則，又因?yàn)樵跁r(shí)是增函數(shù)，所以，則，因?yàn)樵趚∈（0，ln3）恒成立，所以0＜．故選：D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）若（ax﹣y）（x+y）6的展開(kāi)式中x5y2的系數(shù)為9，則實(shí)數(shù)a＝1．【答案】1．【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理得出（x+y）6展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，即可得出（ax﹣y）（x+y）6的展開(kāi)式中x5y2為r＝1或r＝2時(shí)，則x5y2的系數(shù)為，即可解出答案．【解答】解：（x+y）6展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，則，，所以（ax﹣y）（x+y）6展開(kāi)式中x5y2的系數(shù)為，解得a＝1．故答案為：1．14．（5分）已知，則cos2α＝﹣．【答案】﹣．【分析】由已知利用兩角和的正切公式可求得tanα＝7，進(jìn)而根據(jù)二倍角的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．【解答】解：因?yàn)椋裕僵?，可得tanα＝7，則cos2α＝＝＝＝﹣．故答案為：﹣．15．（5分）已知⊙M的圓心在曲線上，且⊙M與直線2x+y+1＝0相切，則⊙M的面積的最小值為5π．【答案】5π．【分析】設(shè)出圓心坐標(biāo)，求出圓心到直線的距離，再由基本不等式求得圓M的半徑的最小值，則面積最小值可求．【解答】解：設(shè)圓心為（a，）（a＞0），則r＝，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝，即a＝1時(shí)取等號(hào)，∴⊙M的面積的最小值為：．故答案為：5π．16．（5分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E為棱DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)是正方形CDD1C1內(nèi)部（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且B1F∥平面A1BE．給出下列四個(gè)結(jié)論：①動(dòng)點(diǎn)F的軌跡是一段圓弧；②存在符合條件的點(diǎn)F，使得B1F⊥A1B；③三棱錐B1﹣D1EF的體積的最大值為；④設(shè)直線B1F與平面CDD1C1所成角為θ，則tanθ的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是②③④．【答案】②③④．【分析】對(duì)于①，利用線線平行能證明平面A1BE∥平面MNB1，由此能求出點(diǎn)F的軌跡；對(duì)于②，利用線線垂直的判定與性質(zhì)直接求解；對(duì)于③，利用三棱錐體積公式直接求解；對(duì)于④，利用線面角的定義結(jié)合三角形性質(zhì)直接求解．【解答】解：對(duì)于①，分別取CC1和D1C1的中點(diǎn)N，M，連接MN，MB1，NB1，由正方體的性質(zhì)知MN∥A1B，NB1∥EA1，NB1?平面A1BE，A1B、EA1?平面A1BE，∴MN，NB1∥平面A1BE，又MN，NB1?平面MNB1，MN∩NB1＝N，∴平面A1BE∥平面MNB1，當(dāng)F在MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有B1F∥平面A1BE，∴動(dòng)點(diǎn)F的軌跡是線段MN，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)F為線段MN中點(diǎn)時(shí)，∵M(jìn)B1＝NB1，∴B1F⊥MN，又MN∥A1B，∴B1F⊥A1B，故②正確；對(duì)于③，三棱錐B1﹣D1EF的體積V＝＝，又（）max＝＝1，∴三棱錐的體積最大值為，故③正確；對(duì)于④，連接B1F，C1F，則B1F與平面CDD1C1所成角θ＝∠B1FC1，則tanθ＝，∵，∴tanθ的范圍是[2，2]，故④正確．故答案為：②③④．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（12分）在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機(jī)體或者對(duì)機(jī)體發(fā)生作用起，到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開(kāi)始呈現(xiàn)該疾病對(duì)應(yīng)的相關(guān)癥狀時(shí)止的這一階段稱(chēng)為潛伏期．一研究團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息，得到如下表格：潛伏期（單位：天）[0，2]（2，4]（4，6]（6，8]（8，10]（10，12]（12，14]人數(shù)85205310250130155（1）求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否超過(guò)6天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表．請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān)；潛伏期≤6天潛伏期＞6天總計(jì)50歲以上（含50歲）10050歲以下55總計(jì)200（3）以這1000名患者的潛伏期超過(guò)6天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過(guò)6天發(fā)生的概率，每名患者的潛伏期是否超過(guò)6天相互獨(dú)立．為了深入研究，該研究團(tuán)隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了20名患者，其中潛伏期超過(guò)6天的人數(shù)最有可能（即概率最大）是多少？附：P（K2≥k0）k0，其中n＝a+b+c+d．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算平均數(shù)即可；（2）根據(jù)題意補(bǔ)充完整列聯(lián)表，計(jì)算K2，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意知隨機(jī)變量X～B（20，），計(jì)算概率P（X＝k），列不等式組并結(jié)合題意求出k的值．【解答】解：（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，計(jì)算平均數(shù)為＝×（1×85+3×205+5×310+7×250+9×130+11×15+13×5）＝5.4（天）；（2）根據(jù)題意，補(bǔ)充完整列聯(lián)表如下；潛伏期≤6天潛伏期＞6天總計(jì)50歲以上（含50歲）653510050歲以下5545100總計(jì)12080200根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算K2＝＝≈2.083＜3.841，所以沒(méi)有95%的把握認(rèn)為潛伏期與年齡有關(guān)；（3）根據(jù)題意得，該地區(qū)每1名患者潛伏期超過(guò)6天發(fā)生的概率為＝，設(shè)調(diào)查的20名患者中潛伏期超過(guò)6天的人數(shù)為X，則X～B（20，），P（X＝k）＝??，k＝0，1，2，…，20；由，得，化簡(jiǎn)得，解得≤k≤；又k∈N，所以k＝8，即這20名患者中潛伏期超過(guò)6天的人數(shù)最有可能是8人．18．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知c＝2，A＝60°，D為BC邊上一點(diǎn)，BD＝2CD．（1）若CD＝1，求sinC；（2）若△ABC的面積為，求AD的長(zhǎng)．【答案】（1）．（2）．【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理即可直接求解sinC；（2）由已知結(jié)合三角形面積公式可求b，然后結(jié)合向量的線性表示及向量數(shù)量積的性質(zhì)可求．【解答】解：（1）依題意得BD＝2，則BC＝3，在△ABC中，由正弦定理得：，即，所以．（2）因?yàn)椋詁＝4，由BD＝2CD可得，，則＝+，＝＝，所以．19．（12分）如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，DB和EC都垂直于平面ABC，且EC＝BC＝3DB＝6，F(xiàn)為線段AE上一點(diǎn)，設(shè)AF＝λAE（0＜λ＜1）．（1）當(dāng)λ為何值時(shí)，DF∥平面ABC；（2）當(dāng)二面角E﹣DF﹣C的余弦值為時(shí)，求四棱錐F﹣BCED的體積．【答案】（1）；（2）18．【分析】（1）作出輔助線，證明出DBHF為平行四邊形，得到DF∥BH，從而證明出線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AF＝λAE，利用空間向量列出方程，求出，從而得到四棱錐的體積．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，F(xiàn)為AE上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，取AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)H，連接FH，BH，則FH∥EC，且，又因?yàn)镈B⊥面ABC，EC⊥面ABC，所以DB∥EC，又因?yàn)镋C＝3BD＝6，所以BD＝2，于是BD∥FH且BD＝FH，所以四邊形DBHF為平行四邊形，所以DF∥BH，又DF?平面ABC，BH?平面ABC，所以DF∥平面ABC，故當(dāng)時(shí)，DF∥平面ABC；（2）根據(jù)題意，建系如圖，則根據(jù)題意可得：A（3，3，0），D（0，0，2），C（0，6，0），E（0，6，6），設(shè)F（m，n，t），∵，∴（m﹣3，n﹣3，t）＝λ（﹣3，3，6），∴m＝3﹣3λ，n＝3λ+3，t＝6λ，∴F（3﹣3λ，3+3λ，6λ），∴，設(shè)平面FDC的法向量為，則，取，又平面EDC的法向量為，∵二面角E﹣DF﹣C的余弦值為，∴，解得，此時(shí)．20．（12分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，斜率為k（k≠0）的直線過(guò)點(diǎn)P，交C于A，B兩點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，|AF|+|BF|＝16．（1）求C的方程；（2）設(shè)C在A，B處的切線交于點(diǎn)Q，證明．【答案】（1）y2＝4x；（2）答案見(jiàn)解析．【分析】設(shè)斜率為k（k≠0）且過(guò)點(diǎn)P的直線為l：，其中．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）代入m＝2，得l：，將其與C：y2＝2px（p＞0）聯(lián)立，后由|AF|+|BF|＝16，結(jié)合韋達(dá)定理及拋物線定義可得答案；（2）利用Δ＝0表示出C在A，B處的切線方程，聯(lián)立切線方程得Q坐標(biāo)，注意到，說(shuō)明即可．【解答】解：（1）設(shè)斜率為k（k≠0）且過(guò)點(diǎn)P的直線為l：，其中．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．當(dāng)時(shí)，l：，將其與C：y2＝2px（p＞0）聯(lián)立，消去x得：y2﹣4py+p2＝0，由韋達(dá)定理有．又由拋物線定義知|AF|+|BF|＝x1+x2+p，又x1+x2＝2（y1+y2）﹣p，結(jié)合|AF|+|BF|＝16，則8p＝16?p＝2．得C的方程為y2＝4x；（2）由（1）可得，P（﹣1，0），則l：x＝my﹣1，將其與拋物線方程聯(lián)立，消去x得：y2﹣4my+4＝0，則y1+y2＝4m，y1y2＝4．設(shè)C在A點(diǎn)處的切線方程為x＝m1（y﹣y1）+x1，C在B點(diǎn)處的切線方程為x＝m2（y﹣y2）+x2．將x＝m1（y﹣y1）+x1與y2＝4x聯(lián)立，消去x得：y2﹣4m1y+4m1y1﹣4x1＝0，因x＝m1（y﹣y1）+x1為拋物線切線，則聯(lián)立方程判別式Δ＝16﹣4（4m1y1﹣4x1）＝0，由＝4x1，可得16﹣4（4m1y1﹣）＝4（2m1﹣y1）2＝0，可得m1＝，同理可得m2＝，將兩切線方程聯(lián)立有，將m1，m2代入可得，可得Q（1，2m），則|AQ|2＝（x1﹣1）2+（y1﹣2m）2，又x1＝my1﹣1，即|AQ|2＝（my1﹣1）2+（y1﹣2m）2＝（1+m2）﹣8my1+4m2+4，同理可得|BQ2|＝（1+m2）﹣8my2+4m2+4，因?yàn)椋剑剑?，要證＝，即證y1|BQ|2＝y(tǒng)2|AQ|2，又因?yàn)閥1|BQ|2＝（1+m2）y1﹣8my1y2+（4m2+4）y1，因y1y2＝4，所以y1|BQ|2＝4（1+m2）（y1+y2）﹣32m，同理可得y2|AQ|2＝4（1+m2）（y1+y2）﹣32m，即證y1|BQ|2＝y(tǒng)2|AQ|2成立，所以＝成立．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝（m+）lnx+﹣x，（其中常數(shù)m＞0）．（1）當(dāng)m＝2時(shí)，求f（x）的極大值；（2）試討論f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性；（3）當(dāng)m∈[3，+∞）時(shí)，曲線y＝f（x）上總存在相異兩點(diǎn)P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲線y＝f（x）在點(diǎn)P、Q處的切線互相平行，求x1+x2的取值范圍．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，我們可以確定函數(shù)的單調(diào)性，這樣就可求f（x）的極大值；（2）求導(dǎo)數(shù)，再進(jìn)行類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性；（3）曲線y＝f（x）在點(diǎn)P、Q處的切線互相平行，意味著導(dǎo)數(shù)值相等，由此作為解題的突破口即可．【解答】解：（1）當(dāng)m＝2時(shí)，（x＞0）令f′（x）＜0，可得或x＞2；令f′（x）＞0，可得，∴f（x）在和（2，+∞）上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增故（2）（x＞0，m＞0）①當(dāng)0＜m＜1時(shí)，則，故x∈（0，m），f′（x）＜0；x∈（m，1）時(shí)，f′（x）＞0此時(shí)f（x）在（0，m）上單調(diào)遞減，在（m，1）單調(diào)遞增；②當(dāng)m＝1時(shí)，則，故x∈（0，1），有恒成立，此時(shí)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；③當(dāng)m＞1時(shí)，則，故時(shí)，f′（x）＜0；時(shí)，f′（x）＞0此時(shí)f（x）在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（3）由題意，可得f′（x1）＝f′（x2）（x1，x2＞