集合的交集并集

集合的交集、并集理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集和交集；能使用Venn圖表達(dá)集合間的關(guān)系及運(yùn)算，體會直觀圖形對理解抽象概念的作用；能夠利用集合并集與交集的性質(zhì)解決簡單的參數(shù)問題．重點(diǎn)：并集和交集的概念；難點(diǎn)：并集和交集的概念、符號之間的區(qū)別與聯(lián)系.閱讀課本內(nèi)容，自主完成下列內(nèi)容。知識點(diǎn)一集合的并集并集的三種語言表示：①文字語言：由所有屬于集合A__或__屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的__并集__．②符號語言：A∪B＝__{x|x∈A，或x∈B}__．③圖形語言：如圖所示．(1)兩個集合的并集實(shí)質(zhì)上是將這兩個集合的元素并在一起組成一個集合，重復(fù)的元素只算一次．(2)對“或”的理解：“x∈A，或x∈B”包含三種情況：x∈A，但；，但x∈B；x∈A，且x∈B.Venn圖表示如下：1、（多選）下列判斷正確的是（）A集合A∪B的元素個數(shù)小于或等于集合A與集合B的元素個數(shù)和．BA∪＝.CA∪B＝B∪A.D若A?B，則A∪B＝B.【答案】ACD【解析】A當(dāng)集合A與集合B沒有公共元素時，A∪B的元素個數(shù)等于集合A與集合B的元素個數(shù)和；當(dāng)集合A與集合B有公共元素時，A∪B的元素個數(shù)小于集合A與集合B的元素個數(shù)和；B由并集的定義知A∪＝A；C由并集的定義知等式成立；D根據(jù)Venn圖可知A∪B＝B.知識點(diǎn)二集合的交集交集的三種語言表示：①文字語言：由所有屬于集合A__且__屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的__交集__．②符號語言：A∩B＝__{x|x∈A，且x∈B}__．③圖形語言：如圖所示．(1)兩個集合的交集實(shí)質(zhì)上是由這兩個集合的相同元素組成的集合．(2)集合A與B的交集的三種情況用Venn圖表示如下：（多選）下列判斷正確的是（）（A）當(dāng)集合A與B沒有公共元素時，則說集合A與B沒有交集．（B）A∩＝.（C）A∩B＝B∩A.（D）若A?B，則A∩B＝A.【答案】BCD【解析】(A)當(dāng)集合A與B沒有公共元素時，集合A與B的交集為?，即A∩B＝?.(B)(C)(D)由交集的定義知等式成立．考點(diǎn)一并集及其運(yùn)算eq\a\vs4\al(例1)若集合A＝{－1，0，3，4，5}，B＝{1，2，4}，則集合A∪B＝__{－1，0，1，2，3，4，5}__．【解析】根據(jù)并集的定義知A∪B＝{－1，0，1，2，3，4，5}．【對點(diǎn)演練1】已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)·(x－3)＝0}，則集合A∪B等于(C)A．{－1，2，3}B．{－1，－2，3}C．{1，－2，3}D．{1，－2，－3}【解析】化簡集合A，B，得A＝{1，－2}，B＝{－2，3}，所以A∪B＝{1，－2，3}．【對點(diǎn)演練2】已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出，利用并集概念進(jìn)行求解.【詳解】，故.故選：Ceq\a\vs4\al(例2)已知A＝{x|x≤－2，或x>5}，B＝{x|1<x≤7}，則A∪B＝__{x|x≤－2，或x>1}__．【解析】將x≤－2或x>5及1<x≤7在數(shù)軸上表示出來，由并集的定義可知圖中陰影部分即為所求，所以A∪B＝{x|x≤－2，或x>1}．此類題目首先應(yīng)看清集合中元素的范圍，簡化集合．若是用列舉法表示的數(shù)集，可以根據(jù)并集的定義直接觀察或用Venn圖表示出集合運(yùn)算的結(jié)果；若是用描述法表示的數(shù)集，可借助數(shù)軸分析寫出結(jié)果，此時要注意當(dāng)端點(diǎn)不在集合中時，應(yīng)用“空心點(diǎn)”表示．【對點(diǎn)演練1】（2023北京豐臺區(qū)一模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)并集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)榧希?，所以，故選:D.【對點(diǎn)演練2】設(shè)集合A＝{m|m－2>0}，B＝{m|－1≤m<5}，則A∪B＝____．【答案】{m|m≥－1}【解析】A＝{m|m－2>0}＝{m|m>2}，將集合A，B表示在數(shù)軸上，如圖所示，由圖可知A∪B＝{m|m≥－1}．考點(diǎn)二集合的交集及其運(yùn)算例3已知A＝{2，4，6，8，10}，B＝{3，5，8，12}，C＝{6，8}，則A∩B＝__eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(8))__；A∩(B∩C)＝__eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(8))__．【解析】依題意，有A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，4，6，8，10))∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3，5，8，12))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(8))；B∩C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(8))，所以A∩(B∩C)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，4，6，8，10))∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(8))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(8)).【對點(diǎn)演練】設(shè)集合A＝{4，5，6，8}，集合B＝{3，5，7，8，9}，則A∩B＝__{5，8}__；(A∪B)∩(A∩B)＝__{5，8}__．【解析】A∩B＝{5，8}；A∪B＝{3，4，5，6，7，8，9}，所以(A∪B)∩(A∩B)＝{5，8}．例4（2023廣西示范性高中高一聯(lián)合調(diào)研）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合集合的交集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D.求兩個集合交集的一般方法：(1)明確集合中的元素．(2)元素個數(shù)有限時，利用定義或Venn圖求解，元素個數(shù)無限時，借助數(shù)軸求解．(3)當(dāng)所給集合中有一個不確定時，要注意分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)取決于已知集合．【對點(diǎn)演練】已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|eq\r(x)≤4，x∈Z}，則A∩B等于()A．(0，2)B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【答案】D【解析】因?yàn)閨x|≤2，所以－2≤x≤2，即A＝{x|－2≤x≤2}．因?yàn)閑q\r(x)≤4.所以0≤x≤16.又因?yàn)閤∈Z，所以B＝{0，1，2，3，…，16}，所以A∩B＝{0，1，2}．考點(diǎn)三根據(jù)集合的運(yùn)算求參數(shù)例5若A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∩B＝B，則由實(shí)數(shù)a組成的集合C＝____．【答案】【解析】由A＝{x|x2－2x－3＝0}，得A＝{－1，3}.因?yàn)锳∩B＝B，所以B?A.當(dāng)B≠?時，有B＝{－1}或B＝{3}．當(dāng)B＝{－1}時，由a×(－1)－2＝0，得a＝－2；當(dāng)B＝{3}時，由a×3－2＝0，得a＝eq\f(2,3).當(dāng)B＝時，方程ax－2＝0無解，得a＝0.故由實(shí)數(shù)a組成的集合C＝.1．在利用集合的交集、并集性質(zhì)解題時，常常會遇到A∩B＝A，A∪B＝B等這類問題，解答時常借助于交集、并集的定義及上節(jié)學(xué)習(xí)的集合間的關(guān)系去分析，如A∩B＝A?A?B，A∪B＝B?A?B等，解答時應(yīng)靈活處理．2．當(dāng)集合B?A時，如果集合A是一個確定的集合，而集合B不確定，運(yùn)算時要考慮B＝?的情況，切不可漏掉．【對點(diǎn)演練1】若A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，且A∪B＝A，求a的值．【解析】因?yàn)锳＝{1，2}，A∪B＝A，所以B?A，所以B＝?或B＝{1}或B＝{2}或B＝{1，2}．當(dāng)B＝?時，Δ<0，a不存在；當(dāng)B＝{1}時，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝0，,1－a＋a－1＝0，))得a＝2；當(dāng)B＝{2}時，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝0，,4－2a＋a－1＝0，))a不存在；當(dāng)B＝{1，2}時，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋2＝a，,1×2＝a－1，))得a＝3.綜上所述，a＝2或a＝3.【對點(diǎn)演練2】（2022廣東深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一期中）已知集合，，若滿足，則的值為(

)A．或5 B．或5 C． D．5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)可知9∈A，則或由此可求出a的值，分類討論即可確定符合題意的a的取值．【詳解】∵，∴9∈A，或，解得或或，當(dāng)時，，，此時，不符合題意；當(dāng)時，，集合不滿足元素的互異性，不符合題意；當(dāng)時，，，此時，符合題意；綜上，故選：C．例6（2023河南高一聯(lián)考）已知集合A=x3x+1<4，B=xA．[1,+∞) B．(1,+∞) C．(?∞,1] D．(?∞,1)【分析】先求出集合A,B，根據(jù)A∩B=A得出A為B的子集，結(jié)合集合間的關(guān)系可得答案.【詳解】A=x3x+1<4=因?yàn)锳∩B=A，所以A為B的子集，所以a≥1.故選：A.【對點(diǎn)演練1】（多選）（2023高一課時練習(xí)）已知集合，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)交集、并集的定義判斷．【詳解】由，得，，則A錯誤；由，得，從而，則B正確；由，得，，則C正確；由，得，則D正確.故選：BCD．【對點(diǎn)演練2】已知集合或，，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由集合的運(yùn)算結(jié)果分析的值【詳解】，則故選：A【對點(diǎn)演練3】（2023貴州黔東南州高一測試）已知集合，．(1)當(dāng)時，求集合；(2)若，滿足：①，②，從①②中任選一個作為條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)選①，；選②，【分析】（1）根據(jù)并集的知識求得正確答案.（2）選擇條件后，根據(jù)集合是否為空集進(jìn)行分類討論，由此列不等式來求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，求集合，.（2）若選擇條件①，，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，由可得或，解得或，綜上的取值范圍是.若選擇條件②，則集合是集合的子集，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，有，解得，綜上的取值范圍是.考點(diǎn)四新定義型問題例7對于集合A，B，定義，．設(shè)，，則中可能含有下列元素（

）．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】CD【分析】根據(jù)所給定義求出，，即可求出，從而判斷即可；【詳解】解：因?yàn)?，，所以，∴．故選：CD【對點(diǎn)演練】（2023上海市吳淞中學(xué)高一期末）定義且，若，則______【答案】【分析】根據(jù)題目定義，分別求得和，再利用并集運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)集合且的定義可知，當(dāng)時，可得，；所以故答案為：一、單項選擇題1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x∈Z|－2<x－3<0}，則A∪B等于(C)A．{2}B．{0，1，2}C．{1，2，3}D．{－1，0，1，2，3}【解析】因?yàn)锳＝{1，2，3}，B＝{x∈Z|－2<x－3<0}＝{x∈Z|1<x<3}＝{2}，所以A∪B＝{1，2，3}．2．設(shè)集合A＝{2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{3，4，5}，則(A∩B)∪C等于(D)A．{2，3，4}B．{2，3，5}C．{3，4，5}D．{2，3，4，5}【解析】因?yàn)锳∩B＝{2，3}，所以(A∩B)∪C＝{2，3，4，5}．3.已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式即可得到集合，由交集的定義計算即可.【詳解】由題意得，所以．故選：B.4．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，，所以故選：C5.設(shè)集合，則（

）A．或 B．C． D．【答案】C【詳解】依題意，.故選：C6．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：因?yàn)榧希?，所?故選：A7．（2022·廣東珠?！じ咭黄谀┮阎?，或，則（

）A．或 B．C． D．或【答案】A【詳解】由題設(shè)，或或.故選：A8．（2022·陜西咸陽·高一期末）已知集合，，則（

）A． B．C． D．{1，2，3}【答案】A【詳解】.故選：A二、多項選擇題9．對于集合A，B，定義，．設(shè)，，則中可能含有下列元素（

）．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】CD【詳解】解：因?yàn)?，，所以，∴．故選：CD10．設(shè)集合，則的子集個數(shù)可能為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】BC【詳解】當(dāng)時，，則：若，則，子集有8個，若，則，子集有4個；當(dāng)時，，此時，其子集有4個；綜上，的子集個數(shù)可能為4或8個.故選：BC.11．（2022·浙江麗水外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一階段練習(xí)）已知集合P=，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】由集合P=，，則，故選項A正確.所以，則選項B正確.，選項D正確.顯然不正確，所以選項C不正確故選:ABD三、填空題12．設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【詳解】根據(jù)題意，.故答案為.13．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若集合與滿足，則實(shí)數(shù)______．【答案】或或【詳解】由可得，當(dāng)時，，若，集合A不成立；若，，成立；當(dāng)時，，若，；若，，均成立；當(dāng)時，或，若，成立；若，集合A不成立；故答案為：或或.14．（2022·上海師大附中高一期中）已知，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________【答案】【詳解】，，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，，解得：.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.15．（2022·上海市復(fù)興高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______【答案】或【詳解】由題意，則要使得，則或解得或故答案為：或四、解答題16．已知集合A＝{|a＋1|，3，5}，B＝{2a＋1，a2＋2a，a2＋2a－1}．當(dāng)A∩B＝{2，3}時，求A∪B.【解析】因?yàn)锳∩B＝{2，3}，所以2∈A，所以|a＋1|＝2，解得a＝1或a＝－3.①當(dāng)a＝1時，2a＋1＝3，a2＋2a＝3，所以B＝{3，3，2}，不滿足集合元素的互異性，舍去；②當(dāng)a＝－3時，2a＋1＝－5，a2＋2a＝3，a2＋2a－1＝2，所以B＝{－5，2，3}．故A∪B＝{－5，2，3，5}．17．已知集合A＝{xeq