四川省德陽市高三二診考試數(shù)學(xué)（理）試卷

2021年四川省德陽市高考數(shù)學(xué)二診試卷（理科）一、選擇題（共12小題）.1．已知全集U＝R，集合，集合B＝{x|x2﹣2x＜0}，則A∩B等于（）A．[1，2） B．（1，2） C．[0，1] D．（0，1]2．設(shè)z是復(fù)數(shù)，若z（1﹣i）＝|﹣i|（i是虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）A．z的虛部為 B．z＝ C．|z|＝1 D．z+＝13．（x﹣）6展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．﹣160 B．160 C．﹣80 D．804．如圖是2010﹣2020年這11年我國考研人數(shù)統(tǒng)計(jì)圖，則關(guān)于這11年考研人數(shù)下列說法錯(cuò)誤的是（）A．2015年以來我國考研報(bào)名人數(shù)逐年增多 B．這11年來考研報(bào)名人數(shù)的極差超過160萬人 C．2015年是這11年來報(bào)考人數(shù)最少的一年 D．2015年的報(bào)錄比最低5．如圖是某著名高校的課程結(jié)業(yè)成績“績點(diǎn)”計(jì)算框圖，輸入課程結(jié)業(yè)考試成績x∈[0，100]，輸出的s就是該門課程成績x對應(yīng)的“績點(diǎn)”．本學(xué)期小王同學(xué)一共有三門課程結(jié)業(yè)，考試成績分別是60分（1）、80分（2）、100分（2），括號里面的數(shù)字是該門課程對應(yīng)的學(xué)分．已知每學(xué)期“平均績點(diǎn)”（簡稱GPA）是該學(xué)期各門課程的績點(diǎn)乘以該門課程的學(xué)分的和除以總學(xué)分，那么小王同學(xué)本學(xué)期的“GPA”為（）6．某四棱錐的三視圖如圖所示，其側(cè)視圖是邊長為2的正方形，正視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，則該四棱錐的體積為（）A． B．8 C． D．47．正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知a1011＝3，那么log3a1+log3a2+…+log3a2021＝（）A．4042 B．2021 C．4036 D．20188．圖1是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制的一幅“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小的正方形拼成一個(gè)大的正方形．某同學(xué)深受啟發(fā)，設(shè)計(jì)出一個(gè)圖形，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形和一個(gè)小的正三角形拼成一個(gè)大的正三角形，如圖2，若AD＝4，BD＝2，那么?＝（）A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣69．已知函數(shù)f（x）＝asinx﹣2cosx，若f（t）＝0，f′（t）＞0，且f（x）在（t，t+φ）上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)，那么φ的取值范圍是（）A． B． C． D．（0，π]10．對圓x2+y2＝1上任意一點(diǎn)P（x，y），若|3x﹣4y+a|﹣|3x﹣4y﹣9|的值都與x，y無關(guān)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤﹣5 B．﹣5≤a≤5 C．a(chǎn)≤﹣5或a≥5 D．a(chǎn)≥511．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，A、B分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，且PF⊥x軸，過點(diǎn)A的直線與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E，直線BM與y軸交于點(diǎn)N，若|OE|＝λ|ON|，則雙曲線C的離心率為（）A． B．2 C． D．12．已知向量＝（，1），＝（1，﹣）函數(shù)f（x）＝?，若關(guān)于x的方程f（x）＝k（x+1）只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0]∪（1，+∞） C．[1，+∞） D．（0，1]二、填空題：共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在答題卡上.13．如圖是一次數(shù)學(xué)考試成績的樣本頻率分布直方圖（樣本容量n＝200），若成績在60分到80分之間的學(xué)生稱為“臨界生”，那么樣本中“臨界生”人數(shù)約為．14．已知等差數(shù)列{an}中，a10＝30，a20＝50，那么等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝．15．把如圖的平面圖形分別沿AB、BC、AC翻折，已知D1、D2、D3三點(diǎn)始終可以重合于點(diǎn)D得到三棱錐D﹣ABC，那么當(dāng)該三棱錐體積最大時(shí)，其外接球的表面積為．16．已知點(diǎn)A在拋物線y2＝3x上，過點(diǎn)A作拋物線的切線與x軸交于點(diǎn)B，拋物線的焦點(diǎn)為F，若∠BAF＝30°，則A的坐標(biāo)為．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．已知等腰△ABC中，AB＝AC，D是AC的中點(diǎn)，且BD＝6．（1）若AD＝3，求△ABC的面積；（2）若BC＝4，求sinC．18．已知在空間幾何體ABCDE中，△ABC、△BCD、△ECD都是邊長為2的正三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD．（1）A、E、B、D四點(diǎn)是否共面？說明理由；（2）求二面角B﹣AE﹣C的平面角的余弦值．19．針對時(shí)下的“網(wǎng)絡(luò)文學(xué)熱”，某班團(tuán)委對“學(xué)生性別是否與喜歡網(wǎng)絡(luò)文學(xué)有關(guān)”作了一次抽樣調(diào)查，在抽取的樣本中，女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生喜歡“網(wǎng)絡(luò)文學(xué)”的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡“網(wǎng)絡(luò)文學(xué)”的人數(shù)占女生人數(shù)的．設(shè)抽取的男生人數(shù)為x（x∈N*）．（1）完成2×2列聯(lián)表，若有95%以上的把握認(rèn)為喜歡“網(wǎng)絡(luò)文學(xué)”與性別有關(guān)求男生人數(shù)x的最小值；喜歡網(wǎng)絡(luò)文學(xué)不喜歡網(wǎng)絡(luò)文學(xué)總計(jì)男生x女生總計(jì)（2）當(dāng)x取（1）中的最小值時(shí)，從喜歡網(wǎng)絡(luò)文學(xué)的同學(xué)中抽取3名同學(xué)進(jìn)行問卷調(diào)查，記3名同學(xué)中女生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）k20．已知直線m與橢圓C：＝1相切于點(diǎn)P（1，），直線n與橢圓C分別交于點(diǎn)A、B（異于點(diǎn)P），與直線m交于點(diǎn)Q，線段AB的中點(diǎn)H在直線y＝﹣x上．（1）求直線m的方程；（2）證明：|AQ|、|PQ|、|BQ|成等比數(shù)列．21．設(shè)函數(shù)f（x）＝﹣e2x+（x﹣1）ex（a∈R）．（1）當(dāng)a＝時(shí)，求g（x）＝f′（x）?e1﹣x的單調(diào)區(qū)間（f′（x）是f（x）的導(dǎo)數(shù)）；（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2（x1＜x2），且正實(shí)數(shù)λ使1+λ＜x1+λx2成立，求正實(shí)數(shù)λ的取值范圍．請考生在22、23二題中任選一題作答注意只能做所選定的題目如果多做，則按所做第一個(gè)題目計(jì)分，作答時(shí)，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2sin2θ＝2．（1）求C的直角坐標(biāo)方程和l的普通方程；（2）若直線l截曲線C所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，），求l的斜率．[選修45：不等式選講]23．設(shè)函數(shù)f（x）＝|x+1|+|x﹣1|+|x|．（1）解不等式f（x）≥3x；（2）已知f（x）的最小值為m，正實(shí)數(shù)a、b滿足a+2b＝m，求的最小值，并指出此時(shí)a、b的值．參考答案一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知全集U＝R，集合，集合B＝{x|x2﹣2x＜0}，則A∩B等于（）A．[1，2） B．（1，2） C．[0，1] D．（0，1]解：集合＝{x|1﹣x≥0}＝{x|x≤1}，集合B＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，所以A∩B＝{x|0＜x≤1}＝（0，1]．故選：D．2．設(shè)z是復(fù)數(shù)，若z（1﹣i）＝|﹣i|（i是虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）A．z的虛部為 B．z＝ C．|z|＝1 D．z+＝1解：∵z（1﹣i）＝|﹣i|＝1，∴z＝＝，故B錯(cuò)誤；z的虛部為，故A錯(cuò)誤；|z|＝，故C錯(cuò)誤；，故D正確．故選：D．3．（x﹣）6展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．﹣160 B．160 C．﹣80 D．80解：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為T＝C，令6﹣2r＝0，解得r＝3，故常數(shù)項(xiàng)為C，故選：A．4．如圖是2010﹣2020年這11年我國考研人數(shù)統(tǒng)計(jì)圖，則關(guān)于這11年考研人數(shù)下列說法錯(cuò)誤的是（）A．2015年以來我國考研報(bào)名人數(shù)逐年增多 B．這11年來考研報(bào)名人數(shù)的極差超過160萬人 C．2015年是這11年來報(bào)考人數(shù)最少的一年 D．2015年的報(bào)錄比最低解：對于選項(xiàng)A：由條形圖可知，2015年以來我國考研報(bào)名人數(shù)逐年增多，所以選項(xiàng)A正確，對于選項(xiàng)B：由條形圖可知，考研人數(shù)最大是330萬左右，最小是145萬左右，極差估計(jì)為185萬，所以選項(xiàng)B正確，對于選項(xiàng)C：由條形圖可知，報(bào)考人數(shù)最少的一年是2010年，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)D：由折線圖可知，2015年的報(bào)錄比最低，所以選項(xiàng)D正確，故選：C．5．如圖是某著名高校的課程結(jié)業(yè)成績“績點(diǎn)”計(jì)算框圖，輸入課程結(jié)業(yè)考試成績x∈[0，100]，輸出的s就是該門課程成績x對應(yīng)的“績點(diǎn)”．本學(xué)期小王同學(xué)一共有三門課程結(jié)業(yè)，考試成績分別是60分（1）、80分（2）、100分（2），括號里面的數(shù)字是該門課程對應(yīng)的學(xué)分．已知每學(xué)期“平均績點(diǎn)”（簡稱GPA）是該學(xué)期各門課程的績點(diǎn)乘以該門課程的學(xué)分的和除以總學(xué)分，那么小王同學(xué)本學(xué)期的“GPA”為（）解：設(shè)三門課程的績點(diǎn)分別為S1，S2，S3，則S1＝4﹣＝3，S2＝4﹣＝3.75，S3＝4﹣＝4，所以GPA＝＝3.7．故選：C．6．某四棱錐的三視圖如圖所示，其側(cè)視圖是邊長為2的正方形，正視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，則該四棱錐的體積為（）A． B．8 C． D．4解：由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體是四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD為正方形，邊長為2，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，則該四棱錐的體積V＝．故選：A．7．正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知a1011＝3，那么log3a1+log3a2+…+log3a2021＝（）A．4042 B．2021 C．4036 D．2018解：正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1011＝3，a1×a2×…×a2021＝＝32021，∴l(xiāng)og3a1+log3a2+…+log3a2021＝log3（a1×a2×…×a2021）＝＝＝2021．故選：B．8．圖1是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制的一幅“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小的正方形拼成一個(gè)大的正方形．某同學(xué)深受啟發(fā)，設(shè)計(jì)出一個(gè)圖形，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形和一個(gè)小的正三角形拼成一個(gè)大的正三角形，如圖2，若AD＝4，BD＝2，那么?＝（）A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6解：由題意可知，∠FDE＝∠DEF＝∠EFD＝60°，∴∠AEC＝∠CFB＝∠BDA＝120°，又∵AD＝4，BD＝2，∴BF＝CE＝AD＝4，BD＝DF＝CF＝EF＝AE＝DE＝2，∴＝＝＝＝2+4+2﹣2＝6．故選：C．9．已知函數(shù)f（x）＝asinx﹣2cosx，若f（t）＝0，f′（t）＞0，且f（x）在（t，t+φ）上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)，那么φ的取值范圍是（）A． B． C． D．（0，π]解：函數(shù)f（x）＝asinx﹣2cosx＝，其中，則f（x）的最小正周期為2π，又f（t）＝0，f'（t）＞0，且f（x）在（t，t+φ）上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)，所以，解得φ．故選：A．10．對圓x2+y2＝1上任意一點(diǎn)P（x，y），若|3x﹣4y+a|﹣|3x﹣4y﹣9|的值都與x，y無關(guān)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤﹣5 B．﹣5≤a≤5 C．a(chǎn)≤﹣5或a≥5 D．a(chǎn)≥5解：設(shè)直線l1：3x﹣4y+a＝0，l2：3x﹣4y﹣9＝0，則點(diǎn)P到直線l1的距離，點(diǎn)P到l2的距離，因?yàn)閨3x﹣4y+a|﹣|3x﹣4y﹣9|的值都與x，y無關(guān)，所以d1﹣d2為常數(shù)，所以兩條直線在圓的同一側(cè)，且與圓不相交，因?yàn)橹本€l2在圓的下方，所以直線l1也在圓的下方，則有圓心（0，0）到直線l1的距離，解得a≥5或a≤﹣5，因?yàn)橹本€l1也在圓的下方，所以a≤﹣5．故選：A．11．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，A、B分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，且PF⊥x軸，過點(diǎn)A的直線與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E，直線BM與y軸交于點(diǎn)N，若|OE|＝λ|ON|，則雙曲線C的離心率為（）A． B．2 C． D．解：由題意知，F(xiàn)（﹣c，0），不妨取點(diǎn)P在第二象限，設(shè)點(diǎn)M為（﹣c，m），則m＞0，∵A（﹣a，0），B（a，0），∴直線AM的方程為y＝（x+a），直線BM的方程為y＝（x﹣a），∴E（0，），N（0，），∵|OE|＝λ|ON|，∴||＝λ||，即（λ﹣1）c＝（1+λ）a，∴離心率e＝＝．故選：C．12．已知向量＝（，1），＝（1，﹣）函數(shù)f（x）＝?，若關(guān)于x的方程f（x）＝k（x+1）只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0]∪（1，+∞） C．[1，+∞） D．（0，1]解：由題意，f（x）＝?＝﹣＝，f（﹣1）＝＝﹣2≠k（﹣1+1）＝0，f（0）＝0，當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，f（x）＝﹣f（﹣x），x＞1時(shí)，f（x）＝﹣f（﹣x），可得f（x）在R上為奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＝，所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，且f（1）＝2，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→0，所以f（x）在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞減，在（﹣1，0）上單調(diào)遞增，且f（﹣1）＝﹣2，當(dāng)x→﹣∞時(shí)，f（x）→0，作出f（x）的大致圖象，如圖所示：直線y＝k（x+1）恒過定點(diǎn)（﹣1，0），當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)（1，2）時(shí)，斜率k＝＝1，因?yàn)榉匠蘤（x）＝k（x+1）只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝k（x+1）只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知k≤0或k＞1，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（﹣∞，0]∪（1，+∞）．故選：B．二、填空題：共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在答題卡上.13．如圖是一次數(shù)學(xué)考試成績的樣本頻率分布直方圖（樣本容量n＝200），若成績在60分到80分之間的學(xué)生稱為“臨界生”，那么樣本中“臨界生”人數(shù)約為30．解：由頻率分布直方圖可得，樣本中“臨界生”人數(shù)約為：200×＝2×（6+9）＝2×15＝30（人）．故答案為：30．14．已知等差數(shù)列{an}中，a10＝30，a20＝50，那么等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n+10．解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a10＝30，a20＝50，∴a1+9d＝30，a1+19d＝50，聯(lián)立解得：a1＝12，d＝2，那么等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝12+2（n﹣1）＝2n+10．故答案為：2n+10．15．把如圖的平面圖形分別沿AB、BC、AC翻折，已知D1、D2、D3三點(diǎn)始終可以重合于點(diǎn)D得到三棱錐D﹣ABC，那么當(dāng)該三棱錐體積最大時(shí)，其外接球的表面積為50π．解：在三棱錐D﹣ABC中，當(dāng)且僅當(dāng)DA⊥平面ABC時(shí)，三棱錐的體積達(dá)到最大，此時(shí)，設(shè)外接球的半徑為R，球心為O，球心O到平面ABC的投影點(diǎn)為F，則有R2＝OA2＝OF2+AF2，又OF＝＝，AF＝＝，所以R，所以球的表面積為S＝4πR2＝4，故答案為：50π．16．已知點(diǎn)A在拋物線y2＝3x上，過點(diǎn)A作拋物線的切線與x軸交于點(diǎn)B，拋物線的焦點(diǎn)為F，若∠BAF＝30°，則A的坐標(biāo)為（，）．解：設(shè)A（，n），由y2＝3x，兩邊對x求導(dǎo)，可得2yy′＝3，即有y′＝，可得A處的切線的斜率為，拋物線y2＝3x的焦點(diǎn)F（，0），由直線AF的斜率為＝，所以tan30°＝＝，化為＝，解得n＝，＝，可得A（，）．故答案為：A（，）．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．已知等腰△ABC中，AB＝AC，D是AC的中點(diǎn)，且BD＝6．（1）若AD＝3，求△ABC的面積；（2）若BC＝4，求sinC．解：（1）因?yàn)锳B＝AC，D是AC的中點(diǎn)，且BD＝6，AD＝3，所以在△ABD中，由余弦定理可得cosA＝＝＝，可得sinA＝＝，所以S△ABC＝AB?AC?sinA＝＝．（2）設(shè)CD＝x，由題意可得AB＝AC＝2x，在△ABC中，由余弦定理可得：cosC＝＝＝，在△BCD中，由余弦定理可得：cosC＝＝＝，所以＝，解得x＝2，所以cosC＝，可得sinC＝＝．18．已知在空間幾何體ABCDE中，△ABC、△BCD、△ECD都是邊長為2的正三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD．（1）A、E、B、D四點(diǎn)是否共面？說明理由；（2）求二面角B﹣AE﹣C的平面角的余弦值．解：（1）A、E、B、D四點(diǎn)共面，理由如下：取DC中點(diǎn)M，因?yàn)椤鱁CD是正三角形，所以EM⊥DC，因?yàn)槠矫鍯DE⊥平面BCD，平面CDE∩平面BCD＝DC，所以EM⊥平面BCD，取BC中點(diǎn)N，同理AN⊥BC，AN⊥平面BCD，連接MN，所以MN∥BD，又因?yàn)椤鰽BC、△BCD、△ECD都是邊長為2的正三角形，所以EM＝AN，EM∥AN，所以四邊形AEMN為平行四邊形，所以AE＝MN，AE∥MN，所以AE∥BD，所以A、E、B、D四點(diǎn)共面．（2）取AE中點(diǎn)P，連接PC，因?yàn)镃A＝CE，所以PC⊥AE，取BD中點(diǎn)Q，連接PQ，因?yàn)樗倪呅蜛EDB為等腰梯形，所以PQ⊥AE，所以∠CPQ為二面角B﹣AE﹣C的平面角，連接CQ，交MN于O，連接PO，所以PO∥EM，PO是CQ的垂直平分線，設(shè)∠QPO＝θ，則tanθ＝＝，所以cos2θ＝＝，所以二面角B﹣AE﹣C的平面角的余弦值為．19．針對時(shí)下的“網(wǎng)絡(luò)文學(xué)熱”，某班團(tuán)委對“學(xué)生性別是否與喜歡網(wǎng)絡(luò)文學(xué)有關(guān)”作了一次抽樣調(diào)查，在抽取的樣本中，女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生喜歡“網(wǎng)絡(luò)文學(xué)”的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡“網(wǎng)絡(luò)文學(xué)”的人數(shù)占女生人數(shù)的．設(shè)抽取的男生人數(shù)為x（x∈N*）．（1）完成2×2列聯(lián)表，若有95%以上的把握認(rèn)為喜歡“網(wǎng)絡(luò)文學(xué)”與性別有關(guān)求男生人數(shù)x的最小值；喜歡網(wǎng)絡(luò)文學(xué)不喜歡網(wǎng)絡(luò)文學(xué)總計(jì)男生x女生總計(jì)（2）當(dāng)x取（1）中的最小值時(shí)，從喜歡網(wǎng)絡(luò)文學(xué)的同學(xué)中抽取3名同學(xué)進(jìn)行問卷調(diào)查，記3名同學(xué)中女生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）k解：（1）2×2列聯(lián)表為：喜歡網(wǎng)絡(luò)文學(xué)不喜歡網(wǎng)絡(luò)文學(xué)總計(jì)男生x女生總計(jì)x所以，解得，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以男生人數(shù)x的最小值為12；（2）當(dāng)x取最小值12時(shí)，由題意可知，喜歡網(wǎng)絡(luò)文學(xué)的同學(xué)中有男生2人，女生4人，故ξ的可能取值為1，2，3，所以P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝，所以ξ的分布列為：ξ123P所以ξ的數(shù)學(xué)期望為E（ξ）＝1×+2×+3×＝2．20．已知直線m與橢圓C：＝1相切于點(diǎn)P（1，），直線n與橢圓C分別交于點(diǎn)A、B（異于點(diǎn)P），與直線m交于點(diǎn)Q，線段AB的中點(diǎn)H在直線y＝﹣x上．（1）求直線m的方程；（2）證明：|AQ|、|PQ|、|BQ|成等比數(shù)列．解：（1）設(shè)切線m的方程為y﹣＝k（x﹣1），聯(lián)立，得（3+4k2）x2+（﹣8k2+12k）x+4k2﹣12k﹣3＝0，所以△＝（﹣8k2+12k）2﹣4（3+4k2）（4k2﹣12k﹣3）＝0，解得k＝﹣，所以直線m的方程為y﹣＝﹣（x﹣1），即x+2y﹣4＝0．（2）設(shè)直線n：y＝x+a，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，解得x＝2﹣a，y＝+1，所以Q（2﹣a，+1），聯(lián)立，得x2+x+﹣1＝0，所以△＝﹣×（﹣1）＝＞0，即﹣2＜a＜2，所以|AQ||BQ|＝|2﹣a﹣x1|?|2﹣a﹣x2|，＝|2﹣a﹣x1||2﹣a﹣x2|＝|（2﹣a）2﹣（2﹣a）（x1+x2）+x1x2|＝|（2﹣a）2﹣（2﹣a）（﹣a）+a2﹣3|＝|a2﹣3a+2|＝﹣3a+2，又|PQ|＝（+1﹣）2+（2﹣a﹣1）2＝﹣3a+2，所以|AQ||BQ|＝|PQ|2，所以|AQ|，|PQ|，|BQ|成比數(shù)列．21．設(shè)函數(shù)f（x）＝﹣e2x+（x﹣1）ex（a∈R）．（1）當(dāng)a＝時(shí)，求g（x）＝f′（x）?e1﹣x的單調(diào)區(qū)間（f′（x）是f（x）的導(dǎo)數(shù)）；（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2（x1＜x2），且正實(shí)數(shù)λ使1+λ＜x1+λx2成立，求正實(shí)數(shù)λ的取值范圍．解：（1）因?yàn)閍＝，f（x）＝﹣e2x+（x﹣1）ex，f′（x）＝﹣e2x+xex，g（x）＝f′（x）?e1﹣x＝（﹣e2x+xex）?e1﹣x＝﹣ex+ex，g′（x）＝﹣ex+e，令g′（x）＝0，可得x＝1，當(dāng)x∈（﹣∞，1）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減．（2）因?yàn)閒′（x）＝﹣ae2x+xex＝ex（﹣aex+x），令f′（x）＝0，可得a＝，設(shè)h（x）＝，y＝a，由題意可知，y＝a與h（x）＝的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)x1、x2（x1＜x2），因?yàn)閔′（x）＝，令h′（x）＞0，可得0＜x＜1，令h′（x）＜0，可得x＞1，所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以0＜x1＜1＜x2，所以x2﹣1＞﹣（1﹣x1），由1+λ＜x1+λx2得﹣λ（x2﹣1）＜x1﹣1，得λ（x2﹣1）＞﹣（1﹣x1），當(dāng)x