數(shù)學模型(第五版)-姜啟源-第8章

研究對象受到確定性因素和隨機性因素的影響.隨機因素可以忽略隨機因素影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)隨機因素影響必須考慮概率模型統(tǒng)計模型包含馬氏鏈模型隨機模型確定性模型隨機性模型第八章概率模型8.1

傳送系統(tǒng)的效率8.2

報童的訣竅8.3 航空公司的超額售票策略8.4 作弊行為的調(diào)查和估計8.5 軋鋼中的浪費8.6 博彩中的數(shù)學8.7 鋼琴銷售的存貯策略8.8 基因遺傳8.9 自動化車床管理

第八章概率模型傳送帶掛鉤產(chǎn)品工作臺工人將生產(chǎn)出的產(chǎn)品掛在經(jīng)過他上方的空鉤上運走,若工作臺數(shù)固定,掛鉤數(shù)量越多,傳送帶運走的產(chǎn)品越多.背景在生產(chǎn)進入穩(wěn)態(tài)后，給出衡量傳送帶效率的指標，研究提高傳送帶效率的途徑.8.1

傳送系統(tǒng)的效率問題分析

進入穩(wěn)態(tài)后為保證生產(chǎn)系統(tǒng)的周期性運轉(zhuǎn)，應假定工人們的生產(chǎn)周期相同，即每人做完一件產(chǎn)品后，要么恰有空鉤經(jīng)過他的工作臺，使他可將產(chǎn)品掛上運走，要么沒有空鉤經(jīng)過，迫使他放下這件產(chǎn)品并立即投入下件產(chǎn)品的生產(chǎn).

可以用一個周期內(nèi)傳送帶運走的產(chǎn)品數(shù)占產(chǎn)品總數(shù)的比例作為衡量傳送帶效率的數(shù)量指標.

工人們生產(chǎn)周期雖然相同，但穩(wěn)態(tài)下每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時刻不會一致，可以認為是隨機的，并且在一個周期內(nèi)任一時刻的可能性相同.模型假設1）n個工作臺均勻排列，n個工人生產(chǎn)相互獨立，生產(chǎn)周期是常數(shù)；2）生產(chǎn)進入穩(wěn)態(tài)，每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時刻在一個周期內(nèi)是等可能的；3）一周期內(nèi)m個均勻排列的掛鉤通過每一工作臺的上方，到達第一個工作臺的掛鉤都是空的；4）每人在生產(chǎn)完一件產(chǎn)品時都能且只能觸到一只掛鉤，若這只掛鉤是空的，則可將產(chǎn)品掛上運走；若該鉤非空，則這件產(chǎn)品被放下，退出運送系統(tǒng).模型建立

定義傳送帶效率為一周期內(nèi)運走的產(chǎn)品數(shù)（記作s,

待定）與生產(chǎn)總數(shù)n（已知）之比，記作D=s/n

若求出一周期內(nèi)每只掛鉤非空的概率p，則s=mp為確定s，從工人考慮還是從掛鉤考慮，哪個方便？

設每只掛鉤為空的概率為q，則

p=1-q如何求概率

設每只掛鉤不被一工人觸到的概率為r，則q=rn

設每只掛鉤被一工人觸到的概率為u，則r=1-uu=1/mp=1-(1-1/m)nD=m[1-(1-1/m)n]/n一周期內(nèi)有m個掛鉤通過每一工作臺的上方模型解釋若(一周期運行的)掛鉤數(shù)m遠大于工作臺數(shù)n,則

傳送帶效率(一周期內(nèi)運走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比）定義E=1-D(一周期內(nèi)未運走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比）提高效率的途徑：

增加m

復習題當n遠大于1時,E

n/2m~E與n成正比，與m成反比若n=10,m=40,D

87.5%(89.4%)])11(1[nmnmD--=問題報童售報：買進價2元，零售價4元，退回價1元.售出一份賺2元；退回一份賠1元.

每天買進多少份報紙零售才能使收入最大？分析買進太多賣不完退回賠錢買進太少不夠銷售賺錢少取決于每天賣出多少份報紙.每天需求量隨機優(yōu)化問題的目標函數(shù)應是長期的日平均收入每天收入隨機存在一個合適的買進量等于每天收入的期望8.2 報童的訣竅可得到需求量的隨機規(guī)律與報童售報相同類型的實際問題面包店每天清晨烘烤一定數(shù)量的面包出售，賣出一只獲利若干，未賣出的面包因處理而賠錢.已知需求量的概率分布，確定每天烘烤面包的數(shù)量，以得到最高的日均利潤.出版社每年都要重印一次教科書，按照過去的銷售記錄，可以給出今年需求量的概率分布.供過于求會因占用資金及廉價處理而蒙受損失，若供不應求，為保證學生用書必須臨時加印導致成本增加.怎樣確定今年的印刷數(shù)量.離散型需求下的報童售報模型已知某種商品在供過于求和供不應求時所帶來的收益或損失，已知需求量的概率分布，確定商品的數(shù)量使得平均利潤最高.需求量(100份)012345概率00.10.30.40.10.1報童售報離散型需求的概率分布售出100份報紙獲利200元，退回100份損失100元.報童應買進多少份報紙,才能獲得最高的日均利潤？與報童售報相同類型的實際問題假設

每天買進q(?100)份報紙.每天需求量(100份)r的概率f(r),r=0,1,…,n離散型需求下的報童售報模型售出100份獲利s1

,退回100份損失s2.建模供不應求供過于求退回損失s2(q

r)沒有損失

q<rr≤q售出獲利

s1q售出獲利

s1r一天的利潤

已知s1,

s2,f(r),求買進數(shù)量q

使日均利潤E(q)最大.離散型需求下的報童售報模型求解

E(q)的最大值在E(q+1)─E(q)由正變負時達到.若q<

r,\

若q≥r,

不等式

成立的最小q使E(q)達到最大.分析q增加時

從E(q)到E(q+1)的變化

離散型需求下的報童售報模型售出100份獲利s1=200

,退回100份損失s2

=100.不等式

成立的最小q使E(q)達到最大.使使成立的最小值是q=3.

每天購進300份報紙可使日均利潤E(q)達到最大需求量

r012345概率f(r)00.10.30.40.10.1

將q=3代入E(q)表達式計算，得最大值E(q)=450元.連續(xù)型需求下的報童售報模型如果報紙需求量以1份為單位，份數(shù)很多時將其視為連續(xù)型隨機變量，用概率密度描述更為方便.問題設需求量服從正態(tài)概率分布N(260,502).報童售出1份報紙獲利2元,退回1份損失1元.報童應買進多少份報紙,才能獲得最高的日均利潤？連續(xù)型需求下的報童售報模型建模

p(r)~報紙需求量的概率密度函數(shù).已知s1,

s2,p(r),求買進數(shù)量q

使日均利潤E(q)最大.q~買進數(shù)量，s1=2,s2=1.

連續(xù)型需求下的報童售報模型求解

r的概率分布函數(shù)

求導數(shù)注意：E(q)的被積函數(shù)和上下限均含變量q.與離散型

一致.連續(xù)型需求下的報童售報模型求解已知需求量服從正態(tài)概率分布N(260,502).利用Matlab軟件的逆正態(tài)分布函數(shù)命令x=norminv(p,mu,sigma)每天購進282份報紙能獲得最高的日均利潤.

p=2/3,mu=260,sigma=50.s1=2,s2=1x=281.5409F(q)=2/3連續(xù)型需求下的報童售報模型分析

E(q)達到最大的q值應使曲線p(r)下的面積滿足P~虛線r=q左邊曲線下的面積獲利s1變大,虛線r=q右移.p(r)~需求概率密度曲線損失s2變大,虛線r=q左移.8.3 航空公司的超額售票策略許多人提前很長時間預訂機票，總有旅客因為各種變故不能按時登機.背景航空公司為了減少按座位定額售票導致空位運行所蒙受的經(jīng)濟損失，通常采用超額售票策略，每個航班超額多售幾張票.《公共航空運輸航班超售處置規(guī)范》要求，航班超售時在使用優(yōu)先乘機規(guī)則前應尋找放棄登機的自愿者，向自愿者提供免費或減價航空運輸、贈送里程等作為補償.考慮機票價格、飛行費用、補償金額等因素，建立一個數(shù)學模型來確定超額售票的數(shù)量.在獲取最大經(jīng)濟收益的同時，盡量維護社會聲譽，避免出現(xiàn)過多旅客無法登機的情況.問題分析預訂機票而不按時登機旅客的數(shù)量是隨機變量,航空公司需要估計出其概率分布.經(jīng)濟收益可用機票收入扣除飛行費用和補償金額后的利潤來衡量.社會聲譽可以用因飛機滿員而無法登機的旅客限制在一定數(shù)量為標準.由于訂票旅客是否按時前來登機是隨機變量，經(jīng)濟收益和社會聲譽的指標都應該在平均意義或概率意義下衡量.兩目標優(yōu)化問題的解決步驟：先分析經(jīng)濟收益，以收益最大為目標確定超額售票的數(shù)量，再考慮如何維護社會聲譽.問題分析經(jīng)濟收益最大的超額售票模型1.飛機容量為n，超額售票數(shù)量為q，已訂票的

n+q位旅客中不按時登機的數(shù)量為r(隨機變量).2.每位訂票旅客不按時登機的概率為p，他們是

否按時登機的行為相互獨立，這個假設適用于

單獨行動的商人、游客等.3.每張機票價格為s1，因飛機滿員而無法登機的

每位旅客得到的補償金額為s2.飛行費用與旅

客數(shù)量關(guān)系很小，不予考慮.假設收益s1n–s2(q–r)建模收益s1(n+q–r)q~超額售票數(shù)量，r~訂票不按時登機旅客數(shù)量，n~飛機容量，s1~機票價格，s2~補償金額.r

qn位旅客登機,機票收入

s1nq–r位旅客得到補償

s2(q–r)r

q航空公司收益

對于超額售票q、訂票不按時登機旅客數(shù)量r的航班按時登機旅客數(shù)量

n+q–r

n按時登機旅客數(shù)量n+q–r

n建模f(r)~已訂票的n+q位旅客中有r位不按時登機的概率.

p~每位訂票旅客不按時登機的概率，且他們是否按時登機相互獨立.

二項分布航班的平均收益已知s1,s2,n,p,求超額售票數(shù)量q使平均收益E(q)最大.求解

成立的最小q使E(q)達到最大.

不等式

s=s2/s1~補償金額s2與機票價格s1之比,

類似離散型需求的報童售報模型飛機容量n=300，每位訂票旅客不按時登機的概率p=0.05，補償金額與機票價格之比s=1/2.求解利用Matlab軟件逆二項分布函數(shù)命令

x=binoinv(y,n,p)q=17

代入數(shù)據(jù)：y=1/(1+s)=2/3,n=300+q,p=0.05.從q=1開始運行程序直到x=q為止超額售票數(shù)量17張公司平均收益E(q)最大.

s=1/3s=1/2s=1p=0.01443p=0.0311109p=0.05181716求解在平均收益最大的目標下，對于固定飛機容量n，影響超額售票數(shù)量q的參數(shù)只有p和s.

平均收益最大的超額售票數(shù)量

q(n=300)當旅客不來登機的概率p變大時q增加；當補償金額(與機票價格相比)變大時q減少.考慮社會聲譽的超額售票模型從維護社會聲譽角度，應對因飛機滿員而無法登機的旅客數(shù)量加以限制,由于訂票旅客按時登機的隨機性,所謂限制只能以概率表示.Pj(q)~因飛機滿員無法登機旅客數(shù)量超過j人的概率

j可視為維護社會聲譽的“門檻”,限制Pj(q)不超過某個可以接受的數(shù)值α.無法登機旅客數(shù)量超過j人訂票旅客不來登機的不超過q-(j+1)人Pj(q)用Matlab二項分布函數(shù)命令y=binocdf(x,n,p)計算，其中

x=q-(j+1)，y=Pj(q).給定p,s,先算出平均收益最大的超額售票數(shù)量q，再設定門檻j，計算Pj(q)，與可以接受的數(shù)值α比較，最后確定q和j.當超額售票數(shù)量q變大時，門檻j應隨之提高.考慮社會聲譽的超額售票模型因飛機滿員無法登機旅客數(shù)量超過j人的概率Pj(q)

要求

s=1/3s=1/2s=1p=0.01,j=10.41310.41310.1932p=0.03,j=30.28280.17670.0968p=0.05,j=50.19310.12820.0791平均收益最大的Pj(q),取j約為q的1/3

考慮社會聲譽的超額售票模型

s=1/3s=1/2s=1p=0.01443p=0.0311109p=0.05181716平均收益最大的超額售票數(shù)量

q(

n=300)Pj(q)與費用參數(shù)s無關(guān)，同一行中Pj(q)數(shù)值的變化是由q的不同所致.p,j變大,概率Pj(q)減少；q變大,概率Pj(q)

增加.小結(jié)與評注

建立超額售票策略的經(jīng)濟收益最大與考慮社會聲譽兩個模型，應用時可將二者結(jié)合起來.對于收益最大超額售票數(shù)量q和考慮社會聲譽門檻j,若無法登機旅客超過j人的概率Pj(q)太大,可以適當減小q,犧牲收益來換取Pj(q)的降低.訂票乘客不按時登機的概率p對經(jīng)濟收益和社會聲譽的影響較大,需針對不同航班、不同時間(季節(jié)、假日等因素),利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)實時調(diào)整概率p,以提高模型的準確度.8.4作弊行為的調(diào)查與估計社會調(diào)查中會遇到因涉及個人隱私或利害關(guān)系的敏感問題,如是否考試作弊、賭博、偷稅漏稅等.即使無記名調(diào)查也很難消除被調(diào)查者的顧慮,極有可能拒絕應答或故意作出錯誤的回答,使得調(diào)查結(jié)果存在很大的偏差.以作弊行為的調(diào)查和估計為例,討論如何設計敏感問題的調(diào)查方案和建立數(shù)學模型.問題分析調(diào)查目的是估計有過作弊行為的學生占多大比例,不涉及具體哪些學生有過作弊行為,調(diào)查方案應保護被調(diào)查者的隱私,使被調(diào)查者能做出真實回答.讓被調(diào)查者從包含是否有過作弊行為的若干問題中隨機地用“是”或“否”回答其中某一問題.調(diào)查者只知道對全部問題回答“是”的有多少人，回答“否”的有多少人，根本不了解被調(diào)查者回答的是哪一個具體問題.正反問題選答的調(diào)查方案及數(shù)學模型以下兩個正反問題供學生用是或否選答一個：問題A.你在考試中有過作弊行為,是嗎？問題B.你在考試中從未有過作弊行為,是嗎？方案設計每一學生選答問題A,B的概率為10/13,3/13.選答規(guī)則舉例準備一套13張同一花色的撲克牌.被調(diào)查者隨機抽取一張,看后還原.如果抽取的是不超過10的牌,回答問題A.如果抽取的是J,Q,K,回答問題B.

被調(diào)查者對于選定的問題作真實回答——對A回

答是在選A學生中所占比例為作弊概率,對B回答

否在選B學生中所占比例也為作弊概率.模型假設

調(diào)查共收回n張有效答卷,

m張回答是,n-m張回答否,比例m/n為每一學生回答是的概率.每個被調(diào)查者選答問題A的概率P(A),

選答問題B的概率P(B),P(A)+P(B)=1.模型建立事件A~選答問題A,事件B~選答問題B.假設1:P(C)=m/n假設2:P(B)=1

P(A)學生作弊概率事件C~回答是,事件

~回答否.全概率公式=pP(A)+(1-p)(1-P(A))假設3:

~學生作弊概率

1965年由美國統(tǒng)計學家Warner提出,稱Warner模型.學生作弊概率正反問題選答的調(diào)查方案及數(shù)學模型P(A)~選答問題A的概率

P(C)=m/n~回答是的概率算例

用抽撲克牌辦法決定選答A或B,在400張

有效答卷中有112張回答是.

P(C)=112/400,P(A)=10/13根據(jù)這個調(diào)查約9.1%的學生有過作弊行為.p=0.091模型分析學生作弊概率學生無人作弊——對A都答否,對B都答是.兩種極端情況：P(C)=P(B)m張答是的答卷都來自選答B(yǎng)p=0學生都作弊——對A都答是,對B都答否.m張答是的答卷都來自選答AP(C)=P(A)p=1Warner模型模型分析學生作弊概率P(A)>1/2選答A題比選答B(yǎng)題的人數(shù)多P(C)↑p↑P(C)↑

p

↓P(A)<1/2P(C)=m/n~回答是的概率P(A)~選答問題A的概率

選答A題比選答B(yǎng)題的人數(shù)少如何解釋？Warner模型模型分析作弊概率估計值(隨機變量)

概率統(tǒng)計觀點p~學生作弊概率的真值是p的無偏估計.P(A)越接近1/2,方差越大,調(diào)查結(jié)果精度越低.被調(diào)查人數(shù)n越多,方差越小,調(diào)查結(jié)果精度越高.——多次調(diào)查時平均值趨于真值.模型分析

P(A)接近于1或0,方差變小——但是讓絕大多數(shù)人都回答問題A或B,不利于調(diào)查的正常進行.

算例

n=400,P(C)=112/400,P(A)=10/13有過作弊行為學生比例為9.1

8.4%(置信水平95%).標準差4.2%=0.091一般建議P(A)在0.7到0.8之間取值.無關(guān)問題選答的調(diào)查方案及數(shù)學模型選答的兩個問題互不相關(guān),一個是要調(diào)查的敏感問題,另一個是與調(diào)查無關(guān)的非敏感問題.Warner模型的缺陷問題A與B為同一個敏感性問題.選答問題A或B的人數(shù)比例不能等于或接近1/2.Warner模型的改進——Simmons模型被調(diào)查者的合作態(tài)度得以提高.方案設計與建模Simmons模型問題A：你在考試中有過作弊行為嗎？問題B：你生日的月份是偶數(shù)嗎？在學生作弊行為調(diào)查中問題A不變,問題B設計為一個與A無關(guān)的問題.選答規(guī)則與Warner模型相同假設1,2與Warner模型相同:P(C)=m/n,P(B)=1

P(A)全概率公式方案設計與建模Simmons模型=~學生作弊概率=p0~能夠事先確定問題A：你在考試中有過作弊行為嗎？問題B：你生日的月份是偶數(shù)嗎？問題B：p0=1/2作弊概率估計值(隨機變量)

~學生作弊概率的真值模型分析概率統(tǒng)計觀點是p的無偏估計.

被調(diào)查人數(shù)n越多,方差越小,調(diào)查結(jié)果精度越高.P(A)越大,方差越小——但是P(A)太大,讓大多數(shù)人都回答問題A,顯然不合適.在400張有效答卷中有80張回答是,選答問題規(guī)則與Warner模型相同.算例Simmons模型n=400,P(C)=80/400,P(A)=10/13,p0=1/2

=0.026有過作弊行為學生比例為11

5.2%(置信水平95%).

=0.11Simmons模型需知道問題B回答“是”的概率p0,通常使p0=1/2.小結(jié)與評注全概率公式是建立Warner模型和Simmons模型的基礎.Christofides模型~以回答數(shù)字的方法代替回答“是”或“否”.若Simmons模型的p0未知,如問題B:你喜歡紅色嗎？需設計另外的調(diào)查方法.軋制鋼材兩道工序

粗軋(熱軋)~形成鋼材的雛形

精軋(冷軋)~得到鋼材規(guī)定的長度粗軋鋼材長度正態(tài)分布均值可以調(diào)整方差由設備精度確定粗軋鋼材長度大于規(guī)定切掉多余部分粗軋鋼材長度小于規(guī)定整根報廢隨機因素影響精軋問題：如何調(diào)整粗軋的均值，使精軋的浪費最小.背景8.5 軋鋼中的浪費分析設已知精軋后鋼材的規(guī)定長度為l，粗軋后鋼材長度的均方差為

.記粗軋時可以調(diào)整的均值為

m，則粗軋得到的鋼材長度為正態(tài)隨機變量，記作x~N(m,

2).切掉多余部分的概率整根報廢的概率存在最佳的m使總的浪費最小lPOp(概率密度)mxP′mPP′建模選擇合適的目標函數(shù)切掉多余部分的浪費整根報廢的浪費總浪費=+粗軋一根鋼材平均浪費長度粗軋N根成品材

PN根成品材長度lPN總長度mN共浪費長度mN-lPN直接方法選擇合適的目標函數(shù)粗軋一根鋼材平均浪費長度得到一根成品材平均浪費長度更合適的目標函數(shù)優(yōu)化模型：已知l,,求m使J(m)最小.建模粗軋N根得成品材

PN根略去常數(shù)l,記求解已知

,求z使J(z)最小已知l,,求m使J(m)最小.求解已知

,求z使J(z)最小J(z)的最小值應滿足方程用MATLAB軟件求出方程的根z，代入得到m

的最優(yōu)值.解

=l/=10例設已知精軋后鋼材的規(guī)定長度為l=2(m),

粗軋后鋼材長度的均方差為

=20(cm)，求粗軋時調(diào)整的均值m，使一根成品材的平均浪費長度最小.

=

–

z=11.78z=–

1.78m=

=2.36(m)

=m/

用MATLAB作圖求解平均浪費長度為0.45(m)評注模型假定:粗軋鋼材長度小于規(guī)定長度l

整根報廢改為新的假定(訓練題5):1.粗軋鋼材長度在規(guī)定長度[l1,

l]內(nèi)

降級使用2.粗軋鋼材長度小于規(guī)定長度l1

整根報廢在隨機因素影響下過程有兩種結(jié)果，其損失(或收益)各有不同，綜合考慮來確定應采取的決策，在統(tǒng)計意義下使總損失最小(或總收益最大).日常生產(chǎn)、生活中的類似問題：8.6博彩中的數(shù)學當前世界上博彩業(yè)的4種主要經(jīng)營方式彩票賭臺動物賽跑體育競猜博彩中的數(shù)學博彩起源于賭博,后有人看出生財之道,為賭客提供物質(zhì)條件并居中抽頭,成為今天賭場的雛形.隨著賭博名聲越來越壞,人們?yōu)樗业搅艘粋€好聽的名字——博彩.博彩~對一個不確定的結(jié)果作出預測判斷,并以押上的錢來為自己的決策承擔后果——博彩詞典.博彩三大要素：有賭注、有對手、碰運氣.我國目前只有一部分彩票發(fā)行和體育競猜合法，在政府監(jiān)督下由相關(guān)機構(gòu)管理.彩票與輪盤等賭臺游戲的數(shù)學模型基本相同.兩種博彩方式的數(shù)學模型輪盤~從玩家和莊家兩方面介紹賭臺中的建模.球賽競猜~研究開盤、下注以及收益中的模型.博彩中的數(shù)學輪盤游戲中的數(shù)學輪盤(roulette)由一個輪盤,一個白色小球和一張賭桌構(gòu)成.美式輪盤有

38個溝槽,編號1至36,紅、黑色各一半,加上綠色溝槽0和00.玩家對一個數(shù)字、數(shù)字組合、單雙數(shù)字、紅色或黑色下注;莊家讓轉(zhuǎn)輪和小球按相反方向旋動.以小球停在溝槽的數(shù)字或顏色與下注是否相同決定玩家輸贏.輪盤游戲中的數(shù)學概率和賠率對紅或黑一種顏色下注玩家下注方式對1至36一個數(shù)字下注p=18/38p=1/38輪盤有

38個溝槽(1至36,紅黑各半,0和00).

玩家下注1元,玩家贏(概率p)莊家賠y元；玩家輸(概率1

p)失去下注的1元.y=37(1賠37)y=1.11(1賠1.11)真實賠率(trueodds)y玩家莊家不賠不賺玩家贏錢概率真實賠率賭場老板不會以真實賠率y賠付給贏錢的賭客.概率和賠率對一種游戲選擇一個比y稍低一點的賠率賠付.支付賠率(payoffodds)x輪盤游戲中的數(shù)學真實賠率y玩家莊家不賠不賺對紅或黑一種顏色下注對1至36一個數(shù)字下注y=37(1賠37)y=1.11(1賠1.11)x=35(1賠35)x=1(1賠1)玩家劣勢和莊家優(yōu)勢賭場上賭客總是要輸?shù)?對一個數(shù)字下注1元,玩家贏(p=1/38)莊家賠35元(賠率x=35);玩家輸失去下注的1元.玩家多次下注的平均收益玩家期望收益輸?shù)粝伦⒔痤~的5.26%玩家劣勢為5.26%<0玩家劣勢和莊家優(yōu)勢玩家的期望收益對一種顏色下注(p=18/38,x=1)EV1=─0.0526莊家早就安排好的!玩家劣勢仍是5.26%游戲有n種結(jié)果,pi,ai~出現(xiàn)結(jié)果i的概率,收益.

玩家劣勢玩家期望收益莊家的期望收益EV2=

─EV1莊家優(yōu)勢EV2

<0玩家的加倍下注策略玩家贏錢概率p=18/38=0.4737,輸錢概率q=0.5263.加倍下注策略~從最低金額1元開始下注,輸了加倍下注,再輸再加倍,直到贏了為止.只要贏一次就把輸全部撈回來,而且凈賺1元.假定玩家有1萬元，首次下注1元.1+2+22+…+212=213

1=819113次!連輸13次的概率多大？對一種顏色下注賠率x=1夠他連輸多少次？很小?。≮A其中1次凈賺1元的概率期望收益玩家的加倍下注策略是穩(wěn)贏不輸?shù)南伦⒉呗詥?？連輸13次輸?shù)?191元的概率結(jié)論：長期按照這種策略下注,玩家還是會輸?shù)?期望下注金額

0.9480/18.0087=

0.0526每下注1元的期望收益與通常的下注方法相比,沒有占到任何便宜！=0.9997622賭場游戲的設計方法和步驟制定玩法、確定賠率、估計收益、規(guī)避風險．莊家設計游戲的要求1.概率計算~游戲設計的基礎2.賠率確定根據(jù)y將支付賠率x調(diào)整到一個簡單、合理的數(shù)值(一般取整數(shù)).真實賠率y=(1-p)/p3.莊家優(yōu)勢的調(diào)整EV2=

-EV1=1-(x+1)p用降低或提高賠率x的方法調(diào)整莊家優(yōu)勢.莊家優(yōu)勢賭場游戲的設計方法和步驟4.最低和最高下注額——限紅——的設定防止個別玩家零敲碎打地下注,節(jié)約服務成本.設定最低限紅(兌換最小面額的籌碼)防止個別財大氣粗的玩家過分高額地下注,給賭場帶來瞬間的威脅.設定最高限紅(如10萬元的籌碼)鼓勵財大氣粗的土豪長期賭下去,億萬財富早晚會落入賭場老板的囊中.賭場的收益及其波動收益太低會影響扣除稅收、成本及慈善捐贈等支出后的利潤.賭場總的收益應加以控制.收益太高監(jiān)管部門會干預,也不利于行業(yè)競爭.下注1元的收益標準差對一種顏色下注SD2=5.7628SD2=0.9986x=1,p=18/38,EV2=0.0526對一個數(shù)字下注x=35,p=1/38,EV2=0.0526n人次下注收益標準差n很大！體育競猜中的數(shù)學莊家(博彩公司)在比賽開始前組織玩家預測結(jié)局并下注,結(jié)束后根據(jù)實際結(jié)果決定玩家的輸贏.玩家或莊家對比賽雙方勝負的概率只能根據(jù)兩隊的實力、狀態(tài)等因素做出大致估計.競猜對莊家技術(shù)水平、經(jīng)營技巧和經(jīng)驗積累要求很高,也給內(nèi)行的玩家提供了贏錢的機會.在博彩業(yè)中風險最大,也最容易產(chǎn)生職業(yè)賭客.開盤、押注、玩家劣勢和莊家優(yōu)勢在A,B兩隊比賽前莊家為競猜開盤——開出兩隊勝負的賠率,讓玩家押注.開盤

160/+140玩家押A隊勝，賠率為1.6賠1,一注押160元.結(jié)果A勝B負玩家獲賠100元(押金退還)結(jié)果A負B勝玩家押金歸莊家玩家押B隊勝,賠率為1賠1.4,一注押100元玩家押金歸莊家玩家獲賠140元(押金退還)莊家預計A強(押多賠少)B弱(押少賠多)開盤、押注、玩家劣勢和莊家優(yōu)勢加線盤或獨贏盤(不考慮平局或?qū)⑵骄謿w為弱隊勝).開盤

160/+140假定莊家估計強隊A的勝率0.6押弱隊B勝的玩家期望收益押強隊A勝的玩家期望收益100×0.6

160×0.4=

4140×0.4

100×0.6=

4單位下注額的玩家劣勢4/100=4%4/160=2.5%若押強隊A勝和押弱隊B勝的玩家數(shù)量相等,單位下注額的整體莊家優(yōu)勢：(4+4)/(160+100)=3.08%加線盤的設計方法和步驟

1.估計獲勝概率、開出公平盤

莊家組織專家(開盤手)估計強隊A的勝率p.押強隊A勝的玩家劣勢開盤的莊家優(yōu)勢也等于零——公平盤.p=0.6開盤

150/+150p=0.8開盤

400/+400開盤押弱隊B勝的玩家劣勢

2.調(diào)整公平盤、開出加線盤

加線盤的設計方法和步驟

莊家有利可圖——在公平盤上加線.p=0.6公平盤

150/+150押強隊A勝的玩家劣勢=莊家優(yōu)勢=a(1

p)押弱隊B勝的玩家劣勢=莊家優(yōu)勢=b(1

p)公平盤加線

160/+140加線a,b(>0)3.加線的調(diào)整莊家實際收益取決于多少玩家押強隊A勝，多少玩家押弱隊B勝，結(jié)果是A還是B勝.nA,nB~押強隊A勝,弱隊B勝的玩家數(shù)量(每人一注)莊家實際收益玩家獲賠100元押金歸莊家結(jié)果A勝結(jié)果B勝押金歸莊家玩家獲賠加線盤莊家實際收益p=0.6,a=b=103.加線的調(diào)整

nAnB獲勝隊莊家收益注釋1100100A02100100B2000315050A

10000押A勝玩家多,結(jié)果A勝450150A10000押B勝玩家多,結(jié)果A勝515050B17000押A勝玩家多,結(jié)果B勝650150B

13000押B勝玩家多,結(jié)果B勝莊家實際收益VA=100(nB-nA)

160/+140加線盤為規(guī)避風險莊家需密切關(guān)注玩家下注走勢,適時調(diào)整a,b使nA,nB盡量接近.nA=nB莊家不賠錢;nA,nB相差很大可能暴贏或暴輸.小結(jié)與評注結(jié)果的概率可精確得到,莊家和玩家不需要什么“技術(shù)”,輸贏完全碰運氣.結(jié)果的概率主要靠“技術(shù)”水平來估計,內(nèi)行的莊家和玩家有一定優(yōu)勢.兩種博彩均含三大要素又有明顯區(qū)別賭臺游戲?qū)橘€博人為設置的賭局,需要一定的成本.借用現(xiàn)實生活中不可預知又吸引眼球的事件開設的賭局,成本很小.體育競猜體育競猜中博彩公司為促成玩家的對賭,開盤后一再調(diào)整加線,竭力均衡押注兩隊的玩家之間的角力,讓自己抽身而退.小結(jié)與評注賭場游戲表面上是玩家與莊家對賭,玩家贏了向莊家討取賠付,輸了下注額歸莊家.實際上無數(shù)的籌碼從大多數(shù)玩家的口袋經(jīng)莊家之手轉(zhuǎn)入少數(shù)贏錢賭客的囊中,莊家靠玩家對賭從中抽頭牟利,自己絕不涉賭.莊家是從來不賭的！8.7

鋼琴銷售的存貯策略

鋼琴銷售量很小,商店庫存量不大以免積壓資金.

一家商店據(jù)經(jīng)驗估計,平均每周鋼琴需求僅1架.存貯策略：每周末檢查庫存量，僅當庫存量為零時，才訂購3架供下周銷售；否則，不訂購.

估計在這種策略下失去銷售機會的概率有多大?

以及每周的平均銷售量是多少?背景與問題問題分析

顧客到來相互獨立,需求量近似服從泊松分布,其參數(shù)由需求均值每周1架確定,由此計算需求概率.存貯策略：周末庫存量為零時訂購3架

周末庫存量可能是0,1,2,3，周初庫存量可能是1,2,3.用馬氏鏈描述不同需求導致的周初庫存狀態(tài)的變化.動態(tài)過程中每周銷售量不同，失去銷售機會(需求超過庫存)的概率不同.

可按穩(wěn)態(tài)情況(時間充分長以后)計算失去銷售機會的概率和每周的平均銷售量.

模型假設鋼琴每周需求量服從泊松分布，平均每周1架.存貯策略：當周末庫存量為零時，訂購3架，周初到貨；否則，不訂購.以每周初的庫存量作為狀態(tài)變量，狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無后效性.在穩(wěn)態(tài)情況下計算失去銷售機會的概率和每周的平均銷售量,作為該存貯策略的評價指標.模型建立

Dn~第n周需求量，均值為1的泊松分布

Sn~第n周初庫存量(狀態(tài)變量)狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律

Dn0123>3P0.3680.3680.1840.0610.019狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣

……模型建立

狀態(tài)概率

馬氏鏈的基本方程正則鏈

穩(wěn)態(tài)概率分布w滿足wP=w已知初始狀態(tài)，可預測第n周初庫存量Sn=i的概率n

,狀態(tài)概率

第n周失去銷售機會的概率

n充分大時

模型求解

從長期看，失去銷售機會的概率大約10%.1.估計失去銷售機會的概率D

0123>3P0.3680.3680.1840.0610.019存貯策略的評價指標0.105模型求解

第n周平均售量從長期看，每周的平均銷售量為

0.857(架)

n充分大時

需求不超過存量,需求被售需求超過存量,存量被售思考：為什么每周的平均銷售量略小于平均需求量?2.估計每周的平均銷售量存貯策略的評價指標每周平均需求量1架0.857敏感性分析

當平均需求在每周1架)附近波動時，最終結(jié)果有多大變化。

設Dn服從均值

的泊松分布

狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣

0.80.91.01.11.2P0.0730.0890.1050.1220.139第n周(n充分大)失去銷售機會的概率

當平均需求(=1.0)增長(或減少)10%時，失去銷售機會的概率P將增長(或減少)約15%.存貯策略(周末庫存0則訂購3架,否則不訂購)已定,計算兩個指標(失去銷售的概率和每周平均銷售量).對其他存貯策略(周末庫存為0或1則訂購使下周初庫存為3架,否則不訂購),討論這兩個指標(復習題).動態(tài)隨機存貯策略是馬氏鏈的典型應用.關(guān)鍵是在無后效性的前提下恰當?shù)囟x系統(tǒng)的狀態(tài)變量(本例是每周初的庫存量).小結(jié)與評注8.8基因遺傳背景

生物的外部表征由內(nèi)部相應的基因決定.

基因分優(yōu)勢基因d

和劣勢基因r

兩種.

每種外部表征由兩個基因決定,每個基因可以是d,r中的任一個.形成3種基因類型：

dd~優(yōu)種D,dr~混種H,rr~劣種R.

基因類型為優(yōu)種和混種,外部表征呈優(yōu)勢；基因類型為劣種,外部表征呈劣勢.

生物繁殖時后代隨機地（等概率地）繼承父、母的各一個基因，形成它的兩個基因.

父母的基因類型決定后代基因類型的概率.完全優(yōu)勢基因遺傳父母基因類型決定后代各種基因類型的概率父母基因類型組合后代各種基因類型的概率DDRRDHDRHHHRDRH1000011/21/200101/41/21/401/21/23種基因類型：dd~優(yōu)種D,dr~混種H,rr~劣種R完全優(yōu)勢基因遺傳P(D

DH)=P(dd

dd,dr)=P(d

dd)P(d

dr)P(R

HH)=P(rr

dr,dr)=P(r

dr)P(r

dr)=11/2=1/2=1/21/2=1/4繁殖過程中用一混種與一個個體交配,所得后代仍用混種交配,如此繼續(xù).混種繁殖基因遺傳i=1~優(yōu)種D,i=2~混種H,i=3~劣種R.馬氏鏈的狀態(tài)由基因類型定義：以馬氏鏈為工具討論混種繁殖、優(yōu)種繁殖

、近親繁殖

3個基因遺傳模型.父母基因類型DHHHHR后代基因類型D1/21/40H1/21/21/2R01/41/2狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣pij~從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到j的概率混種繁殖初始時混種與優(yōu)種交配：a(0)=[1,0,0]

多代繁殖后,優(yōu)種、混種、劣種的比例接近1:2:1.k012345

∞a1(k)11/23/85/169/3217/64

1/4a2(k)01/21/21/21/21/2

1/2a3(k)001/83/167/3215/64

1/4

a(k)=[a1(k),a2(k),a3(k)]~狀態(tài)概率(第k代個體具有第i

種基因類型的概率).混種繁殖容易檢驗

P2>0

初始時混種與混種交配：a(0)=[0,1,0]混種與劣種交配：a(0)=[0,0,1].穩(wěn)態(tài)概率可由

解出

馬氏鏈是正則鏈a=[1/4,1/2,

1/4]

與a(0)=[1,0,0]的結(jié)果相同.優(yōu)種繁殖

繁殖過程中用一優(yōu)種與一個個體交配,所得后代仍用優(yōu)種交配,如此繼續(xù).馬氏鏈狀態(tài)和狀態(tài)概率定義與混種繁殖相同.轉(zhuǎn)移概率矩陣父母基因類型DDDHDR后代基因類型D11/20H01/21R000優(yōu)種繁殖

吸收鏈的轉(zhuǎn)移矩陣R中有非零元素多代繁殖后,都趨向于優(yōu)種.農(nóng)業(yè)、畜牧業(yè)生產(chǎn)中純種(優(yōu)種或劣種)的抗病性等品質(zhì)不如混種.混種繁殖比優(yōu)種繁殖的效果好.I0RQ馬氏鏈是吸收鏈,優(yōu)種dd(i=1)是吸收態(tài).近親繁殖在一對父母的大量后代中,雄雌隨機配對繁殖，討論一系列后代的基因類型的演變過程。狀態(tài)定義為配對的基因類型組合Xn=1,2,3,4,5,6~配對基因組合為DD,RR,DH,DR,HH,HR狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率馬氏鏈模型I0RQ狀態(tài)1(DD),2(RR)是吸收態(tài)，馬氏鏈是吸收鏈——不論初始如何，經(jīng)若干代近親繁殖，將全變?yōu)閮?yōu)種或劣種.計算從任一非吸收態(tài)出發(fā)，平均經(jīng)過幾代被吸收態(tài)吸收.純種(優(yōu)種和劣種)的某些品質(zhì)不如混種，近親繁殖下大約5~6代就需重新選種.近親繁殖小結(jié)與評注有的隨機轉(zhuǎn)移過程粗看不具無后效性,但通過擴充狀態(tài)能改變其性質(zhì),仍然可以構(gòu)建馬氏鏈模型.狀態(tài)轉(zhuǎn)移無后效性是馬氏鏈模型的先決條件.恰當?shù)囟x狀態(tài)和狀態(tài)概率,并構(gòu)造轉(zhuǎn)移概率矩陣是建立馬氏鏈模型的關(guān)鍵.馬氏鏈模型在經(jīng)濟、社會、生態(tài)、遺傳等許多領域有著廣泛應用.8.9自動化車床管理全國大學生數(shù)學建模競賽1999年A題以發(fā)表在《數(shù)學的實踐與認識》2000年第1期上參賽學生的優(yōu)秀論文和評述文章為材料,加以整理和歸納,介紹建模的全過程.問題一道工序用自動化車床連續(xù)加工某種零件,由于刀具損壞等原因該工序會出現(xiàn)故障,其中刀具損壞故障占95%,其它故障僅占5%.工序出現(xiàn)故障是完全隨機的,假定在生產(chǎn)任一零件時出現(xiàn)故障的機會均相同.工作人員通過檢查零件來確定工序是否出現(xiàn)故障.現(xiàn)積累有100次刀具故障記錄,故障出現(xiàn)時該刀具完成的零件數(shù)如附表.現(xiàn)計劃在刀具加工一定件數(shù)后定期更換新刀具.已知生產(chǎn)工序的費用參數(shù)如下:故障時產(chǎn)出的零件損失費用f=200元/件;進行檢查的費用t=10元/次;發(fā)現(xiàn)故障進行調(diào)節(jié)使恢復正常的平均費用d=3000元/次(包括刀具費);未發(fā)現(xiàn)故障時更換一把新刀具的費用k=1000元/次.1)假定工序故障時產(chǎn)出的零件均為不合格品,正常時產(chǎn)出的零件均為合格品,試對該工序設計效益最好的檢查間隔(生產(chǎn)多少零件檢查一次)和刀具更換策略.問題2)如果該工序正常時產(chǎn)出的零件不全是合格品,有2%為不合格品;而工序故障時產(chǎn)出的零件有40%為合格品,60%為不合格品.工序正常而誤認有故障停機產(chǎn)生的損失費用為1500元/次.對該工序設計效益最好的檢查間隔和刀具更換策略.3)在2)的情況,可否改進檢查方式獲得更高的效益.附:100次刀具故障記錄(完成的零件數(shù)):459362624542509584433748815505

（從略）問題問題分析

確定更換周期,到期即便刀具運行正常也需更換.更換周期是檢查間隔的整數(shù)倍。生產(chǎn)過程中需通過對零件的及時檢查發(fā)現(xiàn)設備(如本題的刀具)運行的故障,加以維修或更換.由于刀具壽命有限,運行一定時間即使未出現(xiàn)故障也進行預防性更換,以減少帶故障運行的損失.刀具的檢查和更換策略：

確定檢查間隔(以生產(chǎn)的零件數(shù)計量),每次檢查時若發(fā)現(xiàn)故障立即更換刀具.首先需根據(jù)題目給出的刀具故障記錄,找出刀具刀具壽命(無故障時間)的概率分布(以故障出現(xiàn)時完成的零件數(shù)計量).問題1要求：設計效益最好的檢查間隔

(生產(chǎn)多少零件檢查一次)和刀具更換策略.題目給出檢查、更換、零件損失等費用,且刀具發(fā)生故障是隨機的，所以用每生產(chǎn)一個零件總費用的期望值最小為目標.問題分析

這兩種情況增加了建模的復雜性.“工序會出現(xiàn)故障,其中刀具損壞故障占95%,其它故障僅占5%.”

題目有兩個附加內(nèi)容一.其它故障的影響二.零件檢查存在誤判的影響“工序正常時產(chǎn)出的零件不全是合格品,有2%為不合格品;而工序故障時產(chǎn)出的零件有40%為合格品,60%為不合格品.”問題分析

經(jīng)統(tǒng)計檢驗,刀具壽命(無故障時間)服從正態(tài)分布N(

,

2).對“100次刀具故障記錄(完成的零件數(shù)):459362624542509584433

”作直方圖.近似于正態(tài)分布,均值

=600,均方差

=196.檢查間隔、更換周期、刀具壽命均以故障出現(xiàn)時完成的零件數(shù)計量.建模準備

1.n~檢查間隔,m~更換周期,s~檢查次數(shù),m=sn.2.檢查發(fā)現(xiàn)零件不合格,判斷刀具故障,立即更換.3.檢查間隔很短(相對于刀具壽命),認為在相鄰兩

次檢查之間每個零件出現(xiàn)故障是等概率的.4.刀具壽命X~N(600,1962),

F(x),f(x)~分布,密度函數(shù).5.檢查費t=10元/次