金融工程學(xué)(期貨)第三章 遠(yuǎn)期和期貨的定價(jià)

第三章：遠(yuǎn)期和期貨的定價(jià)遠(yuǎn)期和期貨市場概述

遠(yuǎn)期合約（ForwardContracts）是指雙方約定在未來的某一確定時(shí)間，按確定的價(jià)格買賣一定數(shù)量的某種商品（或金融資產(chǎn)）的合約。如果信息是對稱的，而且合約雙方對未來的預(yù)期相同，那么合約雙方所選擇的交割價(jià)格應(yīng)使合約的價(jià)值在簽署合約時(shí)等于零。這意味著無需成本就可處于遠(yuǎn)期合約的多頭或空頭狀態(tài)。

遠(yuǎn)期價(jià)格與遠(yuǎn)期價(jià)值我們把使得遠(yuǎn)期合約價(jià)值為零的交割價(jià)格稱為遠(yuǎn)期價(jià)格。

遠(yuǎn)期價(jià)格是跟標(biāo)的物的現(xiàn)貨價(jià)格緊密相聯(lián)的，而遠(yuǎn)期價(jià)值則是指遠(yuǎn)期合約本身的價(jià)值，它是由遠(yuǎn)期實(shí)際價(jià)格與遠(yuǎn)期理論價(jià)格的差距決定的。在合約簽署時(shí)，若交割價(jià)格等于遠(yuǎn)期理論價(jià)格，則此時(shí)合約價(jià)值為零。但隨著時(shí)間推移，遠(yuǎn)期理論價(jià)格有可能改變，而原有合約的交割價(jià)格則不可能改變，因此原有合約的價(jià)值就可能不再為零。

遠(yuǎn)期合約是適應(yīng)規(guī)避現(xiàn)貨交易風(fēng)險(xiǎn)的需要而產(chǎn)生的。遠(yuǎn)期合約是非標(biāo)準(zhǔn)化合約。靈活性較大是遠(yuǎn)期合約的主要優(yōu)點(diǎn)。在簽署遠(yuǎn)期合約之前，雙方可以就交割地點(diǎn)、交割時(shí)間、交割價(jià)格、合約規(guī)模、標(biāo)的物的品質(zhì)等細(xì)節(jié)進(jìn)行談判，以便盡量滿足雙方的需要。遠(yuǎn)期合約的缺點(diǎn)首先，由于遠(yuǎn)期合約沒有固定的、集中的交易場所，不利于信息交流和傳遞，不利于形成統(tǒng)一的市場價(jià)格，市場效率較低。其次，由于每份遠(yuǎn)期合約千差萬別，這就給遠(yuǎn)期合約的流通造成較大不便，因此遠(yuǎn)期合約的流動(dòng)性較差。最后，遠(yuǎn)期合約的履約沒有保證，當(dāng)價(jià)格變動(dòng)對一方有利時(shí)，對方有可能無力或無誠意履行合約，因此遠(yuǎn)期合約的違約風(fēng)險(xiǎn)較高。

金融遠(yuǎn)期合約的種類遠(yuǎn)期利率協(xié)議（ForwardRateAgreements，簡稱FRA）是買賣雙方同意從未來某一商定的時(shí)期開始在某一特定時(shí)期內(nèi)按協(xié)議利率借貸一筆數(shù)額確定、以具體貨幣表示的名義本金的協(xié)議。

所謂遠(yuǎn)期利率是指現(xiàn)在時(shí)刻的將來一定期限的利率。如1

4遠(yuǎn)期利率，即表示1個(gè)月之后開始的期限3個(gè)月的遠(yuǎn)期利率。一般地說，如果現(xiàn)在時(shí)刻為t，T時(shí)刻到期的即期利率為r，T*時(shí)刻（）到期的即期利率為，則t時(shí)刻的期間的遠(yuǎn)期利率可以通過下式求得：

連續(xù)復(fù)利假設(shè)數(shù)額A以利率R投資了n年。如果利息按每一年計(jì)一次復(fù)利，則上述投資的終值為：

如果每年計(jì)m次復(fù)利，則終值為：當(dāng)m趨于無窮大時(shí)，就稱為連續(xù)復(fù)利（Continuouscompounding），此時(shí)的終值為

設(shè)Rc是連續(xù)復(fù)利利率，Rm是與之等價(jià)的每年計(jì)m次復(fù)利利率，于是：

當(dāng)即期利率和遠(yuǎn)期利率所用利率均為連續(xù)復(fù)利時(shí)，即期利率和遠(yuǎn)期利率的關(guān)系為：tTT*遠(yuǎn)期外匯合約遠(yuǎn)期外匯合約（ForwardExchangeContracts）是指雙方約定在將來某一時(shí)間按約定的遠(yuǎn)期匯率買賣一定金額的某種外匯的合約。遠(yuǎn)期股票合約遠(yuǎn)期股票合約（Equityforwards）是指在將來某一特定日期按特定價(jià)格交付一定數(shù)量單個(gè)股票或一攬子股票的協(xié)議。

金融期貨合約（FinancialFuturesContracts）是指協(xié)議雙方同意在約定的將來某個(gè)日期按約定的條件（包括價(jià)格、交割地點(diǎn)、交割方式）買入或賣出一定標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量的某種金融工具的標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)議。合約中規(guī)定的價(jià)格就是期貨價(jià)格(FuturesPrice)。

金融期貨交易的特征

期貨合約均在交易所進(jìn)行，交易雙方不直接接觸，而是各自跟交易所的清算部或?qū)ＴO(shè)的清算公司結(jié)算。期貨合約的買者或賣者可在交割日之前采取對沖交易以結(jié)束其期貨頭寸（即平倉），而無須進(jìn)行最后的實(shí)物交割。期貨合約的合約規(guī)模、交割日期、交割地點(diǎn)等都是標(biāo)準(zhǔn)化的，即在合約上有明確的規(guī)定，無須雙方再商定。期貨交易是每天進(jìn)行結(jié)算的，而不是到期一次性進(jìn)行的，買賣雙方在交易之前都必須在經(jīng)紀(jì)公司開立專門的保證金賬戶。

期貨市場的功能套期保值(Hedging)價(jià)格發(fā)現(xiàn)（MarketMaking）期貨合約與遠(yuǎn)期合約比較標(biāo)準(zhǔn)化程度不同

交易場所不同違約風(fēng)險(xiǎn)不同價(jià)格確定方式不同履約方式不同

合約雙方關(guān)系不同結(jié)算方式不同

區(qū)分兩類資產(chǎn)一類是眾多投資者僅為了進(jìn)行投資而持有的資產(chǎn)

另一類是幾乎完全為了進(jìn)行消費(fèi)而持有的資產(chǎn)投資性資產(chǎn)的定價(jià)無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)

組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r（T－t）的現(xiàn)金；組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)。

f+Ke-r（T－t）=Sf=S－Ke-r（T－t）無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值等于標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格與交割價(jià)格現(xiàn)值的差額?，F(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)定理F=Ser（T－t）對于無收益資產(chǎn)而言，遠(yuǎn)期價(jià)格等于其標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格的終值。

假設(shè)F>Ser（T－t），即交割價(jià)格大于現(xiàn)貨價(jià)格的終值。在這種情況下，套利者可以按無風(fēng)險(xiǎn)利率r借入S現(xiàn)金，期限為T－t。然后用S購買一單位標(biāo)的資產(chǎn)，同時(shí)賣出一份該資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約，交割價(jià)格為F。在T時(shí)刻，該套利者就可將一單位標(biāo)的資產(chǎn)用于交割換來F現(xiàn)金，并歸還借款本息Ser（T－t），這就實(shí)現(xiàn)了F－Ser（T－t）的無風(fēng)險(xiǎn)利潤。若F<Ser（T－t），即交割價(jià)值小于現(xiàn)貨價(jià)格的終值。套利者就可進(jìn)行反向操作，即賣空標(biāo)的資產(chǎn)，將所得收入以無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行投資，期限為T-t，同時(shí)買進(jìn)一份該標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約，交割價(jià)為F。在T時(shí)刻，套利者收到投資本息Ser（T－t），并以F現(xiàn)金購買一單位標(biāo)的資產(chǎn)，用于歸還賣空時(shí)借入的標(biāo)的資產(chǎn)，從而實(shí)現(xiàn)Ser（T－t）-F的利潤。遠(yuǎn)期價(jià)格的期限結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)期價(jià)格的期限結(jié)構(gòu)描述的是不同期限遠(yuǎn)期價(jià)格之間的關(guān)系。設(shè)F為在T時(shí)刻交割的遠(yuǎn)期價(jià)格，F(xiàn)*為在T*時(shí)刻交割的遠(yuǎn)期價(jià)格,r為T時(shí)刻到期的無風(fēng)險(xiǎn)利率,r*為T*時(shí)刻到期的無風(fēng)險(xiǎn)利率,為T到T*時(shí)刻的無風(fēng)險(xiǎn)遠(yuǎn)期利率。

F=Ser（T－t）

兩式相除消掉S后,我們可以得到不同期限遠(yuǎn)期價(jià)格之間的關(guān)系：

支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約定價(jià)的一般方法組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r（T－t）的現(xiàn)金;組合B：一單位標(biāo)的證券加上利率為無風(fēng)險(xiǎn)利率、期限為從現(xiàn)在到現(xiàn)金收益派發(fā)日、本金為I的負(fù)債。

f+Ke-r（T－t）=S-If=S-I-Ke-r（T－t）支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭價(jià)值等于標(biāo)的證券現(xiàn)貨價(jià)格扣除現(xiàn)金收益現(xiàn)值后的余額與交割價(jià)格現(xiàn)值之差。根據(jù)F的定義，我們可從上式求得：

F=(S-I)er（T－t）

(1)這就是支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)公式。其表明，支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格等于標(biāo)的證券現(xiàn)貨價(jià)格與已知現(xiàn)金收益現(xiàn)值差額的終值。證明如果，則借金額為S的資金，購買資產(chǎn)，賣出遠(yuǎn)期合約。到時(shí)刻T時(shí)，依照合約中約定條款，資產(chǎn)以價(jià)格F賣出。用所得收入償還部分借款，則還有金額的借款要在T時(shí)刻歸還。于是在時(shí)刻T，實(shí)現(xiàn)的利潤為如果，則賣出資產(chǎn)，將所得收入進(jìn)行投資，同時(shí)購買遠(yuǎn)期合約，在時(shí)刻T時(shí)，實(shí)現(xiàn)利潤支付已知收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約定價(jià)的一般方法組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r（T－t）的現(xiàn)金；組合B：e-q（T－t）單位證券并且所有收入都再投資于該證券，其中q為該資產(chǎn)按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的已知收益率。支付已知收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格：

一般結(jié)論設(shè)合約簽署初始的交割價(jià)格為K，當(dāng)前遠(yuǎn)期價(jià)格為F，則遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值為f,遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格的關(guān)系

當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)利率恒定，且對所有到期日都不變時(shí)，交割日相同的遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格應(yīng)相等。

當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率呈正相關(guān)時(shí)，期貨價(jià)格高于遠(yuǎn)期價(jià)格。相反，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率呈負(fù)相關(guān)性時(shí)，遠(yuǎn)期價(jià)格就會(huì)高于期貨價(jià)格。

股票指數(shù)期貨的定價(jià)大部分指數(shù)可看成支付紅利的證券（計(jì)算指數(shù)的股票組合），證券所支付的紅利就是該組合的持有人收到的紅利。根據(jù)合理的近似，可以認(rèn)為紅利是連續(xù)支付的，設(shè)為紅利支付率，則指數(shù)期貨增長率S：當(dāng)前指數(shù)價(jià)格F：當(dāng)前指數(shù)期貨價(jià)格q：指數(shù)收益率T：指數(shù)期貨有效期Fτ：時(shí)刻τ的指數(shù)期貨價(jià)格Sτ：時(shí)刻τ的指數(shù)即期價(jià)格x：構(gòu)成指數(shù)的股票組合超過無風(fēng)險(xiǎn)收益利率r的超額收益因此，。而（支付已知紅利率證券的遠(yuǎn)期合約），。于是， 期貨價(jià)格的增長率等于該指數(shù)的超額收益利用指數(shù)期貨對沖某個(gè)證券組合

CAPM:Ri-r=Π：該證券組合的價(jià)值

G：一份期貨合約標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值（如果一份合約價(jià)值是指數(shù)的m倍，則G=mF）于是，對沖時(shí)應(yīng)賣空的最佳合約數(shù)量為：βΠ/G（將股票組合的β變?yōu)椋埃├?

某公司想用還有4個(gè)月有效期的S&P500指數(shù)合約來對沖一個(gè)價(jià)值為2,100,000的股票組合。現(xiàn)在指數(shù)起期貨價(jià)格為300，組合的β值為1.5.

一個(gè)指數(shù)期貨合約的價(jià)值為: 300*500=150,000

應(yīng)該賣出的指數(shù)期貨合約數(shù)量為: 5*2,100,000/150,000=21股指期貨最小方差對沖率（續(xù)）S=股指現(xiàn)貨指數(shù)∏=現(xiàn)貨組合的總市值F=股指期貨的價(jià)格G=一份期貨合約的賬面價(jià)值

=mFNs=持有現(xiàn)貨的指數(shù)單位數(shù)量Nf=持有期貨合約的數(shù)量Ns=∏÷S初期設(shè)定為t=0,期末設(shè)定為t=1期初，對沖者在現(xiàn)貨市場上為多頭，因此在期貨市場上賣出Nf份合約。T=1時(shí)刻投資者結(jié)清所持有的頭寸對沖組合的價(jià)值變化為：△V=現(xiàn)貨市場頭寸變化+期貨市場頭寸變化=Ns（S1-S0)+Nf(F1-F0)m對沖組合的方差=NS2Var(△S)+(Nfm)2Var(△F)+2NsNfmcov(△S,△F)此方差對Nf求微分，并令求等于=0，解得：Nf=-(Ns/m)(cov(△S,△F)/var(△F)=(∏/mS0)如何求得？可以用△S對△F回歸的回歸系數(shù)求得。特別地，如果投資者手中的股票組合精確地反映了股指期貨標(biāo)的物指數(shù)，則對沖所需的期貨合約數(shù)為：當(dāng)我們用通常的證券組合貝塔而非上述絕對量貝塔時(shí)，上述結(jié)論會(huì)發(fā)生些變化。可以證明:所以，最小方差對沖所需要的最優(yōu)期貨合約數(shù)為：

上述公式的好處是：可以直接應(yīng)用基于貝塔資料庫中的證券組合貝塔值：即值得注意：如果市場指數(shù)和