數(shù)學(xué)分析93可積條件

第九章定積分可積條件一、可積的必需條件定理：若函數(shù)f在[a,b]上可積，則f在[a,b]上必然有界.證：若f在[a,b]上無界，則對于[a,b]的任一切割T，必存在屬于T的某個小區(qū)間△k，f在△k上無界.在i≠k的各個小區(qū)間△iif(ξi)△xi|.上任取ξ，并記G=|ik對隨意大的正數(shù)M，存在ξkkkMG，于是有∈△，使得|f(ξ)|>△xk|f(ξ)△xkkf(ξ)△xi|>MG·△xk-G=M.ii|≥|f(ξ)△x|-|i△xkikik所以，對于不論多小的║T║，按上述方法選用的點集{ξi}，總能使積分和的絕對值大于任何早先給出的正數(shù)，與f在[a,b]上可積矛盾.∴原命題得證.注：任何可積函數(shù)有界，但有界函數(shù)不必定可積。例1：證明狄利克雷函數(shù)D(x)=1，x為有理數(shù)，上有界但不行積.，為無理數(shù)在[0,1].0x證：∵|D(x)|≤1,x∈[0,1]，∴D(x)在[0,1]上有界.又對于[0,1]的任一切割T，由有理數(shù)和無理數(shù)在實數(shù)中的濃密可知，在屬于T的任一小區(qū)間△iin)△xi=1；上，當取ξ全為有理數(shù)時，i1nD(ξi)△xi=0.即不論║T║多么小，只需當取ξi全為無理數(shù)時，i1點集{ξi}取法不一樣（全取有理數(shù)或全取無理數(shù)），積分和有不一樣極限，D(x)在[0,1]上不行積.二、可積的充要條件設(shè)f在[a,b]上有界，T是[a,b]上的任一切割，則在每個△i存在上、下確界：Mi=supf(x)，mi=inff(x)，i=1,2,,n.x

i

x

in

n記

S(T)=

Mi

xi

,s(T)=

mi

xi

，分別稱為

f對于切割

T的上和與下和i1

i1(或稱為達布上和與達布下和，統(tǒng)稱為達布和)，則任給ξiin,i=1,2,,n，有s(T)≤f(ξi)△xi≤S(T).∈△i1注：達布和與點集{ξi}沒關(guān)，只與切割T相關(guān).定理：(可積準則)函數(shù)f在[a,b]上可積的充要條件是：任給ε>0，總存在相應(yīng)的一個切割T，使得S(T)-s(T)<ε.注：設(shè)ωiiiiif，則有=M-m，稱為f在△上的振幅，可記為ωnωi△xi.S(T)-s(T)=ωi△xi，可記作i1T定理’：函數(shù)f在[a,b]上可積的充要條件是：任給ε>0，總存在相應(yīng)的某一切割T，使ωi△xiεT<.可積的充要條件的幾何意義：若f在[a,b]上可積，則如圖，只需切割充分地細，包圍曲線y=f(x)的一系列小矩形面積之和能夠達到隨意?。环粗嗳?三、可積函數(shù)類定理：若f為[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則f在[a,b]上可積.證：f在[a,b]上連續(xù)，進而一致連續(xù).∴任給ε>0，存在δ>0，對[a,b]中隨意兩點x’,x”，只需|x’-x”|<δ，就有|f(x’)-f(x”)|<ε.ba對[a,b]作切割T使║T║<δ，則在T所屬的任一區(qū)間△i上，就能使f的振幅知足ωisup|f(x’)-f(x”)|ε，進而有x,xibaωi△xi≤ε△xi=ε，原命題得證.TbaT定理：若f為[a,b]上只有有限個中斷點的有界函數(shù)，則f在[a,b]上可積.證：設(shè)端點b是f在[a,b]上的中斷點，任給ε>0，取δ’>0，知足εδ’<2(Mm)

<b-a，此中M與m分別為f在[a,b]上的上確界與下確界.當m=M時,f為常量函數(shù)，可積.當m<M時，記f在小區(qū)間△’=[b-δ’,b]上的振幅為ω’，則ω’δ’<(M-m)·ε=ε.又f在[a,b-δ’]上連續(xù)，所以可積.2(Mm)2∴對[a,b-δ’]存在某個切割T’={△1△2△n-1}，使得ωi△xi<ε,,,.T2令△n=△’，則T={△1,△2,,△n-1,△n}是對[a,b]的一個切割，對于T，有ω△xi=ω△xεεω’δ’ε∴在上可積TT22同理可證f在[a,b]上存在其余中斷點時，原命題仍建立.定理：若f是[a,b]上的單一函數(shù)，則f在[a,b]上可積.證：設(shè)f為增函數(shù)，且f(a)<f(b).對[a,b]的任一切割T，由f的增性，在T所屬的每個小區(qū)間△i上的振幅為ωi=f(xi)-f(xi-1)，于是有ωi△xi≤[f(xi)-f(xi-1)]T=[f(b)-f(a)]║T║.可見，TT任給ε>0，只需║T║<ε，就有ω△xε∴在[a,b]上可積.f(b)f(b)ii<.fT注：單一函數(shù)有無窮多個中斷點仍可積.0，x0，例2：試用兩種方法證明函數(shù)f(x)=1，11，n1,2,nn1<xn在區(qū)間[0,1]上可積.證法一：在[0,1]上任取兩點x1<x2.若1<x1<x2≤1,n=1,2，則f(x1)=f(x2)；n1n若11121或11≤121nnnn2n11n11=f(x1)<f(x2)=1或1=f(x1)<f(x2)=1.n2nnn1同理可證，當x1212<x時，f(x)≤f(x)，∴f在[0,1]上的單一增.f在[0,1]上可積.證法二：任給ε>0，∵lim1=0，∴當n充分大時，有1<ε.nnn2即f在[ε,1]上只有有限個中斷點.∴f在[ε,1]上可積，且22存在對[ε的某一切割’，使得ωi△xi<ε,1]T2.2T∴對[0,1]的一個切割T，由f在[0,ε02ωi△xi=ω0εωi△xi<εεε∴在[0,1]上可積.+2+=.fTT221，xp互素，qp.例3：證明黎曼函數(shù)f(x)=qq，以及內(nèi)的無理數(shù)x0,1(0,1).0在區(qū)間[0,1]上可積，且1f(x)dx=0.0證：任給ε>0，在[0,1]內(nèi)使得1>ε的有理點p只有有限個，q2q設(shè)它們?yōu)閞12k12n},使║T║<ε，,r,r.現(xiàn)對[0,1]作切割T={△,△,,△2k將T中全部小區(qū)間分為{△i’|i=1,2,,m}和{△i”|i=1,2,,n-m}兩類，此中{△i’}為含有點{ri|i=1,2,,k}的全部小區(qū)間，其個數(shù)m≤2k.而{△i”}為T中全部其父不含{ri}的小區(qū)間.∵f在△i’上的振幅ωi’≤1，∴mωi△xi≤1m△xi≤1·2k║T║<ε，2i12i122又f在△iiεn-mεn-m△xiε，∴ωi△xi≤<.”上的振幅ω”≤22i1i12nmn-m<ε+ε=ε，∴f在區(qū)間[0,1]上可積.∴ωi△xi=ωi△xi+ωi△xii1i1i122當取ξ1nξi，∴f(x)dx=limf(ξi)△xi=0.f()=00T0i1習(xí)題1、證明：若T’是T增添若干個分點后所得的切割，則ωi△xi≤ωi△xi.TT證：依題意s(T’)≤s(T),S(T’)≥S(T).∴s(T’)-S(T’)≤s(T)-S(T)，得證.2、證明：若f在[a,b]上可積，[α,β]?[a,b]，則f在[α,β]上也可積.證：∵f在[a,b]上可積，∴任給ε>0，總存在相應(yīng)的一個切割T，使得S(T)-s(T)<ε.又[α,β]?[a,b]，∴在[α,β]上存在相應(yīng)的一個切割T’，T’是T減少若干個分點所點后所得的切割，即有s(T’)≥s(T),S(T’)≤S(T).∴S(T’)-s(T’)≤S(T)-s(T)<ε，得證.3、設(shè)f,g均為定義在[a,b]上的有界函數(shù).證明：若僅在[a,b]中有限個點處f(x)≠g(x)，則當f在[a,b]上可積時，g在[a,b]上也可積，且bbf(x)dx=g(x)dx.aa證：記F=g-f，則F在[a,b]上只有有限個點不為零，∴F是[a,b]上可積.對[a,b]上任何切割T，取每個△iii上的介點ξ，使F(ξ)=0，就有f(ξi)△xibn=0.=0aT0i1又對隨意T，和每個△i上的隨意一點ξi’，有g(shù)(ξ)△xi=[g(ξ)-f(ξ)]△xi+f(ξ)△xi=F(ξ)△xi+f(ξ)△xi.iiiiii由F,f在[a,b]上可積，令║T║→0，等式右側(cè)兩式極限都存在，∴等式左側(cè)的極限也存在，即g在[a,b]上可積，且bg=bF+bf=bf.aaaa4、設(shè)f在[a,b]上有界，{an}?[a,b]，liman=c.證明：n若f在[a,b]上只有an(n=1,2,)為此中斷點，則f在[a,b]上可積.證：設(shè)c∈(a,b)，f在[a,b]上的振幅為ω，任給ε>0(ε<min{c-a,b-c})，4ω由liman=c知存在N，使得n>N時，an∈U(c,ε)，進而n4ω在[a,c-ε]∪[c+ε,b]上至多只有有限個中斷點，即4ω4ω存在[a,c-εε,b]上的切割’”使得ωi△xi<εωi△xi<ε4ω],[c+T,T,.4ωT4T4記T為T’,T”的全部分點并添上點c-ε,c+ε作為[a,b]上的切割，則4ω4ωωi△xi≤ωi△xi+ω(c+ε-c