高中數(shù)學(xué)課時達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（十七）空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（十七）［即時達(dá)標(biāo)對點(diǎn)練]題組1空間向量的基底1．在四面體ABCD中，可以作為空間向量的一個基底的是（)2．設(shè)x＝a＋b,y＝b＋c，z＝c＋a，且｛a，b，c｝是空間的一個基底,給出下列向量組：①｛a，b,x｝，②｛x，y，z｝，③{b，c,z｝，④{x,y，a＋b＋c}，其中可以作為空間一個基底的向量組有()A．1個B．2個C．3個D．4個3．已知{e1,e2，e3}是空間的一個基底，若λe1＋μe2＋ve3＝0，則λ2＋μ2＋v2＝________．題組2用基底表示空間向量4．在正方體ABCD.A1B1C1D1中，設(shè)＝c，A1C1與B1D1的交點(diǎn)為E，則BE→＝________．5．如圖，四棱錐P。OABC的底面為一矩形，設(shè)，E，F(xiàn)分別是PC和PB的中點(diǎn),用a，b，c表示.題組3空間向量的坐標(biāo)表示6．設(shè){e1，e2，e3｝是空間向量的一個單位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，則a,b的坐標(biāo)分別為________．7．棱長為1的正方體ABCD.A1B1C1D1中，E,F，G分別為棱DD1，D1C1,BC的中點(diǎn)，以為基底，求下列向量的坐標(biāo)：8．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，并且PA＝AD＝1，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系并寫出向量的坐標(biāo)．［能力提升綜合練]1．設(shè)p：a,b,c是三個非零向量；q:{a，b，c｝為空間的一個基底,則p是q的（)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．若向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)M、A、B、C互不重合且無三點(diǎn)共線，且滿足下列關(guān)系（O是空間任一點(diǎn)），則能使向量成為空間一個基底的關(guān)系是(）3．已知空間四邊形OABC，其對角線為AC,OB，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是MN的中點(diǎn),則等于（）4．已知空間的一個基底{a，b，c｝，m＝a－b＋c,n＝xa＋yb＋c,若m與n共線，則x＝________,y＝________．5．正方體ABCD.A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別是底面A1C1和側(cè)面CD1的中心，若＝0（λ∈R）,則λ＝________．6．如圖所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，P是CA′的中點(diǎn)，M是CD′的中點(diǎn),N是C′D′的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a,b，c｝表示以下向量：7．已知｛i，j，k｝是空間的一個基底，設(shè)a1＝2i－j＋k,a2＝i＋3j－2k,a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k.試問是否存在實(shí)數(shù)λ，μ，υ，使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立?如果存在，求出λ,μ,υ的值，如果不存在,請給出證明．答案即時達(dá)標(biāo)對點(diǎn)練1。答案：D2。解析：選C如圖，令a＝，b＝，,z＝，a＋b＋c＝.由A，B1，C，D1四點(diǎn)不共面,可知向量x,y，z也不共面，同理b,c,z和x，y，a＋b＋c也不共面，故選C.3.解析：∵{e1,e2,e3}是空間的一個基底，∴e1，e2，e3為不共面的向量．又∵λe1＋μe2＋ve3＝0，∴λ＝μ＝v＝0，∴λ2＋μ2＋v2＝0。答案:04.答案:－eq\f（1，2）a＋eq\f（1，2）b＋c5。6.解析：由于｛e1,e2，e3｝是空間向量的一個單位正交基底，所以a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3，7)．答案：a＝（4,－8，3)，b＝(－2,－3，7）7。解：（1）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，1，\f（1，2））)，＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1，\f(1,2),0）），＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，1)）.8。解:如圖，延長DA到E，使AE＝DA。因?yàn)镻A＝AE＝AB＝1,且PA⊥平面ABCD,AE⊥AB，所以可設(shè)，以｛e1，e2,e3｝為基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.能力提升綜合練1.解析：選B當(dāng)非零向量a,b,c不共面時，{a，b，c｝可以當(dāng)基底，否則不能當(dāng)基底,當(dāng)｛a，b,c}為基底時，一定有a，b,c為非零向量．因此pq，q?p.2。3.4.解析:因?yàn)閙與n共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc,于是有eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝λ，）)解得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1。)）答案:1－15。解析：如圖，連接A1C1,C1D，A1D，則E在A1C1上，F(xiàn)在C1D上，易知EFeq\f(1，2）A1D,∴λ＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)6.解:連接AC,AD′，AC′。(1)＝eq\f(1，2)（a＋b＋c）．(2）＝eq\f（1，2)(a＋2b＋c）．7。解:假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，μ，υ使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立，則有3i＋2j＋5k＝λ（2i－j＋k）＋μ（i＋3j－2k)＋υ(－2i＋j－3k）＝（2λ＋μ－2υ)i＋(－λ＋3μ＋υ)j＋（λ－2μ－3υ）k.∵{i，k，j}是一組基底,∴i，j，k不共面．∴eq\b\l