第1講 模型理論、數(shù)學(xué)模型2011

模型與算法主講人趙鵬pzhao@Tel.516867631一、主要內(nèi)容1模型

1.1模型模型概述、模型方法的基本特征

1.2數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型的種類(lèi)、建模過(guò)程、數(shù)學(xué)模型的例

1.3模型化理論2算法

2.1算法分析算法概述、算法的復(fù)雜性、p類(lèi)和NP類(lèi)問(wèn)題

2.2算法設(shè)計(jì)的基本方法窮舉法、登山法、遞歸法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法、回溯法

2.3啟發(fā)式算法遺傳算法、模擬退火算法、禁忌搜索算法、局域搜索算法、蟻群算法3算法的應(yīng)用

TSP問(wèn)題2二、教學(xué)及考試方法1講課教師講課、學(xué)生講課

(有關(guān)交通運(yùn)輸?shù)闹饕Ｐ图霸u(píng)述；TSP問(wèn)題的算法及評(píng)述；背包問(wèn)題)10組，10分鐘關(guān)于模型、10分鐘關(guān)于算法2作業(yè)演算及編程3成績(jī)平時(shí)成績(jī)、考試成績(jī)3三、參考文獻(xiàn)《模型與算法》楊浩《數(shù)學(xué)建?！啡~其孝等譯機(jī)械工業(yè)出版社《算法設(shè)計(jì)與分析》電子工業(yè)、清華大學(xué)出版社《算法導(dǎo)論》科曼等著，潘金貴等譯《遺傳算法》《模擬退火算法》《禁忌算法》

其他4三、參考文獻(xiàn)5三、參考文獻(xiàn)6三、參考文獻(xiàn)7三、參考文獻(xiàn)8四、典型問(wèn)題

一個(gè)商人欲到n個(gè)城市推銷(xiāo)商品，每?jī)蓚€(gè)城市i和j之間的距離為dij，如何選擇一條道路使得商人每個(gè)城市走一遍后回到起點(diǎn)且走過(guò)路徑最短。tsp.txt

有N件物品和一個(gè)容量為V的背包。第i件物品的費(fèi)用是c[i]，價(jià)值是w[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費(fèi)用總和不超過(guò)背包容量，且價(jià)值總和最大。背包問(wèn)題旅行商TSP(TravelingSalesmanProblem)9一個(gè)小游戲在正方形的場(chǎng)地內(nèi)(中心點(diǎn))有一匹狼，在正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上各有一條狗，兩條及以上的狗可以打敗狼(一條狗則被狼打敗)，已知狗的奔跑速度是狼的1.5倍，問(wèn)狗能否不讓狼逃出？若能，狗采用什么策略？

請(qǐng)給出數(shù)學(xué)證明或算法！10第一章模型理論1.1關(guān)于模型1.2模型化理論1.3數(shù)學(xué)模型111.1關(guān)于模型1.1.1模型的概念

模型不是研究對(duì)象本身，而是對(duì)研究對(duì)象的一種抽象，它反映現(xiàn)實(shí)中的對(duì)象系統(tǒng)的主要特征，但它又高于現(xiàn)實(shí)，因而具有同類(lèi)問(wèn)題的共性。由于研究目的不同，對(duì)于同一個(gè)對(duì)象系統(tǒng)，可以建立完全不同的模型，分別反映該系統(tǒng)的不同的側(cè)面；出于相同的研究目的，對(duì)于同一個(gè)對(duì)象系統(tǒng)，也可能建立不同的模型，反映不同的研究角度、考察因素和價(jià)值取向。模型:模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物。模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征12模型的特征

模型是對(duì)系統(tǒng)的抽象或模仿模型由說(shuō)明系統(tǒng)本質(zhì)或特征的諸因素構(gòu)成模型集中地表明系統(tǒng)因素之間的相互關(guān)系例：肥胖程度的模型：男、女，身高牛頓第二定律：F=ma1.1.2模型的本質(zhì)131.1.2模型的本質(zhì)模型是系統(tǒng)中各種關(guān)系的表達(dá)形式模型是認(rèn)識(shí)與實(shí)踐活動(dòng)的中介模型和認(rèn)識(shí)間存在密切的反饋關(guān)系模型化的過(guò)程模型的本質(zhì)（基于目的）14151.1.3模型的分類(lèi)原樣模型

原樣模型是在工程開(kāi)發(fā)末期建立的一種具象實(shí)體，是具有實(shí)物形態(tài)的模型。相似模型

相似模型是根據(jù)不同系統(tǒng)間的相似規(guī)律（包括幾何相似、邏輯相似和過(guò)程相似等）而建立的用于研究的模型。

圖形模型

圖形模型可以表達(dá)非常豐富的內(nèi)容，主要有：圖畫(huà)草圖框圖邏輯圖工程圖圖論圖

數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型是指用數(shù)學(xué)符號(hào)和公式表達(dá)研究對(duì)象系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或過(guò)程的模型。161.1.4建模途徑

兩類(lèi)方法：演繹法和歸納法演繹法：運(yùn)用先驗(yàn)，建立某些假設(shè)和原理，通過(guò)數(shù)學(xué)的邏輯演繹建立模型。

歸納法：基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立系統(tǒng)模型的方法。具體途徑：

1)對(duì)于內(nèi)部結(jié)構(gòu)和特性清楚的系統(tǒng)，即白盒系統(tǒng)，可以利用已知的一些基本定律，經(jīng)過(guò)分析和演繹導(dǎo)出系統(tǒng)模型。

2)對(duì)于那些內(nèi)部結(jié)構(gòu)和特性不清楚或很不清楚的系統(tǒng)，即所謂的黑盒和灰盒，如果允許直接進(jìn)行實(shí)驗(yàn)性觀測(cè)，則可假設(shè)模型并通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)假設(shè)的模型加以驗(yàn)證和修正。

3)對(duì)于屬于黑盒但又不允許直接實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的系統(tǒng)，可采用數(shù)據(jù)收集和統(tǒng)計(jì)歸納的方法來(lái)假設(shè)模型。171.1.5模型的有效性實(shí)際系統(tǒng)數(shù)據(jù)和模型產(chǎn)生的數(shù)據(jù)之間的符合程度，用下式象征性地描述：實(shí)際系統(tǒng)數(shù)據(jù)=？模型產(chǎn)生的數(shù)據(jù)模型有效的三個(gè)級(jí)別1)復(fù)制有效(ReplicativelyValid)

模型產(chǎn)生的輸入輸出數(shù)據(jù)與實(shí)際系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)是匹配的。這類(lèi)有效只能描述實(shí)際系統(tǒng)過(guò)去的行為或試驗(yàn)，不能說(shuō)明實(shí)際系統(tǒng)將來(lái)的行為，是低水平的有效。2)預(yù)測(cè)有效(PredictivelyValid)

對(duì)實(shí)際系統(tǒng)的內(nèi)部運(yùn)行情況了解清楚，掌握了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)及總體結(jié)構(gòu)，可預(yù)測(cè)實(shí)際系統(tǒng)的將來(lái)的狀態(tài)和行為變化，但對(duì)實(shí)際系統(tǒng)內(nèi)部的分解結(jié)構(gòu)尚不了解，在實(shí)際系統(tǒng)獲得數(shù)據(jù)之前，能夠由模型看出相應(yīng)的數(shù)據(jù)，模型預(yù)測(cè)有效。3)結(jié)構(gòu)有效(StructurallyValid)

搞清系統(tǒng)內(nèi)部之間的關(guān)系，了解系統(tǒng)的內(nèi)部分解結(jié)構(gòu)，把實(shí)際系統(tǒng)描述為許多子系統(tǒng)相互連接起來(lái)而構(gòu)成的整體。結(jié)構(gòu)有效是模型有效的最高級(jí)別，它不但能重復(fù)被觀察的實(shí)際系統(tǒng)行為，且能反映實(shí)際系統(tǒng)產(chǎn)生這個(gè)行為的操作過(guò)程。181.2模型方法的基本特征1.2.1模型方法的綜合性

復(fù)雜系統(tǒng)的建模必須依靠各行各業(yè)的專(zhuān)家、各種方法綜合集成、多因素多視角的立體思維和多學(xué)科知識(shí)的融合、交叉和滲透。這就要求系統(tǒng)建模具備綜合的觀念、綜合的方法、綜合的評(píng)價(jià)、綜合的原則和綜合的技能。同時(shí)需要建立一支由不同知識(shí)結(jié)構(gòu)組成的、運(yùn)用自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的理論和方法的可以互相補(bǔ)充、啟迪和豐富的知識(shí)信息綜合體的系統(tǒng)隊(duì)伍，進(jìn)行集體研究和聯(lián)合攻關(guān)。綜合是模型方法的基礎(chǔ)，綜合性是模型方法的一個(gè)基本特征。191.2.2模型方法的創(chuàng)造性建模與創(chuàng)造性

(1)直接利用、模仿現(xiàn)有模型；(2)對(duì)現(xiàn)有模型進(jìn)行改進(jìn)、提高、完善和更新；(3)建立全新的模型。

所謂創(chuàng)造力，是指首創(chuàng)前所未有的、具有社會(huì)價(jià)值的精神產(chǎn)品或物質(zhì)產(chǎn)品的能力；創(chuàng)造性是提出新的設(shè)想、創(chuàng)造新事物的能力，也就是能產(chǎn)生出新設(shè)想的創(chuàng)造性思維能力、新產(chǎn)品開(kāi)發(fā)能力和生產(chǎn)力轉(zhuǎn)化及其社會(huì)價(jià)值的實(shí)現(xiàn)能力。

創(chuàng)造性是模型方法的靈魂。20系統(tǒng)建模的困難性和挑戰(zhàn)性

系統(tǒng)運(yùn)行的機(jī)制或機(jī)理尚不十分清楚，現(xiàn)有的系統(tǒng)辨識(shí)理論和方法仍有局限性。（天氣預(yù)報(bào)）

需要?jiǎng)?chuàng)造性地探索解決系統(tǒng)的辨識(shí)問(wèn)題—事故機(jī)理(脫軌)

系統(tǒng)運(yùn)行機(jī)理雖然較清，但數(shù)學(xué)工具不夠，無(wú)法描述

創(chuàng)造性構(gòu)模問(wèn)題—非平行運(yùn)行圖的鋪畫(huà)方案數(shù)量模型

系統(tǒng)模型可描述，但方案數(shù)量巨大，計(jì)算機(jī)難以尋優(yōu)

創(chuàng)造性解決快速尋優(yōu)近似算法在實(shí)踐中，始終需要探索模型方法同其它方法相結(jié)合的新途徑。例如專(zhuān)家系統(tǒng)、人工智能、決策支持和情景分析等方法，這需要我們進(jìn)行創(chuàng)造性的研究和開(kāi)發(fā)。21

創(chuàng)造力的培養(yǎng)世界觀－－唯物辯證實(shí)證精神自主精神理性精神規(guī)律意識(shí)懷疑意識(shí)要加強(qiáng)基礎(chǔ)理論，不斷更新專(zhuān)業(yè)知識(shí)和拓展知識(shí)面。注意從實(shí)踐中學(xué)習(xí)和吸取新的知識(shí)、積累新經(jīng)驗(yàn)。重視不同學(xué)科知識(shí)間的嫁接、融合、交叉和滲透。培養(yǎng)和訓(xùn)練創(chuàng)造性的科學(xué)思維方法－－擴(kuò)散思維與集中思維相接合22新聞：您在科學(xué)網(wǎng)談到，認(rèn)真是獲得諾貝爾獎(jiǎng)的最重要原因之一。很多看了您博客的人都感慨，這顛覆了我們之前的認(rèn)識(shí)——獲獎(jiǎng)的人都是天才。我們相信，能獲獎(jiǎng)的人肯定會(huì)有一些別人不具備的素質(zhì)，或者付出了別人難以企及的努力，但您為什么會(huì)格外強(qiáng)調(diào)認(rèn)真呢？饒毅：做科學(xué)，有很聰明的人；也有智力一般、但很認(rèn)真的人。智力高的人認(rèn)真少一些、可能有時(shí)也能做出杰出工作。但其實(shí)，有很多實(shí)驗(yàn)科學(xué)，即使依靠嚴(yán)謹(jǐn)、認(rèn)真和堅(jiān)持也能做出重要工作。

聰明是少數(shù)人擁有的，不能要求誰(shuí)都聰明。而認(rèn)真是大家普遍可以做到的事情，多強(qiáng)調(diào)才有意義。

當(dāng)然，單靠認(rèn)真做出非常突出工作的比例較低，需要較多的人認(rèn)真工作才能產(chǎn)生少量非常突出的工作。也正因?yàn)槿绱?，普通人靠認(rèn)真而做到諾貝爾獎(jiǎng)水平的工作，也就表明這個(gè)國(guó)家有很多人在認(rèn)真做科學(xué)技術(shù)，反映這個(gè)國(guó)家的科學(xué)技術(shù)不僅發(fā)達(dá)、而且普遍。

新聞：在您博客的跟帖中有人提到，“只強(qiáng)調(diào)認(rèn)真會(huì)誤導(dǎo)大眾，強(qiáng)烈的興趣和對(duì)科學(xué)發(fā)展方向的卓越洞察力才是獲得諾貝爾獎(jiǎng)的重要原因”，對(duì)這個(gè)說(shuō)法，您怎么看？

饒毅：這是兒童故事里的說(shuō)法。你如果認(rèn)識(shí)較多科學(xué)家，就知道各種各樣的都有。興趣很重要，洞察力卻是很多科學(xué)家不具備的，只有很少人有，如果都要卓越洞察力，那多數(shù)人今天都應(yīng)該引咎辭職。

做科學(xué)研究，興趣強(qiáng)烈是很重要的，但是能拿到諾貝爾獎(jiǎng)的人，也許并不是真的對(duì)科學(xué)有興趣，因?yàn)楣亩龅煤芎玫娜耍泊笥腥嗽?，可能多?shù)美國(guó)的諾貝爾獎(jiǎng)獲得者都屬于功利心很強(qiáng)的人，雖然他們得獎(jiǎng)后都不好意思這么說(shuō)。23

模型在系統(tǒng)開(kāi)發(fā)中的作用可簡(jiǎn)單概括為模型的適用性和有效性,即:模型揭示客觀事物的狀態(tài)及其變化。模型適用于反映人們對(duì)客觀事物認(rèn)識(shí)的思維過(guò)程并有效地幫助發(fā)展這種思維過(guò)程。1.2.3模型在系統(tǒng)開(kāi)發(fā)中的作用24原樣模型的作用原樣模型是工程實(shí)體的雛形，通過(guò)原樣模型可得到工程實(shí)體的外形、尺寸、運(yùn)用、效能及成本等方面的大量信息，相當(dāng)多的新系統(tǒng)或新產(chǎn)品開(kāi)發(fā)，即使象氫彈、航天飛機(jī)、高速鐵路動(dòng)車(chē)組等都要經(jīng)過(guò)樣品研發(fā)和實(shí)驗(yàn)運(yùn)行才能進(jìn)入正式生產(chǎn)和使用。相似模型的作用相似模型是通過(guò)替代物體與真實(shí)物體間的相似關(guān)系來(lái)完成開(kāi)發(fā)工程的一些局部或整體性能研究。如高速飛行器的風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?、河流堤壩的水力學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?、鐵路編組站自動(dòng)化駝峰實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷?。相似性是建立在系統(tǒng)間共有特性基礎(chǔ)上的特征相似。25符號(hào)模型的作用符號(hào)模型，包括圖形模型和數(shù)學(xué)模型，前者的簡(jiǎn)明性和直觀性，在確定問(wèn)題和表達(dá)系統(tǒng)開(kāi)發(fā)的新思想和新概念時(shí)常常有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)及作用，后者則是對(duì)現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的更為精練和更為抽象的概括和描述。各種模型在系統(tǒng)工程開(kāi)發(fā)循環(huán)中的地位

26

舉例：排隊(duì)系統(tǒng)建模27運(yùn)輸“舒適性”概念的界定

1.運(yùn)輸舒適性是對(duì)旅客運(yùn)輸而言2.舒適性是旅客對(duì)運(yùn)輸服務(wù)的主觀（生理、心理）感受形成的運(yùn)輸質(zhì)量需求－視覺(jué)、嗅覺(jué)、觸覺(jué)、聽(tīng)覺(jué)、疲勞、綜合感受（體驗(yàn)）3.舒適性反映經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和居民消費(fèi)水平

舉例：運(yùn)輸“舒適性”模型

—高速鐵路的一個(gè)重要研究領(lǐng)域運(yùn)輸“舒適性”概念開(kāi)發(fā)的主要內(nèi)容乘車(chē)旅行的舒適性概念舒適性的衡量舒適度與其它需求質(zhì)量指標(biāo)的關(guān)系28

乘車(chē)旅行的舒適性概念設(shè)備條件運(yùn)輸線路的平穩(wěn)性設(shè)計(jì)：曲線過(guò)渡的均勻、超高（欠超高）合理無(wú)縫線路技術(shù)采用（減少?zèng)_擊、震動(dòng)）維護(hù)：質(zhì)量良好，線路平順29

車(chē)輛（載體）車(chē)輛（載體）提供良好的旅行服務(wù)設(shè)施有足夠的活動(dòng)空間，不產(chǎn)生擁擠之感；良好的照明、采光設(shè)備（光線柔和、可調(diào)）；良好的通風(fēng)和空氣（溫度、濕度）自動(dòng)調(diào)節(jié)設(shè)備；良好的封閉性和隔音性（車(chē)門(mén)、車(chē)窗、側(cè)壁、地毯）；空氣清新，無(wú)煙塵、濁氣（禁煙車(chē)箱）；符合人機(jī)工程的座椅、臥鋪設(shè)計(jì)（形狀、沖填材料）；良好的衛(wèi)生設(shè)備（盥洗、廁所、廢棄物收集處理）；減震設(shè)備(震動(dòng)、搖晃和顛簸)和緩沖向心力的設(shè)備(擺式車(chē)體)；尊重、保護(hù)個(gè)人隱私的設(shè)施：（單間、包房）；休息設(shè)施：座席及長(zhǎng)途列車(chē)的臥鋪；飲食與通信、娛樂(lè)設(shè)施：餐車(chē)（酒巴）、飲水茶爐、列車(chē)電話、廣播、影視設(shè)備。車(chē)輛維護(hù)：保持良好的走行、電氣、空調(diào)、性能、質(zhì)量衛(wèi)生整備，清掃，消毒，殺蟲(chóng)、滅鼠30

服務(wù)條件⑴提供衛(wèi)生文明的旅行服務(wù)衛(wèi)生、餐飲，休息，娛樂(lè)，信息，乘降⑵營(yíng)造適宜的旅行環(huán)境車(chē)內(nèi)：語(yǔ)言、舉止、著裝、儀表車(chē)外：沿途綠化⑶良好的服務(wù)態(tài)度，努力幫助旅客解決旅行困難31列車(chē)駕駛技術(shù)：平穩(wěn)（上下顛簸、左右搖晃、前后沖撞）駕駛，變速自然，啟動(dòng)、制動(dòng)過(guò)渡平穩(wěn)運(yùn)輸組織管理提高列車(chē)速度，縮短旅行時(shí)間，減少路途疲勞增加列車(chē)頻次，減少換乘等待時(shí)間，防止超員擁擠使用動(dòng)車(chē)組，減少機(jī)車(chē)換掛，長(zhǎng)交路，縮短旅行時(shí)間乘車(chē)的旅客群體小環(huán)境文明素質(zhì)：遵章守紀(jì)，文明禮讓?zhuān)焉瓶捎H，互相尊重列車(chē)與乘務(wù)管理立法、宣傳、教育、培訓(xùn)；評(píng)價(jià)、激勵(lì)、獎(jiǎng)懲；

32

舒適性的衡量指標(biāo)體系溫度；濕度；空氣質(zhì)量(粉塵、CO2及有害氣體含量)；照度；密封度；躁聲烈度；震動(dòng)強(qiáng)度、平穩(wěn)度；人均活動(dòng)空間(擁擠度)；疲勞度；旅行服務(wù)設(shè)施完備度；服務(wù)規(guī)范化程度站車(chē)清潔度(廢棄物生成量及處理率)；臥具、飲水、食品的衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)各指標(biāo)的權(quán)重指標(biāo)達(dá)成度旅客滿意度（問(wèn)卷調(diào)查）

33

舒適度與其它需求質(zhì)量指標(biāo)的關(guān)系安全：擁擠度、密封度、平穩(wěn)度、迅速：旅行速度、疲勞度方便：設(shè)施完備度經(jīng)濟(jì)：運(yùn)輸成本（投資、運(yùn)營(yíng)費(fèi)用）和旅客支付承受能力不同經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平對(duì)舒適度要求不同，相同經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平下不同需求層次對(duì)舒適性要求不同，需要對(duì)主流消費(fèi)群體的需求水平的界定34

數(shù)學(xué)模型（MathematicalModel）

是用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等對(duì)實(shí)際課題本質(zhì)屬性的抽象而又簡(jiǎn)潔的刻劃，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測(cè)未來(lái)的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。

數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling）

應(yīng)用知識(shí)從實(shí)際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。

1.3

數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模35數(shù)學(xué)模型：1）近藤次郎（日）的定義：數(shù)學(xué)模型是將現(xiàn)象的特征或本質(zhì)給以數(shù)學(xué)表述的數(shù)學(xué)關(guān)系式。它是模型的一種。2）本德（美）的定義：數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界和為一種特殊目的而作的一個(gè)抽象的簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。3）姜啟源（中）的定義：是指對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定對(duì)象，為了某個(gè)特定的目的，做出一些必要的簡(jiǎn)化和假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。36數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：是指數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)關(guān)系式、數(shù)學(xué)命題、圖形圖表等，這些基于數(shù)學(xué)思想與方法的數(shù)學(xué)問(wèn)題?？傊瑪?shù)學(xué)模型是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的一種抽象，基于數(shù)學(xué)理論和方法，用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)關(guān)系式、數(shù)學(xué)命題、圖形圖表等來(lái)刻畫(huà)客觀事物的本質(zhì)屬性與其內(nèi)在聯(lián)系。古希臘時(shí)期：“數(shù)理是宇宙的基本原理”文藝復(fù)興時(shí)期：應(yīng)用數(shù)學(xué)來(lái)闡明現(xiàn)象“進(jìn)行嘗試”微積分法的產(chǎn)生，使得數(shù)學(xué)與世界密切聯(lián)系起來(lái)，用公式、圖表、符號(hào)反映客觀世界越來(lái)越廣泛，越來(lái)越精確。37費(fèi)馬（P.Fermal1601-1665）用變分法表示“光沿著所需時(shí)間最短的路徑前進(jìn)”牛頓（Newton1642-1727）將力學(xué)法則用單純的數(shù)學(xué)式表達(dá)，如，牛頓第二定律：結(jié)合開(kāi)普勒三定律得出萬(wàn)有引力定律38

例（萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn)）

十五世紀(jì)中期，哥白尼提出了震驚世界的日心說(shuō)。丹麥著名的實(shí)驗(yàn)天文學(xué)家第谷花了二十多年時(shí)間觀察紀(jì)錄下了當(dāng)時(shí)已發(fā)現(xiàn)的五大行星的運(yùn)動(dòng)情況。第谷的學(xué)生和助手開(kāi)普勒對(duì)這些資料進(jìn)行了九年時(shí)間的分析計(jì)算后得出著名的Kepler三定律。牛頓根據(jù)開(kāi)普勒三定律和牛頓第二定律，利用微積分方法推導(dǎo)出牛頓第三定律即萬(wàn)有引力定律。1.行星軌道是一個(gè)橢圓，太陽(yáng)位于此橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。2.行星在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積不變。3.行星運(yùn)行周期的平方正比于橢圓長(zhǎng)半軸的三次方，比例系數(shù)不隨行星而改變（絕對(duì)常數(shù)）開(kāi)普勒三大定律

這其中必定是某一力學(xué)規(guī)律的反映，哼哼，我要找出它。。。。

39問(wèn)題：將四條腿一樣長(zhǎng)的正方形椅子放在不平的地面上，是否總能設(shè)法使它的四條腿同時(shí)著地，即放穩(wěn)。假設(shè)

1）地面為光滑曲面；

2）相對(duì)地面的彎曲程度而言，椅子的腿是足夠長(zhǎng)的；

3）只要有一點(diǎn)著地就視為已經(jīng)著地，即將與地面的接觸視為幾何上的點(diǎn)接觸；

4）椅子的中心不動(dòng)?！?.3.1基本數(shù)學(xué)建模示例40xyAABBCCDDO2建模分析表示A,C與地面距離之和表示B,D與地面距離之和則由三點(diǎn)著地，有不失一般性，設(shè)初始時(shí)：41假設(shè)：是的連續(xù)函數(shù)，且對(duì)任意，求證：至少存在，使得數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)命題：.424模型求解證明：將椅子轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)角線互換，由可得令由的連續(xù)性，根據(jù)介值定理，在中至少存在一點(diǎn),使得,即又所以結(jié)論：能放穩(wěn)。43連續(xù)函數(shù)的介值定理oxyab44思考題1：長(zhǎng)方形的椅子會(huì)有同樣的性質(zhì)嗎？45例1

某人平時(shí)下班總是按預(yù)定時(shí)間到達(dá)某處，然然后他妻子開(kāi)車(chē)接他回家。有一天，他比平時(shí)提早了三十分鐘到達(dá)該處，于是此人就沿著妻子來(lái)接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他比平時(shí)提前了十分鐘到家，問(wèn)此人共步行了多長(zhǎng)時(shí)間？

似乎條件不夠哦。。

換一種想法，問(wèn)題就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍載著他開(kāi)往會(huì)合地點(diǎn)，那么這一天他就不會(huì)提前回家了。提前的十分鐘時(shí)間從何而來(lái)？

顯然是由于節(jié)省了從相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)，又從會(huì)合點(diǎn)返回相遇點(diǎn)這一段路的緣故，故由相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)需開(kāi)5分鐘。而此人提前了三十分鐘到達(dá)會(huì)合點(diǎn)，故相遇時(shí)他已步行了二十五分鐘。

請(qǐng)思考一下，本題解答中隱含了哪些假設(shè)？數(shù)學(xué)模型的例46例2

某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回A地。問(wèn)：在什么條件下，可以保證途中至少存在一地，此人在兩天中的同一時(shí)間到達(dá)該地。分析

本題多少有點(diǎn)象數(shù)學(xué)中解的存在性條件及證明，當(dāng)然，這里的情況要簡(jiǎn)單得多。

假如我們換一種想法，把第二天的返回改變成另一人在同一天由B去A，問(wèn)題就化為在什么條件下，兩人至少在途中相遇一次，這樣結(jié)論就很容易得出了：只要任何一人的到達(dá)時(shí)間晚于另一人的出發(fā)時(shí)間，兩人必會(huì)在途中相遇。（請(qǐng)自己據(jù)此給出嚴(yán)格證明）

數(shù)學(xué)模型的例47例3

交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時(shí)，有一個(gè)過(guò)渡狀態(tài)——亮一段時(shí)間的黃燈。請(qǐng)分析黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久。設(shè)想一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假如你能停住，請(qǐng)立即停車(chē)。停車(chē)是需要時(shí)間的，在這段時(shí)間內(nèi)，車(chē)輛仍將向前行駛一段距離L。這就是說(shuō)，在離街口距離為L(zhǎng)處存在著一條停車(chē)線（盡管它沒(méi)被畫(huà)在地上），見(jiàn)圖1-4。對(duì)于那些黃燈亮?xí)r已過(guò)線的車(chē)輛，則應(yīng)當(dāng)保證它們?nèi)阅艽┻^(guò)馬路。

馬路的寬度D是容易測(cè)得的，問(wèn)題的關(guān)鍵在于L的確定。為確定L，還應(yīng)當(dāng)將L劃分為兩段：L1和L2，其中L1是司機(jī)在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應(yīng)當(dāng)剎車(chē)的反應(yīng)時(shí)間內(nèi)駛過(guò)的路程，L2為剎車(chē)制動(dòng)后車(chē)輛駛過(guò)的路程。L1較容易計(jì)算，交通部門(mén)對(duì)司機(jī)的平均反應(yīng)時(shí)間t1早有測(cè)算，反應(yīng)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)將考不出駕照），而此街道的行駛速度v也是交管部門(mén)早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，從而L1=v*t1。剎車(chē)距離L2既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計(jì)算出來(lái)。黃燈究竟應(yīng)當(dāng)亮多久現(xiàn)在已經(jīng)變得清楚多了。第一步，先計(jì)算出L應(yīng)多大才能使看見(jiàn)黃燈的司機(jī)停得住車(chē)。第二步，黃燈亮的時(shí)間應(yīng)當(dāng)讓已過(guò)線的車(chē)順利穿過(guò)馬路，即T至少應(yīng)當(dāng)達(dá)到（L+D）/v。

DL數(shù)學(xué)模型的例48例4

餐館每天都要洗大量的盤(pán)子，為了方便，某餐館是這樣清洗盤(pán)子的：先用冷水粗粗洗一下，再放進(jìn)熱水池洗滌，水溫不能太高，否則會(huì)燙手，但也不能太低，否則不干凈。由于想節(jié)省開(kāi)支，餐館老板想了解一池?zé)崴降卓梢韵炊嗌俦P(pán)子，請(qǐng)你幫他建模分析一下這一問(wèn)題。盤(pán)子有大小嗎?是什么樣的盤(pán)子？盤(pán)子是怎樣洗的?………不妨假設(shè)我們了解到：盤(pán)子大小相同，均為瓷質(zhì)菜盤(pán)，洗滌時(shí)先將一疊盤(pán)子浸泡在熱水中，然后一清洗。

不難看出，是水的溫度在決定洗盤(pán)子的數(shù)量

。盤(pán)子是先用冷水洗過(guò)的，其后可能還會(huì)再用清水沖洗，更換熱水并非因?yàn)樗K了，而是因?yàn)樗粔驘崃恕?/p>

那么熱水為什么會(huì)變冷呢？假如你想建一個(gè)較精細(xì)的模型，你當(dāng)然應(yīng)當(dāng)把水池、空氣等吸熱的因素都考慮進(jìn)去，但餐館老板的原意只是想了解一下一池?zé)崴骄蠹s可以洗多少盤(pán)子，殺雞焉用牛刀？

不妨可以提出以下簡(jiǎn)化假設(shè)：（1）水池、空氣吸熱不計(jì)，只考慮盤(pán)子吸熱，盤(pán)子的大小、材料相同（2）盤(pán)子初始溫度與氣溫相同，洗完后的溫度與水溫相同（3）水池中的水量為常數(shù)，開(kāi)始溫度為T(mén)1，最終換水時(shí)的溫度為T(mén)2（4）每個(gè)盤(pán)子的洗滌時(shí)間△T是一個(gè)常數(shù)。（這一假設(shè)甚至可以去掉不要）根據(jù)上述簡(jiǎn)化假設(shè)，利用熱量守衡定律，餐館老板的問(wèn)題就很容易回答了，當(dāng)然，你還應(yīng)當(dāng)調(diào)查一下一池水的質(zhì)量是多少，查一下瓷盤(pán)的吸熱系數(shù)和質(zhì)量等。

可見(jiàn)，假設(shè)條件的提出不僅和你研究的問(wèn)題有關(guān)，還和你準(zhǔn)備利用哪些知識(shí)、準(zhǔn)備建立什么樣的模型以及你準(zhǔn)備研究的深入程度有關(guān)，即在你提出假設(shè)時(shí)，你建模的框架已經(jīng)基本搭好了。數(shù)學(xué)模型的例49例5將形狀質(zhì)量相同的磚塊一一向右往外疊放，欲盡可能地延伸到遠(yuǎn)方，問(wèn)最遠(yuǎn)可以延伸多大距離。設(shè)磚塊是均質(zhì)的，長(zhǎng)度與重量均為1，其重心在中點(diǎn)1/2磚長(zhǎng)處，現(xiàn)用歸納法推導(dǎo)。

Zn(n－1)n(n＋1)由第n塊磚受到的兩個(gè)力的力矩相等，有：

1/2-Zn=(n－1)Zn故Zn=1/(2n)，從而上面n塊磚向右推出的總距離為，故磚塊向右可疊至任意遠(yuǎn)

，這一結(jié)果多少有點(diǎn)出人意料。

數(shù)學(xué)模型的例50例6某人住在某公交線附近，該公交線路為在A、B兩地間運(yùn)行，每隔10分鐘A、B兩地各發(fā)出一班車(chē)，此人常在離家最近的C點(diǎn)等車(chē)，他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)令他感到奇怪的現(xiàn)象：在絕大多數(shù)情況下，先到站的總是由B去A的車(chē)，難道由B去A的車(chē)次多些嗎？請(qǐng)你幫助他找一下原因AB發(fā)出車(chē)次顯然是一樣多的，否則一處的車(chē)輛將會(huì)越積越多。由于距離不同，設(shè)A到C行駛31分鐘，B到C要行駛30分鐘，考察一個(gè)時(shí)間長(zhǎng)度為10分鐘的區(qū)間，例如，可以從A方向來(lái)的車(chē)駛離C站時(shí)開(kāi)始，在其后的9分鐘內(nèi)到達(dá)的乘客見(jiàn)到先來(lái)的車(chē)均為B開(kāi)往A的，僅有最后1分鐘到達(dá)的乘客才見(jiàn)到由A來(lái)的車(chē)先到。由此可見(jiàn)，如果此人到C站等車(chē)的時(shí)間是隨機(jī)的，則他先遇上B方向來(lái)的車(chē)的概率為90%

。數(shù)學(xué)模型的例51例7飛機(jī)失事時(shí)，黑匣子會(huì)自動(dòng)打開(kāi)，發(fā)射出某種射線。為了搞清失事原因，人們必須盡快找回匣子。確定黑匣子的位置，必須確定其所在的方向和距離，試設(shè)計(jì)一些尋找黑匣子的方法。由于要確定兩個(gè)參數(shù)，至少要用儀器檢測(cè)兩次，除非你事先知道黑匣子發(fā)射射線的強(qiáng)度。數(shù)學(xué)模型的例52方法一點(diǎn)光源發(fā)出的射線在各點(diǎn)處的照度與其到點(diǎn)光源的距離的平方成反比，即黑匣子所在方向很容易確定，關(guān)鍵在于確定距離。設(shè)在同一方向不同位置檢測(cè)了兩次，測(cè)得的照度分別為I1和I2，兩測(cè)量點(diǎn)間的距離為a，則有53方法二在方法一中，兩檢測(cè)點(diǎn)與黑匣子位于一直線上，這一點(diǎn)比較容易做到，主要缺點(diǎn)是結(jié)果對(duì)照度測(cè)量的精度要求較高，很少的誤差會(huì)造成結(jié)果的很大變化，即敏感性很強(qiáng)，現(xiàn)提出另一方法，在A點(diǎn)測(cè)得黑匣子方向后，到B點(diǎn)再測(cè)方向，AB

距離為a

，∠BAC=α，∠ABC=β，利用正弦定理得出d=asinα/sin(α+β)

。需要指出的是，當(dāng)黑匣子位于較遠(yuǎn)處而α又較小時(shí)，α+β可能非常接近π（∠ACB接近于0），而sin（α+β）又恰好位于分母上，因而對(duì)結(jié)果的精確性影響也會(huì)很大，為了使結(jié)果較好，應(yīng)使a也相對(duì)較大。BACaαβ5437支球隊(duì)進(jìn)行冠軍爭(zhēng)奪賽，每輪比賽中出場(chǎng)的每?jī)芍蜿?duì)中的勝者及輪空者進(jìn)入下一輪，直至比賽結(jié)束。問(wèn)共需進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？一般思維：逆向思維：每場(chǎng)比賽淘汰一名失敗球隊(duì)，只有一名冠軍，即就是淘汰了36名球隊(duì)，因此比賽進(jìn)行了36場(chǎng)。思考題551）按變量的性質(zhì)分離散模型確定性模型線性模型單變量模型連續(xù)模型隨機(jī)性模型非線性模型多變量模型§1.3.2

模型的分類(lèi)56常用的單因素變量模型類(lèi)型表達(dá)式圖象常量型漸升(降)型階躍型尖峰型57類(lèi)型表達(dá)式圖像高速增長(zhǎng)(下降)型階躍恢復(fù)型龔帕茲曲線型生長(zhǎng)型二次曲線型583）按模型的應(yīng)用領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分人口模型、交通模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型、生物數(shù)學(xué)模型、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型、地質(zhì)數(shù)學(xué)模型、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型、數(shù)學(xué)社會(huì)學(xué)模型等。4）按建立模型的數(shù)學(xué)方法（或所屬數(shù)學(xué)分支）分初等模型、幾何模型、線性代數(shù)模型、微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、運(yùn)籌學(xué)模型等。2）按時(shí)間變化對(duì)模型的影響分靜態(tài)模型參數(shù)定常模型動(dòng)態(tài)模型參數(shù)時(shí)變模型595）按建模目的分描述性模型、分析模型、預(yù)報(bào)模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等。6）按對(duì)模型結(jié)構(gòu)的了解程度分白箱模型：其內(nèi)在機(jī)理相當(dāng)清楚的學(xué)科問(wèn)題，包括力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)等?；蚁淠Ｐ停浩鋬?nèi)在機(jī)理尚不十分清楚的現(xiàn)象和問(wèn)題，包括生態(tài)、氣象、經(jīng)濟(jì)、交通等。黑箱模型：其內(nèi)在機(jī)理（數(shù)量關(guān)系）很不清楚的現(xiàn)象，如生命科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等。60

數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測(cè)試分析根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對(duì)象看作“黑箱”,通過(guò)對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒(méi)有統(tǒng)一的方法，主要通過(guò)實(shí)例研究(CaseStudies)來(lái)學(xué)習(xí)。二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測(cè)試分析確定模型參數(shù)§1.3.3

建立數(shù)學(xué)模型的方法和過(guò)程61

數(shù)學(xué)建模的一般過(guò)程了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的‘問(wèn)題’形成問(wèn)題：假設(shè)與簡(jiǎn)化：針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中腦海里可以想象一下運(yùn)籌學(xué)中的問(wèn)題與模型62用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題發(fā)揮想像力使用類(lèi)比法盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具

數(shù)學(xué)建模的一般過(guò)程建立模型：模型的檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)：如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性63各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)

數(shù)學(xué)建模的一般過(guò)程模型的改進(jìn)：現(xiàn)實(shí)世界形成問(wèn)題模型應(yīng)用簡(jiǎn)化問(wèn)題歸結(jié)模型模型評(píng)價(jià)模型求解模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷那蠼猓?4數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問(wèn)題“翻譯”成數(shù)學(xué)問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐65建模示例1初等模型

四足動(dòng)物的身長(zhǎng)和體重問(wèn)題問(wèn)題：四足動(dòng)物的軀干（不包括頭尾）的長(zhǎng)度和它的體重有什么關(guān)系？§1.3.4

建立數(shù)學(xué)模型假設(shè)：四足動(dòng)物的軀干為圓柱體，質(zhì)量為，長(zhǎng)度為,斷面面積為，直徑為。建模：重量實(shí)際中，根據(jù)動(dòng)物進(jìn)化，不同種類(lèi)的動(dòng)物其截面積與長(zhǎng)度之比可視為常數(shù)，即66所以，得出：重量與長(zhǎng)度的平方成正比。即注意：這個(gè)公式要在實(shí)際中檢驗(yàn)，基本符合實(shí)際，就可作為經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)應(yīng)用，否則要重新建立和完善模型。事實(shí)上，與實(shí)際吻合不好。假設(shè)：四足動(dòng)物軀干為一根支撐在四肢上的彈性梁。為下垂度，即梁的最大彎曲度。由彈性理論:67

為相對(duì)下垂度，其值太大，四肢無(wú)法支撐；其值過(guò)小，四肢的材料和尺寸超過(guò)了支撐身體的需要，是一種浪費(fèi)。因此，從生物角度可以認(rèn)為，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期進(jìn)化，對(duì)于每一種動(dòng)物，已經(jīng)達(dá)到其合適的數(shù)值，即是一個(gè)常數(shù)（不同種類(lèi)的動(dòng)物此值不盡相同），于是因?yàn)榧?8而所以結(jié)論：此公式比較符合于實(shí)際，可在實(shí)際中推廣使用。

，可以由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)找出。69建模示例2初等模型

雙層玻璃的功效問(wèn)題北方城鎮(zhèn)的窗戶玻璃是雙層的,這樣做主要是為室內(nèi)保溫目的,試用數(shù)學(xué)建模的方法給出雙層玻璃能減少熱量損失的定量分析結(jié)果。

模型準(zhǔn)備熱傳導(dǎo)物理定律:厚度為d的均勻介質(zhì),兩側(cè)溫度差為

T,則單位時(shí)間由溫度高的一側(cè)向溫度低的一側(cè)通過(guò)單位面積的熱量Q,與T成正比,與d成反比,即:Q=kT/dk為熱傳導(dǎo)系數(shù)。70消去不方便測(cè)量的Ta,Tb,有71

對(duì)中間無(wú)縫隙的雙層玻璃,可以視為厚為2d的單層玻璃,根據(jù)熱傳導(dǎo)物理定律，有常用玻璃:k1=4

10-3~810-3(焦耳/厘米.秒.度)靜止的干燥空氣:k2=2.510-4(焦耳/厘米.秒.度)若取最保守的估計(jì),有

簡(jiǎn)評(píng):

對(duì)于不太熟悉的問(wèn)題，可以用根據(jù)實(shí)際問(wèn)題涉及的概念著手去搜索有利于進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的結(jié)論來(lái)建模，此時(shí)建模中的假設(shè)要以相應(yīng)有用結(jié)論成立的條件給出。72建模示例3動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型

安全渡河問(wèn)題問(wèn)題：三名商人各帶一名隨從乘船渡河，一只小船只能容納二人，由他們自己劃行。隨從們密約，在河的任一岸，一旦隨從的人數(shù)比商人多，就殺人越貨。但是如何乘船渡河的大權(quán)掌握在商人們手中。商人們?cè)鯓硬拍馨踩珊幽兀?）建模示例，2）解決更廣泛的問(wèn)題，理論上進(jìn)行推廣。3）將安全渡河問(wèn)題視為一個(gè)多步?jīng)Q策的過(guò)程（狀態(tài)轉(zhuǎn)移）。模型構(gòu)成：設(shè)第次渡河前此岸的商人數(shù)為，隨從數(shù)為，稱(chēng)為狀態(tài)。73如：表示第三次渡河前，此岸有3名商人1名隨從，表示第五次渡河前，此岸有1名商人2名隨從，根據(jù)題意，要安全渡河，狀態(tài)是不允許的。設(shè)允許狀態(tài)集合為設(shè)第次渡船上的商人數(shù)為，隨從數(shù)為。定義決策為允許決策集合為

為奇數(shù)時(shí)，船由此岸到彼岸；為偶數(shù)時(shí)，船由彼岸到此岸。狀態(tài)在決策下不斷轉(zhuǎn)移，規(guī)律如何？74問(wèn)題:

求決策使?fàn)顟B(tài)按照以上規(guī)律由初始狀態(tài)經(jīng)過(guò)有限步到達(dá)狀態(tài)。當(dāng)然越小越好。2模型求解1234567891011753結(jié)論：共有四種最佳方案，經(jīng)過(guò)11次方可安全過(guò)河。此作法可進(jìn)行推廣，有多名商人和隨從時(shí)，利用計(jì)算機(jī)編程來(lái)實(shí)現(xiàn)。4圖解法xyd1d2d3d4d5d6d7d8d9d10d11狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)則：1）第奇數(shù)次需向下或向左移動(dòng)兩格。2)第偶數(shù)次需向上或向右移動(dòng)一格或兩格。3）每次移動(dòng)需落在可取狀態(tài)上。76問(wèn)題：人、狗、雞、米均要過(guò)河，船需要人劃，另外至多還能載一物，而當(dāng)人不在時(shí)，狗要吃雞，雞要吃米。問(wèn)人、狗、雞、米怎樣過(guò)河，試設(shè)計(jì)一個(gè)安全渡河方案，并使渡河次數(shù)盡可能地少。思考題1

人狗雞米過(guò)河問(wèn)題77思考題1人狗雞米過(guò)河問(wèn)題狀態(tài)轉(zhuǎn)移問(wèn)題1）允許狀態(tài)集合S人、狗、雞、米依次用四維向量表示它們的狀態(tài)，在此岸用1表示，在彼岸用0表示。如（0，1，0,1)表示人、雞在彼岸，狗、米在此岸。人在此岸(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0)人在彼岸(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(0,1,0,1)782)允許決策集（劃船方式）D用四維向量表示決策，如（1，1，0，0）表示人帶狗擺渡。D={(1,0,0,0),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)}問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：由初始狀態(tài)(1,1,1,1)出發(fā)，經(jīng)奇數(shù)次上述運(yùn)算轉(zhuǎn)化為狀態(tài)(0,0,0,0)的過(guò)程。規(guī)定運(yùn)算：分量1+1=0,1+0=0+1=1,0+0=0如(1,1,1,1)+(1,0,1,0)=(0,1,0,1)其實(shí)際意義：人狗雞米原均在此岸，人帶雞過(guò)河，此岸為新?tīng)顟B(tài)，即僅剩狗和米。s(i+1)=s(i)+d(i)79背景

年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況

年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0問(wèn)題：研究人口變化規(guī)律，控制人口過(guò)快增長(zhǎng)建模示例4微分方程模型如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)80指數(shù)增長(zhǎng)模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計(jì)算公式x(t)~時(shí)刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對(duì))增長(zhǎng)率r

是常數(shù)今年人口x0,年增長(zhǎng)率rk年后人口隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)81指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性

與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合

適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代

可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)

不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律

不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過(guò)程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長(zhǎng)率r不是常數(shù)(逐漸下降)82阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí))xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)83dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)84參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù)r或r,xm

利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位~百萬(wàn)）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專(zhuān)家估計(jì)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.185模型檢驗(yàn)用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為281.4(百萬(wàn))模型應(yīng)用——預(yù)報(bào)美國(guó)2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的售量)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.086建模示例5簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型

生豬出售時(shí)機(jī)

一飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入4元資金用于飼料、設(shè)備、人力，估計(jì)可使一頭80公斤重的生豬每天增加2公斤．目前生豬出售的市場(chǎng)價(jià)格為每公斤8元，但是預(yù)測(cè)每天會(huì)降低0.1元，問(wèn)該場(chǎng)應(yīng)該什么時(shí)候出售這樣的生豬．如果上面的估計(jì)和預(yù)測(cè)有出入，對(duì)結(jié)果有多大影響？87問(wèn)題分析投人資金可使生豬體重隨時(shí)間增長(zhǎng)，但售價(jià)(單價(jià))隨時(shí)間減少，應(yīng)該存在一個(gè)最佳的出售時(shí)機(jī)，使獲得利潤(rùn)最大．這是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，根據(jù)給出的條件，可作如下的簡(jiǎn)化假設(shè)．模型假設(shè)每天投人4元資金使生豬體重每天增加常數(shù)r(=2公斤)；生豬出售的市場(chǎng)價(jià)格每天降低常數(shù)g(=0.1元)88模型建立給出以下記號(hào)：t-時(shí)間(天);w-生豬體重(公斤);p-單價(jià)(元/公斤);R-出售的收人(元);C-t天投人的資金(元);Q-純利潤(rùn)(元).按照假設(shè)，w=80+rt(r=2),

p=8-gt(g=0.1)

．又知道R=pw,C=4t，再考慮到純利潤(rùn)應(yīng)扣掉以當(dāng)前價(jià)格(8元/公斤)出售80公斤生豬的收人，有Q=R-C-8*80，得到目標(biāo)函數(shù)(純利潤(rùn))為

Q(t)=(8-gt)(80+rt）-4t-640(1)其中：r=2,g=0.1．求t(≥0)使Q(t)最大．模型求解這是求二次函數(shù)最大值問(wèn)題，用代數(shù)或微分法容易得到，

t=(4r-40g-2)/rg(2)r=2,g=0.1時(shí)，t=10,Q(10)=20，即10天后出售，可得最大純利潤(rùn)2089敏感性分析

由于模型假設(shè)中的參數(shù)(生豬每天體重的增加r和價(jià)格的降低g)是估計(jì)和預(yù)測(cè)的，所以應(yīng)該研究它們有所變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響．

1.設(shè)每天生豬價(jià)格的降低g=0.1元不變，研究r變化的影響，由(2)式可

t=(40r-60)/r,r≥1.5t是r的增函數(shù)，表和圖表示902.設(shè)每天生豬體重的增加r=2公斤不變，研究g變化的影響，由(2)式可

t=(3-20g)/g,0≤g≤0.15

t是g的減函數(shù)，表和圖給出它們的關(guān)系．91強(qiáng)健性分析

(Robustness)

建模中假設(shè)生豬體重的增加和價(jià)格的降低都是常數(shù)，由此得到的w和p都是線性函數(shù)，這是對(duì)現(xiàn)實(shí)情況的簡(jiǎn)化．更實(shí)際的模型應(yīng)考慮非線性和不確定性，如記w=w(t),p=p(t)，則(1)式應(yīng)為

Q(t)=p(t)w(t)-4t-640(8)用微分法求解(8)式的極值問(wèn)題，可知最優(yōu)解應(yīng)滿足

p'(t)w(t)+p(t)w'(t)=4(9)(9)式左端是每天利潤(rùn)的增值,右端是每天投入的資金.出售的最佳時(shí)機(jī)是保留生豬直到利潤(rùn)的增值等于每天投人的資金為止.評(píng)注問(wèn)題本身及其建模過(guò)程都非常簡(jiǎn)單，著重介紹的是它的敏感性分析和強(qiáng)健性分析，這種分析對(duì)于一個(gè)模型，特別是優(yōu)化模型，是否真的能用，或者用的效果如何，是很重要的92建模示例6數(shù)值方法模型

估計(jì)水塔的水流量93一、問(wèn)題的提出美國(guó)某州的用水管理機(jī)構(gòu)要求社區(qū)提供以每小時(shí)多少加侖計(jì)的用水率以及每天所用的總用水量．但社區(qū)并沒(méi)有測(cè)量流入或流出當(dāng)?shù)厮乃康脑O(shè)備，只能每小時(shí)測(cè)量水塔中的水位，其精度在0.5%以內(nèi)．更為重要的是，無(wú)論什么時(shí)候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L時(shí)，水泵就啟動(dòng)向水塔重新充水直到某一最高水位Ｈ，但也無(wú)法得到水泵的供水量的測(cè)量數(shù)據(jù)．因此，在水泵正在工作時(shí)，人們不容易建立水塔中水位與水泵工作時(shí)的用水量之間的關(guān)系．水泵每天向水塔充水一次或兩次，每次大約二小時(shí)．試估計(jì)在任何時(shí)候，包括水泵正在工作的時(shí)間內(nèi)，水從水塔流出的流量

，并估計(jì)一天的總用水量．本題為美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（MCM）1991年問(wèn)題A時(shí)間(秒)水位時(shí)間(秒)水位時(shí)間(秒)水位0317535932水泵工作6853528423316311039332水泵工作7185427676635305439435355075021269710619299443318344579154水泵工作13937294746636335082649水泵工作179212892499533260859683475212402850539363167899533397252232797572543087932703340285432752605743012322842697645542927表１．某小鎮(zhèn)某天的水塔水位水塔是一個(gè)垂直圓形柱體，高為40英尺，直徑為57英尺。通常當(dāng)水塔的水位降到約27.00英尺時(shí)，水泵就向水塔重新充水，而當(dāng)水塔的水位升到約35.50英尺時(shí)水泵停止工作。二、模型假設(shè)(1)影響水從水塔中流出的流量的唯一因素是公眾對(duì)水的要求(2)水塔中的水位不影響水流量的大小，氣候條件、溫度變化等也不影響水流量．(3)水泵工作起止時(shí)間由它的水位決定，每次充水時(shí)間大約為兩個(gè)小時(shí)．水泵工作性能效率總是一定的，沒(méi)有工作時(shí)需維修、使用次數(shù)多影響使用效率問(wèn)題，水泵充水量遠(yuǎn)大于水塔水流量.(4)表中的時(shí)間數(shù)據(jù)準(zhǔn)確在一秒以內(nèi)．(5)水塔的水流量與水泵狀態(tài)獨(dú)立，并不因水泵工作而增加或減少水流量的大小．(6)水塔的水流量曲線可以用一條光滑的曲線來(lái)逼近．這時(shí)，水流量曲線的兩階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的．三、符號(hào)約定及說(shuō)明h：水塔中水位的高度，是時(shí)間的函數(shù)，單位為英尺V：水塔中水的體積，是時(shí)間的函數(shù)，單位為加侖t：時(shí)間，單位為小時(shí)f：水塔水流量，是時(shí)間的函數(shù)，單位為加侖/小時(shí)p：水泵工作時(shí)充水的水流量，是時(shí)間的函數(shù)，單位為加侖/小時(shí)四、問(wèn)題分析與建模本題可以分成三個(gè)步驟：由所給數(shù)據(jù)得到在各數(shù)據(jù)點(diǎn)處的水流量(數(shù)值轉(zhuǎn)換)。找出一個(gè)水從水塔流出的水流量的光滑擬合逼近處理水泵工作時(shí)的充水水量以及一天該小鎮(zhèn)公眾的總用水量，同時(shí)也重建了水泵工作時(shí)所缺的數(shù)據(jù)．1．所給數(shù)據(jù)的處理把表１所給的數(shù)據(jù)作為時(shí)間的函數(shù)畫(huà)成散點(diǎn)圖圖1．時(shí)間與水位的關(guān)系圖充水期間的水流量的處理要想獲得一個(gè)好的水流量的光滑擬合，首先要解決如何描述水塔充水期間的水流量的行為，特別是水泵的起止工作時(shí)間問(wèn)題。要解決兩個(gè)問(wèn)題：一是兩次充水準(zhǔn)確的起始時(shí)間和停止時(shí)間；二是充水期間的水流量如何描述．從所給的數(shù)據(jù)自然無(wú)法知道水泵開(kāi)始和停止的準(zhǔn)確時(shí)間，考慮兩次充水期間的數(shù)據(jù)情況。第一次充水期間的數(shù)據(jù)有：32284(秒)26.97（英尺）35932(秒)水泵工作39332(秒)水泵工作39435(秒)35.50（英尺）

39435-32284=71519(秒)

1.99小時(shí)第二次充水期間的數(shù)據(jù)變?yōu)椋?/p>

85968-75021=10947(秒)

3.04小時(shí)82649-75021=7628(秒)

2.12小時(shí)75021(秒)26.97（英尺）79154(秒)水泵工作82649(秒)35.50英尺85968(秒)34.75（英尺）2．水流量曲線的擬合

時(shí)間t（小時(shí)）體積V(加侖)

時(shí)間t（小時(shí)）體積V(加侖)

時(shí)間t（小時(shí)）體積V(加侖)06061259.9811working19.03755425540.921159371710.9256working19.95945282361.843158302610.954267771520.83925148722.949757157112.032865767022.015working3.871456259912.954463953422.95816777154.978155209913.875862235223.88006633975.900054408114.982260459824.98696485067.006453396315.903958932525.90836376257.928652537216.82615750088.967851487217.9317558781

表2．時(shí)間與體積的關(guān)系2．水流量曲線的擬合

圖2．時(shí)間與體積的關(guān)系圖為獲得流量函數(shù)的數(shù)據(jù)點(diǎn)集（tk,f(xk)），采用差商的方法。數(shù)據(jù)被水泵充水兩次分割成三組，如果去掉水泵工作時(shí)間的不確定數(shù)據(jù)，還有25個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，假設(shè)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間分別為：t0,t1,…,t24。那么這三組對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)分別為：第一組：t0,t1,…,t9

第二組：t10,t1,…,t20

第三組：t21,t22,t23,t24為減少計(jì)算誤差，對(duì)每一組數(shù)據(jù)分別采用不同的公式來(lái)計(jì)算每一組數(shù)據(jù)點(diǎn)的水流量，具體為：

流量與體積有關(guān)系

對(duì)處于中間的數(shù)據(jù)，采用中心差商公式對(duì)每組前兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，采用向前差商公式來(lái)計(jì)算對(duì)于每組最后二個(gè)數(shù)據(jù)，采用向后差商公式計(jì)算

時(shí)間(小時(shí))

流量(加侖/小時(shí))

時(shí)間（小時(shí))

流量加侖/小時(shí)

時(shí)間（小時(shí)）

流量(加侖/小時(shí))0144059.9811working19.0375166530.92111118010.9256working19.9594144961.84311006310.95421946920.8392146482.94971101212.03282019622.015working3.8714879712.95441894122.9581152254.9781999213.87581590323.8800152645.9000812414.98221805524.9869137087.00641016015.90391564625.908396337.9286848816.8261137418.96781101817.931714962表3．時(shí)間與流量的關(guān)系圖3．時(shí)間與流量的關(guān)系

采用三次樣條插值來(lái)得到水流量的近似函數(shù)f(t)。(注：是一條一條三次多項(xiàng)式拼合而成的曲線，在拼接處不僅函數(shù)連續(xù)，而且一階、二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，可用Matlab求解)

為給出樣條插值函數(shù)所需的邊界條件，用如上向前和向后的差商公式得出兩個(gè)邊界條件圖4．水流流量擬合曲線3.水泵充水期間的水流量處理第一次充水期間充滿水的水體積

V1=677715-514872=162843（加侖）充水時(shí)間t1=10.9542-8.9678=1.9864（小時(shí)）則第一次充水期間的水泵平均水流量為3.水泵充水期間的水流量處理第二次充水期間充滿水的水體積

V2=677715-514872=162843（加侖）充水時(shí)間t2=22.9581-20.8392=2.1189（小時(shí)）則第二次充水期間的水泵平均水流量為采用兩次充水期間的平均水流量作為水泵充水期間的水流量可以盡量減少誤差1)估計(jì)該鎮(zhèn)一天的總用水量

用水流量插值曲線f(t)在24小時(shí)的時(shí)間區(qū)間上積分即可以求出該鎮(zhèn)在一天的總用水量?？紤]到插值函數(shù)受端點(diǎn)邊界條件的影響，我們用在[0.9211,24.9211]時(shí)間區(qū)間積分作為該鎮(zhèn)在一天的總用水量,有4.模型求解4.模型求解檢驗(yàn)1.用所得水流量函數(shù)檢驗(yàn)利用所給數(shù)據(jù)的時(shí)間在[0，25.9083]的特點(diǎn)，在其上任取24小時(shí)的時(shí)間段做積分，有它們相差約1%。

檢驗(yàn)2：利用給定的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)我們把非充水期間的用水量用已知數(shù)