補(bǔ)上一課 與球有關(guān)的切、接問題

補(bǔ)上一課與球有關(guān)的切、接問題題型分析研究與球有關(guān)的切、接問題，既要運(yùn)用多面體、旋轉(zhuǎn)體的知識(shí)，又要運(yùn)用球的幾何性質(zhì)，要特別注意多面體、旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，解決此類問題的關(guān)鍵是確定球心.題型一外接球角度1補(bǔ)形法——存在側(cè)棱與底面垂直例1已知三棱錐P－ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為()A.eq\f(7\r(14),3)π B.14πC.56π D.eq\r(14)π答案B解析以線段PA，PB，PC為相鄰三條棱的長(zhǎng)方體PAB′B－CA′P′C′被平面ABC所截的三棱錐P－ABC符合要求，如圖，長(zhǎng)方體PAB′B－CA′P′C′與三棱錐P－ABC有相同的外接球，其外接球直徑為長(zhǎng)方體體對(duì)角線PP′，設(shè)外接球的半徑為R，則(2R)2＝PP′2＝PA2＋PB2＋PC2＝12＋22＋32＝14，則所求球的表面積S＝4πR2＝π·(2R)2＝14π.角度2補(bǔ)形法——對(duì)棱相等例2已知棱長(zhǎng)為1的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積為()A.eq\f(\r(6),8)π B.eq\f(\r(6),4)πC.eq\f(\r(3),8)π D.eq\f(\r(3),4)π答案A解析如圖將棱長(zhǎng)為1的正四面體B1－ACD1放入正方體ABCD－A1B1C1D1中，且正方體的棱長(zhǎng)為1×cos45°＝eq\f(\r(2),2)，所以正方體的體對(duì)角線AC1＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),2)，所以正方體外接球的半徑R＝eq\f(AC1,2)＝eq\f(\r(6),4)，所以正方體外接球的體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(6),8)π，因?yàn)檎拿骟w的外接球即為正方體的外接球，所以正四面體的外接球的體積為eq\f(\r(6),8)π.感悟提升補(bǔ)形法的解題策略(1)側(cè)面為直角三角形或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ?，可以放到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；(2)直三棱錐補(bǔ)成三棱柱求解.角度3截面法例3(2021·全國(guó)甲卷)已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，則三棱錐O－ABC的體積為()A.eq\f(\r(2),12) B.eq\f(\r(3),12)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(\r(3),4)答案A解析如圖所示，因?yàn)锳C⊥BC，所以AB為截面圓O1的直徑，且AB＝eq\r(2).連接OO1，則OO1⊥平面ABC，OO1＝eq\r(OA2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))\s\up12(2))＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以三棱錐O－ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·OO1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),12).感悟提升與球截面有關(guān)的解題策略(1)定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面，達(dá)到空間問題平面化的目的.角度4定義法例4(2023·德州質(zhì)檢)已知四棱錐P－ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，其各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB＝BC，∠ABC＝90°，AD＝2eq\r(3)，CD＝2，三棱錐P－ABC的體積為eq\f(16,3)，則球O的表面積為()A.25π B.eq\f(125π,6)C.32π D.eq\f(64\r(2)π,3)答案A解析如圖，設(shè)點(diǎn)P在底面的射影為H，∵四棱錐P－ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，∴HA＝HB＝HC＝HD，∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓.∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ADC＝90°.∵AD＝2eq\r(3)，CD＝2，∴AC＝4，∴AB＝BC＝2eq\r(2).∵三棱錐P－ABC的體積為eq\f(16,3)，∴eq\f(1,3)S△ABC·PH＝eq\f(16,3)，∴PH＝4，設(shè)球O的半徑為R，∴(4－R)2＋22＝R2，解得R＝eq\f(5,2)，則球O的表面積S＝4πR2＝25π.故選A.感悟提升到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可.訓(xùn)練1(1)(2023·河南頂級(jí)名校聯(lián)考)四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R1的球O1上，該四面體各棱長(zhǎng)都相等，如圖①.正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R2的球O2上，如圖②.八面體的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R3的球O3上，該八面體各棱長(zhǎng)都相等，四邊形ABCD是正方形，如圖③.設(shè)四面體、正方體、八面體的表面積分別為S4，S6，S8.若R1∶R2∶R3＝eq\r(3)∶eq\r(4,3)∶eq\r(2)，則()A.S8＞S4＞S6 B.S4＝S8＞S6C.S4＝S6＜S8 D.S4＝S6＝S8答案D解析設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a4，如圖正四面體A′B′C′D′內(nèi)接于棱長(zhǎng)為eq\f(a4,\r(2))的正方體內(nèi)，則易求R1＝eq\f(\r(6),4)a4，∴a4＝eq\f(4R1,\r(6))，∴S4＝4×eq\f(\r(3),4)aeq\o\al(2,4)＝eq\f(8\r(3),3)Req\o\al(2,1)；設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a6，則2R2＝eq\r(3)a6，∴a6＝eq\f(2R2,\r(3))，∴S6＝6aeq\o\al(2,6)＝8Req\o\al(2,2)；設(shè)八面體的棱長(zhǎng)為a8，其外接球球心為AC的中點(diǎn)，則a8＝eq\r(2)R3，∴S8＝8×eq\f(\r(3),4)aeq\o\al(2,8)＝4eq\r(3)Req\o\al(2,3).∵R1∶R2∶R3＝eq\r(3)∶eq\r(4,3)∶eq\r(2)，∴設(shè)R1＝eq\r(3)R，R2＝eq\r(4,3)R，R3＝eq\r(2)R，∴S4＝S6＝S8＝8eq\r(3)R2.故選D.(2)(2023·天津模擬)已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該棱柱的體積為eq\r(3)，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，則外接球的表面積為________.答案8π解析由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°及余弦定理可得BC＝eq\r(AB2＋AC2－2AB·AC·cos60°)＝eq\r(4＋1－2×2×1×\f(1,2))＝eq\r(3)，所以AC2＋BC2＝AB2，∠ACB＝90°，所以底面外接圓的圓心為斜邊AB的中點(diǎn).設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，則r＝eq\f(AB,2)＝1.又S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),2)，所以V柱＝S△ABC·AA1＝eq\r(3)，所以AA1＝2，因?yàn)槿庵鵄BC－A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，設(shè)其外接球的半徑為R，則R2＝r2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AA1,2)))eq\s\up12(2)＝12＋12＝2，所以外接球的表面積S＝4πR2＝4π×2＝8π.題型二內(nèi)切球例5(2023·江西大聯(lián)考)已知四面體SABC的所有棱長(zhǎng)為2eq\r(3)，球O1是其內(nèi)切球.若在該四面體中再放入一個(gè)球O2，使其與平面SAB，平面SBC，平面SAC以及球O1均相切，則球O2與球O1的半徑比值為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)答案D解析如圖，設(shè)S在平面ABC內(nèi)的射影為O，R1為球O1的半徑，R2為球O2的半徑，F(xiàn)，H分別為球O1，球O2與側(cè)面SBC的切點(diǎn).在Rt△SAO中，該四面體的高h(yuǎn)＝SO＝eq\r(SA2－AO2)＝eq\r(SA2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)AE))\s\up12(2))＝eq\r(SA2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)AB))\s\up12(2))＝eq\r(12－4)＝2eq\r(2).又四面體的表面積S＝4×eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(3))2＝12eq\r(3)，則eq\f(1,3)·S·R1＝eq\f(1,3)×3eq\r(3)h，解得R1＝eq\f(\r(2),2)，由eq\f(HO2,FO1)＝eq\f(SO2,SO1)，得eq\f(R2,R1)＝eq\f(h－2R1－R2,h－R1)，即eq\f(R2,\f(\r(2),2))＝eq\f(2\r(2)－\r(2)－R2,2\r(2)－\f(\r(2),2))，解得R2＝eq\f(\r(2),4)，故eq\f(R2,R1)＝eq\f(1,2).故選D.感悟提升“切”的問題處理規(guī)律(1)找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作過球心的截面來解決.(2)體積分割是求內(nèi)切球半徑的常用方法.訓(xùn)練2(2023·南京調(diào)研)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為邊AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC的中點(diǎn)，將△AED，△DCF，△BEF分別沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，則三棱錐P－DEF的外接球與內(nèi)切球的表面積比值為()A.6 B.12C.24 D.30答案C解析如圖①，依題意可知AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，所以PD⊥PE，PF⊥PD，PE⊥PF，如圖②.所以在三棱錐P－DEF中，PD，PE，PF兩兩垂直，且PE＝PF＝1，PD＝2，所以三棱錐P－DEF的外接球即為以PD，PE，PF為鄰邊的長(zhǎng)方體的外接球，所以三棱錐P－DEF的外接球半徑R滿足2R＝eq\r(1＋1＋4)＝eq\r(6)，所以R＝eq\f(\r(6),2)，則其外接球的表面積為4πR2＝6π.因?yàn)槿忮FP－DEF的表面積為正方形ABCD的面積，所以S表＝2×2＝4，VP－DEF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＝eq\f(1,3).設(shè)三棱錐P－DEF的內(nèi)切球的半徑為r，所以由eq\f(1,3)S表·r＝VP－DEF，解得r＝eq\f(1,4)，所以內(nèi)切球的表面積為4πr2＝eq\f(π,4)，所以三棱錐P－DEF的外接球與內(nèi)切球的表面積比值為eq\f(6π,\f(π,4))＝24.故選C.一、雙半徑單交線公式若相互垂直的兩凸多邊形的外接圓半徑分別為R1，R2，兩外接圓公共弦長(zhǎng)為l，則由兩凸多邊形頂點(diǎn)連接而成的幾何體的外接球半徑：R＝eq\r(Req\o\al(2,1)＋Req\o\al(2,2)－\f(l2,4)).例1(2023·河南適應(yīng)性測(cè)試)已知三棱錐P－ABC，△ABC是邊長(zhǎng)為2eq\r(3)的等邊三角形，PA＝PB＝a，且平面PAB⊥平面ABC，若三棱錐P－ABC的每個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為eq\f(65π,4)的球面上，則a＝________.答案eq\f(\r(21),2)或eq\r(7)解析法一如圖，取AB的中點(diǎn)為D，連接PD，CD，因?yàn)镻A＝PB＝a，所以PD⊥AB.因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD?平面PAB，所以PD⊥平面ABC，同理得CD⊥平面PAB.設(shè)點(diǎn)O1為等邊△ABC的外心，過點(diǎn)O1作O1E∥PD，則O1E⊥平面ABC，易得直線O1E上任意一點(diǎn)到A，B，C三點(diǎn)的距離相等.設(shè)O2為△PAB的外心，則O2在直線PD上，過點(diǎn)O2作O2O∥CD，交O1E于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為三棱錐P－ABC外接球的球心，因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2eq\r(3)的等邊三角形，所以AB＝2eq\r(3)，又PA＝PB＝a，所以a＞eq\r(3)，PD＝eq\r(a2－3)，sin∠PBD＝eq\f(PD,PB)＝eq\f(\r(a2－3),a).設(shè)△PAB的外接圓的半徑為r，則由正弦定理，得2r＝eq\f(PA,sin∠PBD)＝eq\f(a2,\r(a2－3))，則r＝eq\f(a2,2\r(a2－3))，即O2P＝eq\f(a2,2\r(a2－3))，所以O(shè)2D＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(a2－3)－\f(a2,2\r(a2－3))))＝eq\f(|a2－6|,2\r(a2－3)).易知四邊形OO1DO2為矩形，所以O(shè)O1＝O2D＝eq\f(|a2－6|,2\r(a2－3)).由題意可知三棱錐P－ABC外接球的表面積為eq\f(65π,4)，設(shè)該外接球的半徑為R，則4πR2＝eq\f(65π,4)，所以R＝eq\f(\r(65),4).連接OC，則OC＝eq\f(\r(65),4)，易得O1C＝2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,3)＝2.在Rt△OO1C中，OOeq\o\al(2,1)＋O1C2＝OC2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a2－6|,2\r(a2－3))))eq\s\up12(2)＋4＝eq\f(65,16)，整理得4a4－49a2＋147＝0，解得a2＝eq\f(21,4)或a2＝7，所以a＝eq\f(\r(21),2)或a＝eq\r(7).(注：仿照此解法，可推導(dǎo)出雙半徑單交線公式)法二如圖，取AB的中點(diǎn)為D，連接PD，CD，因?yàn)镻A＝PB＝a，所以PD⊥AB.因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD?平面PAB，所以PD⊥平面ABC.同理得CD⊥平面PAB.設(shè)點(diǎn)O1為等邊△ABC的外心，過點(diǎn)O1作O1E∥PD，則O1E⊥平面ABC，易得直線O1E上任意一點(diǎn)到A，B，C三點(diǎn)的距離相等，即三棱錐P－ABC外接球的球心O在直線O1E上.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DB，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2eq\r(3)的等邊三角形，所以CD＝2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝3，O1C＝eq\f(2,3)CD＝2，O1D＝eq\f(1,3)CD＝1，又PA＝PB＝a，所以a＞eq\r(3)，PD＝eq\r(a2－3)，則P(0，0，eq\r(a2－3))，C(0，3，0).由題意可知三棱錐P－ABC外接球的表面積為eq\f(65π,4)，設(shè)該外接球的半徑為R，則4πR2＝eq\f(65π,4)，所以R＝eq\f(\r(65),4).設(shè)O(0，1，z)，連接OP，OC，則OP＝OC＝R，即eq\r(12＋（\r(a2－3)－z）2)＝eq\r(22＋z2)＝eq\f(\r(65),4)，解得a＝eq\f(\r(21),2)或a＝eq\r(7).法三(雙半徑單交線公式)設(shè)△ABC的外接圓半徑為R1，由正弦定理得2R1＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4，故R1＝2.如圖，在△PAB中，D是AB的中點(diǎn)，易知sin∠PAB＝eq\f(\r(a2－3),a)(a＞eq\r(3))，設(shè)△PAB外接圓的半徑為R2，由正弦定理，得2R2＝eq\f(a,\f(\r(a2－3),a))＝eq\f(a2,\r(a2－3))，即R2＝eq\f(a2,2\r(a2－3)).設(shè)三棱錐P－ABC外接球的半徑為R，則4πR2＝eq\f(65π,4)，故R2＝eq\f(65,16)，且平面PAB∩平面ABC＝AB，由雙半徑單交線公式得R2＝Req\o\al(2,1)＋Req\o\al(2,2)－eq\f(l2,4)，即eq\f(65,16)＝4＋eq\f(a4,4（a2－3）)－3，化簡(jiǎn)得4a4－49a2＋147＝0，解得a＝eq\f(\r(21),2)或a＝eq\r(7).訓(xùn)練1已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，則四面體PABC的外接球(頂點(diǎn)都在球面上)的體積為()A.π B.eq\r(3)πC.2π D.eq\f(\r(3)π,2)答案D解析法一如圖，取PC的中點(diǎn)O，連接OA，OB，由題意得PA⊥BC，又因?yàn)锳B⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，在Rt△PBC中，OB＝eq\f(1,2)PC，同理OA＝eq\f(1,2)PC，所以O(shè)A＝OB＝OC＝eq\f(1,2)PC，因此P，A，B，C四點(diǎn)在以O(shè)為球心的球面上，在Rt△ABC中，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(2)，在Rt△PAC中，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝eq\r(3)，所以球O的半徑R＝eq\f(1,2)PC＝eq\f(\r(3),2)，所以球的體積為V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(3)π,2).法二(雙半徑單交線公式)在直角三角形PAC中，PA＝1，AC＝eq\r(2)，則PC＝eq\r(3)，故三角形PAC外接圓的半徑為R1＝eq\f(\r(3),2)，又在△ABC中，AB⊥BC，AC＝eq\r(2)，則三角形ABC外接圓半徑為R2＝eq\f(\r(2),2)，由雙半徑單交線公式知，四面體PABC的外接球半徑R＝eq\r(\f(3,4)＋\f(1,2)－\f(1,2))＝eq\f(\r(3),2)，則外接球的體積為V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(3)π,2).二、雙距離單交線公式當(dāng)兩凸多邊形相互垂直時(shí)，由兩凸多邊形頂點(diǎn)連接而成的幾何體的外接球半徑可用雙半徑單交線公式求得，若兩凸多邊形不垂直時(shí)，上述外接球半徑可用如下雙距離單交線公式求得：R＝eq\r(\f(m2＋n2－2mncosθ,sin2θ)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))\s\up12(2)).注釋：關(guān)于m，n，l，θ：(1)m，n分別為兩個(gè)面的圓心到公交線的距離；(2)l為兩個(gè)面的公交線；(3)關(guān)于角θ，當(dāng)兩個(gè)面外接圓圓心都在面內(nèi)(或者都在補(bǔ)面上)時(shí)指的就是二面角；當(dāng)兩個(gè)面外接圓圓心一個(gè)在面內(nèi)一個(gè)在補(bǔ)面上時(shí)，指的是二面角的補(bǔ)角.例2在三棱錐A－BCD中，AB＝CD＝4，CA＝BD＝2，BC＝2eq\r(3)，二面角A－BC－D的平面角為60°，則它的外接球的表面積為________.答案eq\f(52π,3)解析法一因?yàn)锳B＝CD＝4，CA＝BD＝2，BC＝2eq\r(3)，可得AC⊥BC，BC⊥BD，即∠ACB＝∠DBC＝90°，將三棱錐A－BCD放置于直棱柱BDE－CFA中，如圖所示，由二面角A－BC－D的平面角為60°，即三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球，外接球的球心O在上、下底面三角形外心的連線的中點(diǎn)，在△BDE中，BD＝BE＝2，∠EBD＝60°，可得DE＝2，設(shè)外接球的半徑為R，△BDE的外接圓的半徑為r，由正弦定理可得2r＝eq\f(DE,sin∠EBD)＝eq\f(4,\r(3))，解得r＝eq\f(2,\r(3))，由球心到底面BDE的距離d＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(3)，所以外接球的半徑R＝eq\r(r2＋d2)＝eq\r(\f(4,3)＋3)＝eq\r(\f(13,3))，所以外接球的表面積S＝4πR2＝eq\f(52,3)π.法二(雙距離單交線公式)在△ABC中，AB＝4，CA＝2，BC＝2eq\r(3)，故CA2＋BC2＝AB2，則AC⊥BC，則△ABC外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)O1，O1到BC的距離為eq\f(1,2)AC＝1，在△BDC中，BD＝2，BC＝2eq\r(3)，DC＝4，故BD2＋BC2＝DC2，所以BD⊥BC，則△BDC外接圓的圓心為DC的中點(diǎn)O2，O2到BC的距離為eq\f(1,2)BD＝1，又二面角A－BC－D的平面角為60°，由雙距離單交線公式可得三棱錐A－BCD外接球的半徑R＝eq\r(\f(12＋12－2×1×1×\f(1,2),\f(3,4))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq\r(\f(13,3))，所以外接球的表面積為S＝4πR2＝4π×eq\f(13,3)＝eq\f(52π,3).訓(xùn)練2如圖，已知平行四邊形ABCD中，AC＝AB＝m，∠BAD＝120°，將△ABC沿對(duì)角線AC翻折至△AB1C所在的位置，若二面角B1－AC－D的大小為120°，則過A，B1，C，D四點(diǎn)的外接球的表面積為________.答案eq\f(7,3)πm2解析法一由已知得△B1AC與△DAC均為邊長(zhǎng)是m的正三角形，取AC中點(diǎn)G，連接DG，B1G，如圖，則有DG⊥AC，B1G⊥AC，于是得∠B1GD是二面角B1－AC－D的平面角，則∠B1GD＝120°，顯然有AC⊥平面B1GD，即有平面B1GD⊥平面B1AC，平面B1GD⊥平面DAC，令正△B1AC與正△DAC的中心分別為E，F(xiàn)，過E，F(xiàn)分別作平面B1AC，平面DAC的垂線，則兩垂線都在平面B1GD內(nèi)，它們交于點(diǎn)O，從而得點(diǎn)O是過A，B1，C，D四點(diǎn)的外接球球心，連接OA，則OA為該外接球半徑，由已知得GE＝GF＝eq\f(1,3)GD＝eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),2)·m＝eq\f(\r(3),6)m，而OE＝OF，于是得∠OGF＝60°，在Rt△OGF中，OG＝eq\f(GF,cos∠OGF)＝eq\f(\r(3)m,3)，而AG＝eq\f(m,2)，在Rt△OGA中，OA2＝AG2＋OG2＝eq\f(7,12)m2，所以過A，B1，C，D四點(diǎn)的外接球的表面積為4π·OA2＝eq\f(7,3)πm2.法二易知△AB1C≌△CDA，且二者都是邊長(zhǎng)為m的等邊三角形，則△AB1C與△ADC的外接圓的圓心到底邊AC的距離相等，都是eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×m＝eq\f(\r(3),6)m，又二面角B1－AC－D的大小為120°，所以過A，B1，C，D四點(diǎn)的外接球的半徑為R＝eq\r(\f(\f(1,12)m2＋\f(1,12)m2－2×\f(\r(3),6)m×\f(\r(3),6)m×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),\f(3,4))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(7),2\r(3))m，故外接球的表面積S＝4πR2＝4π×eq\f(7,12)m2＝eq\f(7,3)πm2.分層精練·鞏固提升【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1.正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積比值為()A.eq\r(3) B.3eq\r(3)C.3 D.eq\f(1,3)答案C解析設(shè)正方體的外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r，棱長(zhǎng)為1，則正方體的外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，即2R＝eq\r(3)，所以R＝eq\f(\r(3),2)，正方體內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長(zhǎng)，即2r＝1，即r＝eq\f(1,2)，所以eq\f(R,r)＝eq\r(3)，所以正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積比值為eq\f(4πR2,4πr2)＝eq\f(R2,r2)＝3.2.在四面體ABCD中，若AB＝CD＝eq\r(3)，AC＝BD＝2，AD＝BC＝eq\r(5)，則四面體ABCD的外接球的表面積為()A.2π B.4πC.6π D.8π答案C解析由題意可采用補(bǔ)形法，考慮到四面體ABCD的對(duì)棱相等，所以將四面體放入如圖所示的長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z的長(zhǎng)方體中，并且x2＋y2＝3，x2＋z2＝5，y2＋z2＝4，則有(2R)2＝x2＋y2＋z2＝6(R為外接球的半徑)，得R2＝eq\f(3,2)，所以四面體ABCD的外接球的表面積為S＝4πR2＝6π.3.(2023·瀘州一診)已知三棱錐S－ABC的棱SA⊥底面ABC.若SA＝2，AB＝AC＝BC＝3，則其外接球的表面積為()A.4π B.8πC.eq\f(32π,3) D.16π答案D解析等邊三角形ABC的外接圓直徑2r＝eq\f(3,sin\f(π,3))，解得r＝eq\r(3)，設(shè)外接球的半徑為R，則R2＝r2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(SA,2)))eq\s\up12(2)＝3＋1＝4，所以其外接球的表面積為S＝4πR2＝16π，故選D.4.已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓.若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為()A.64π B.48πC.36π D.32π答案A解析如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，⊙O1的半徑為r，因?yàn)椤袿1的面積為4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以eq\f(AB,sin60°)＝2r，解得AB＝2eq\r(3)，故OO1＝2eq\r(3)，根據(jù)球的截面性質(zhì)OO1⊥平面ABC，所以O(shè)O1⊥O1A，所以R2＝OOeq\o\al(2,1)＋r2＝(2eq\r(3))2＋22＝16，所以球O的表面積S＝4πR2＝64π.5.(2023·重慶質(zhì)檢)在Rt△ABC中，CA＝CB＝eq\r(2)，以AB為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的內(nèi)切球的體積為()A.eq\f(\r(2)π,3) B.eq\f(8\r(2)π,3)C.2π D.eq\f(2π,3)答案A解析如圖所示，旋轉(zhuǎn)體的軸截面為邊長(zhǎng)為eq\r(2)的正方形，設(shè)O為內(nèi)切球的球心.內(nèi)切球半徑r＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(2),2)，所以該幾何體的內(nèi)切球的體積為eq\f(4,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(2)π,3)，故選A.6.(2023·天津檢測(cè))已知三棱錐S－ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，SA＝SB＝SC＝AB＝2，設(shè)S，A，B，C四點(diǎn)均在以點(diǎn)O為球心的某個(gè)球面上，則點(diǎn)O到平面ABC的距離為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(6),3) D.eq\f(\r(2),4)答案A解析取AB的中點(diǎn)D，連接CD，SD，如圖，因?yàn)锳B是等腰直角三角形ABC的斜邊，所以D是球O被平面ABC所截圓的圓心，CD＝1.又SA＝SB＝SC＝AB＝2，又點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則有SD⊥AB，SD＝eq\r(3)，而SD2＋CD2＝4＝SC2，所以∠SDC＝90°，即SD⊥CD，而CD∩AB＝D，CD，AB?平面ABC，則SD⊥平面ABC，由球的截面圓性質(zhì)知，球心O在直線SD上，球半徑R＝eq\r(3)－OD或R＝eq\r(3)＋OD.由R2＝OD2＋12，即(eq\r(3)－OD)2＝OD2＋12，解得OD＝eq\f(\r(3),3)，或(eq\r(3)＋OD)2＝OD2＋12，解得OD＝－eq\f(\r(3),3)(舍)，所以點(diǎn)O到平面ABC的距離為eq\f(\r(3),3).故選A.7.已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱錐的高為3，體積為6，則這個(gè)球的表面積為()A.16π B.20πC.24π D.32π答案A解析如圖所示，在正四棱錐P－ABCD中，O1為底面對(duì)角線的交點(diǎn)，O為外接球的球心.因?yàn)閂P－ABCD＝eq\f(1,3)×S正方形ABCD×3＝6，所以S正方形ABCD＝6，即AB＝eq\r(6).因?yàn)镺1C＝eq\f(1,2)eq\r(6＋6)＝eq\r(3).設(shè)正四棱錐外接球的半徑為R，則OC＝R，OO1＝3－R，所以(3－R)2＋(eq\r(3))2＝R2，解得R＝2.所以外接球的表面積為4π×22＝16π.8.(2023·武漢模擬)已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為2eq\r(6)，側(cè)面展開圖是圓心角為eq\f(2\r(3)π,3)的扇形，則該圓錐的外接球的體積為()A.36π B.48πC.36 D.24eq\r(2)答案A解析設(shè)圓錐的底面半徑為r，由側(cè)面展開圖是圓心角為eq\f(2\r(3)π,3)的扇形，得2πr＝eq\f(2\r(3)π,3)×2eq\r(6)，解得r＝2eq\r(2).作出圓錐的軸截面如圖所示.設(shè)圓錐的高為h，則h＝eq\r(（2\r(6)）2－（2\r(2)）2)＝4.設(shè)該圓錐的外接球的球心為O，半徑為R，則有R＝eq\r(（h－R）2＋r2)，即R＝eq\r(（4－R）2＋（2\r(2)）2)，解得R＝3，所以該圓錐的外接球的體積為V＝eq\f(4πR3,3)＝eq\f(4π×33,3)＝36π.9.在三棱錐A－BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD＝BD＝2，CD＝4，點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為________.答案20π解析根據(jù)題意得，BC⊥平面ABD，則BC⊥BD，即AD，BC，BD三條線兩兩垂直，所以可將三棱錐A－BCD放置于長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖所示，該三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，球心為長(zhǎng)方體體對(duì)角線的中點(diǎn)，即外接球的半徑為長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)的一半，此時(shí)AC為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，即為外接球的直徑，所以該球的表面積S＝4πR2＝π·AC2＝π·(22＋42)＝20π.10.如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn).我們來重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)，圓柱的體積與球的體積之比為________，圓柱的表面積與球的表面積之比為________.答案eq\f(3,2)eq\f(3,2)解析由題意，知圓柱底面半徑為r，球的半徑為R，則R＝r，圓柱的高h(yuǎn)＝2R，則V球＝eq\f(4,3)πR3，V柱＝πr2h＝π·R2·2R＝2πR3.∴eq\f(V柱,V球)＝eq\f(2πR3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).又∵S球＝4πR2，S柱＝2πr2＋2πrh＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2.∴eq\f(S柱,S球)＝eq\f(6πR2,4πR2)＝eq\f(3,2).11.(2023·南昌調(diào)研)如圖，在底面邊長(zhǎng)為4，高為6的正四棱柱中有兩個(gè)球，大球與該正四棱柱的五個(gè)面均相切，小球在大球上方且與該正四棱柱的三個(gè)面相切，也與大球相切，則小球的半徑為________.答案5－eq\r(15)解析由題意可知大球的半徑R＝2，設(shè)小球的半徑為r(0＜r＜2)，大球的球心為O，小球的球心為C，E為小球與上底面的切點(diǎn)，如圖所示，連接CO，CE，過點(diǎn)O作OD⊥CE交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，由題意可知，OD＝2eq\r(2)－eq\r(2)r，CD＝4－r，CO＝2＋r，由CO2＝CD2＋OD2，得(2＋r)2＝(4－r)2＋(2eq\r(2)－eq\r(2)r)2，即r2－10r＋10＝0，r∈(0，2)，解得r＝5－eq\r(15).12.在三棱錐P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA＝PC＝AB＝2eq\r(3)，AC＝4，∠BAC＝30°，則該三棱錐外接球的體積為________.答案9eq\r(2)π解析如圖所示，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝(2eq\r(3))2＋42－2×2eq\r(3)×4·cos30°＝4.所以AB2＋BC2＝16＝AC2，即△ABC為直角三角形.故△ABC外接圓的圓心為斜邊AC的中點(diǎn).取AC的中點(diǎn)為O1，連接PO1，則PO1⊥AC.由平面PAC⊥平面ABC，得PO1⊥平面ABC.該三棱錐外接球的球心在線段PO1上.設(shè)球心為O，連接OA，則OA＝OP，且均為外接球的半徑.在Rt△PO1A中，PO1＝eq\r(（2\r(3)）2－22)＝2eq\r(2).在Rt△OO1A中，OA2＝OOeq\o\al(2,1)＋AOeq\o\al(2,1)，即R2＝(2eq\r(2)－R)2＋4，則R＝eq\f(3\r(2),2).所以外接球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))eq\s\up12(3)＝9eq\r(2)π.【B級(jí)能力提升】13.(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為3eq\r(3)和4eq\r(3)，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A.100π B.128πC.144π D.192π答案A解析由題意，得正三棱臺(tái)上、下底面的外接圓的半徑分別為eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×3eq\r(3)＝3，eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×4eq\r(3)＝4.設(shè)球O的半徑為R，該棱臺(tái)上、下底面的外接圓的圓心分別為O1，O2，連接O1O2，則O1O2＝1，其外接球的球心O在直線O1O2上.當(dāng)球心O在線段O1O2上時(shí)，R2＝32＋OOeq\o\al(2,1)＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；當(dāng)球心O不在線段O1O2上時(shí)，R2＝42＋OOeq\o\al(2,2)＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以該球的表面積為S＝4πR2＝100π，綜上，該球的表面積為100π.14.(2022·全國(guó)乙卷)已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(2),2)答案C解析該四棱錐的體積最大，即以底面外接圓和頂點(diǎn)O組成的圓錐體積最大，設(shè)圓錐的高為h(0<h<1)，底面半徑為r，則圓錐的體積V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π(1－h(huán)2)h，則V′＝eq\f(1,3)π(1－3h2)，令V′＝eq\f(1,3)π(1－3h2)＝0，得h＝eq\f(\r(3),3)，所以V＝eq\f(1,3)π(1－h(huán)2)h在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))上單調(diào)遞減，所以當(dāng)h＝eq\f(\r(3),3)時(shí)，四棱錐的體積最大，故選C.15.(2023·濟(jì)南模擬)已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝eq\r(3)，E是CD邊的中點(diǎn).現(xiàn)以AE為折痕將△ADE折起，當(dāng)三棱錐D－ABE的體積最大時(shí)，該三棱錐外接球的體積為________.答案eq\f(32\r(3)π,27)解析如圖，過點(diǎn)D作DF⊥AE交AE于點(diǎn)F，AB＝2，AD＝eq\r(3)，DE＝1，AE＝BE＝2，在Rt△ADE中有eq\f(1,2)·AD·DE＝eq\f(1,2