江西省贛州市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題

贛州市2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、單選題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知集合，集合，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)自然數(shù)集的定義，寫出集合，結(jié)合交集的運(yùn)算，可得答案.【詳解】由題意，，則.故選：C.2.函數(shù)，則（）A. B.0 C.1 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)運(yùn)算直接運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C.3.若且，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，采用反例，可得答案.【詳解】選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，由，則，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則，故B正確；選項(xiàng)C，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，當(dāng)且時(shí)，，即，故D錯(cuò)誤.故選：B.4.下列選項(xiàng)中表示同一函數(shù)的是（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相同函數(shù)的定義進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槎x域?yàn)?，而的定義域?yàn)镽，所以兩函數(shù)的定義域不同，故不能表示同一函數(shù)；對(duì)于B，因?yàn)槎x域?yàn)镽，而的定義域?yàn)?，所以兩函?shù)的定義域不同，故不能表示同一函數(shù)；對(duì)于C，易知函數(shù)和的定義域?yàn)?，而的值域?yàn)?，的值域?yàn)?，兩函?shù)值域不同，故不能表示同一函數(shù)；對(duì)于D，易知函數(shù)和的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，且，所以是同一函?shù).故選：D5.函數(shù)且，則（）A. B. C.0 D.2【答案】A【解析】【分析】令，可證明是奇函數(shù)，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由，令，則，，故是奇函數(shù)，所以，所以．故選:A．6.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法，列出方程組，即可求得答案.【詳解】因?yàn)榈亩x域是，所以，根據(jù)抽象函數(shù)定義域求法，在函數(shù)中，，解得或.故選：D.7.17世紀(jì)，在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化成乘法和加法運(yùn)算，數(shù)學(xué)家拉普拉斯稱贊為“對(duì)數(shù)的發(fā)明在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長(zhǎng)了許多倍”.已知，，設(shè)，則所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)和對(duì)數(shù)互化，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可求得，由此可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：B.8.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求得函數(shù)的對(duì)稱性以及單調(diào)性，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求得的大小關(guān)系，可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，由，則，即，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，由，由，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；由，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則.由函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即.故選：B.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有錯(cuò)選的得0分．）9.下列結(jié)論正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.“”是“”的必要不充分條件C.“，有”的否定是“，使”D.“是方程的實(shí)數(shù)根”的充要條件是“”【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)不等式的范圍判斷A；根據(jù)交集的概念判斷B；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題判斷C；將1代入方程求解判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋曰颍浴爱?dāng)”時(shí)，“”成立，反之不成立，故“”是“”的充分不必要條件，正確；對(duì)于B，“”一定有“”成立，反之不成立，故“”是“”的充分不必要條件，錯(cuò)誤；對(duì)于C，命題“，有”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，即“，使”，正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，1為方程的一個(gè)根，故充分；當(dāng)方程有一個(gè)根為1時(shí)，代入得，故必要，正確；故選：ACD10.定義在上的函數(shù)滿足，且是單調(diào)函數(shù)，，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由題干條件可得到是定義在上的單調(diào)遞增奇函數(shù)，由此可得到ABD是正確的.取，則滿足題干的所有條件，此時(shí)，所以C錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足，所以是奇函數(shù)，從而，所以A正確；因?yàn)槭菃握{(diào)函數(shù)，且，所以是上的單調(diào)遞增函數(shù)，故，所以B正確；取，則滿足題干的所有條件，此時(shí)，所以C錯(cuò)誤；由于，且是上的單調(diào)遞增函數(shù)，故，所以D正確.故選：ABD.11.世界公認(rèn)的三大著名數(shù)學(xué)家為阿基米德、牛頓、高斯，其中享有“數(shù)學(xué)王子”美譽(yù)的高斯提出了取整函數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如，．已知函數(shù)，則（）A.在上是增函數(shù) B.C.為奇函數(shù) D.的值域?yàn)椤敬鸢浮緽D【解析】【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義、函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的定義求解可得答案.【詳解】因?yàn)?，，即，故A不正確；B正確；因?yàn)?，所以C不正確；因?yàn)楸硎静怀^(guò)的最大整數(shù)，設(shè)，則，則，即的值域?yàn)?，故D正確.故選：BD12.若實(shí)數(shù)，且，則（）A.的最大值為1 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A，利用基本不等式求解判斷即可；對(duì)于B，利用基本不等式“1”的妙用即可得解；對(duì)于C，利用換元法與配方法即可得解；對(duì)于D，將所求轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，再利用基本不等式求解判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，則，所以，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值為1，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故B正確；對(duì)于C，令，則，，故，顯然，所以，當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋瑒t，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)不滿足，故上式等號(hào)不成立，所以取不到最小值，故D錯(cuò)誤.故選：BC.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.為豐富學(xué)生課余生活，拓寬學(xué)生視野，某校積極開展社團(tuán)活動(dòng)，高一（1）班參加社團(tuán)的學(xué)生有21人，參加社團(tuán)的學(xué)生有18人，兩個(gè)社團(tuán)都參加的有7人，另外還有3個(gè)人既不參加社團(tuán)也不參加社團(tuán)，那么高一（1）班總共有學(xué)生人數(shù)為_________．【答案】35【解析】【分析】求出只參加社團(tuán)和只參加社團(tuán)的人數(shù)，即可求出高一（1）班總共有學(xué)生人數(shù).【詳解】由題意，高一（1）班參加社團(tuán)的學(xué)生有21人，參加社團(tuán)的學(xué)生有18人，兩個(gè)社團(tuán)都參加的有7人，∴只參加社團(tuán)的學(xué)生有（人），只參加社團(tuán)的學(xué)生有（人），∵另外還有3個(gè)人既不參加社團(tuán)也不參加社團(tuán)，∴高一（1）班總共有學(xué)生人數(shù)為：（人）故答案為：.14.冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則的值為______.【答案】【解析】【分析】由函數(shù)是冪函數(shù)，列方程求出的值，再驗(yàn)證是否滿足題意.【詳解】由函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得或；當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，不合題意.故答案為：.15.若且，則_________．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)，換元法求得的表達(dá)式，由已知列方程求解即可得的值.【詳解】若，設(shè)，則，從而所以，則，解得或（舍），故.故答案為：.16.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________．【答案】####【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意，法一：在中，設(shè)存在，且，則，∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，解得：，故答案為：.法二：在中，，∵在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，解得：故答案為：.四、解答題（共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.（1）求的值；（2）不等式的解集為，求實(shí)數(shù)，的值．【答案】（1）0；（2）實(shí)數(shù)，的值分別為3，2．【解析】【分析】（1）運(yùn)用對(duì)數(shù)恒等式和對(duì)數(shù)公式計(jì)算.（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可.【詳解】（1）原式（2）在方程中，由根與系數(shù)的關(guān)系得解之得所以實(shí)數(shù)，的值分別為3，2．18.著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常常借助圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)．已知函數(shù).（1）在平面直角坐標(biāo)系中作函數(shù)的簡(jiǎn)圖，并根據(jù)圖象寫出該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）解不等式.【答案】（1）作圖見解析，單調(diào)減區(qū)間為和（2）【解析】【分析】（1）直接利用指數(shù)函數(shù)與一元二次函數(shù)圖象作圖即可，根據(jù)圖象寫出函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間求解；（2）分段討論解不等式，最后再求并集即可.【小問(wèn)1詳解】簡(jiǎn)圖如圖所示：由圖可得該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和；【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)時(shí)，得，所以；②當(dāng)時(shí)，，解得；綜上：不等式的解集為.19.函數(shù)（其中，為常數(shù)，且，）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若不等式在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入點(diǎn)，，待定系數(shù)法即可求解；（2）代入后參變分離可得，換元法結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意得，解之得，故；【小問(wèn)2詳解】由（1）知在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，所以，因?yàn)?，由于得，所以?dāng)即時(shí)，有最大值為，因此的取值范圍為.20.從①，②，③三個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充到下列橫線中，并求解下列問(wèn)題．集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若________，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）條件選擇見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，直接由集合的并集運(yùn)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由①②③可得，然后列出不等式，即可得到的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，而，所以【小問(wèn)2詳解】若選①得，當(dāng)即時(shí)滿足當(dāng)即時(shí)由得，解得，綜上：的取值范圍為若選②得，答案同上．若選③得，答案同上．21.《中華人民共和國(guó)鄉(xiāng)村振興促進(jìn)法》中指出：全面實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，開展促進(jìn)鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興、人才振興、文化振興、生態(tài)振興、組織振興，推進(jìn)城鄉(xiāng)融合發(fā)展．為深入踐行習(xí)近平總書記提出“綠水青山就是金山銀山”的理念，圍繞“產(chǎn)業(yè)發(fā)展生態(tài)化，生態(tài)建設(shè)產(chǎn)業(yè)化”思路．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為全力打造成“生態(tài)特色小鎮(zhèn)”，調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某種農(nóng)作物的單株產(chǎn)量（單位：）與肥料費(fèi)用（單位：元）滿足如下關(guān)系：其它總成本為（單位：元），已知這種農(nóng)作物的市場(chǎng)售價(jià)為每千克5元，且供不應(yīng)求，記該單株農(nóng)作物獲得的利潤(rùn)為（單位：元）．（1）求的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少元時(shí)，該單株農(nóng)作物獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】（1）（2）當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為6元時(shí)，該單株農(nóng)作物獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為52元【解析】【分析】（1）根據(jù)利潤(rùn)毛收入成本可得結(jié)果；（2）分段求出最大值，再兩者中的更大的為最大值.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，所以函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)綜上：當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為6元時(shí)，單株農(nóng)作物獲得的利潤(rùn)最大為52元.22.若是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有．（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明；（2）若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）函數(shù)在上的單調(diào)遞增，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合題意，利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明；（2）結(jié)合題意將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的恒成立，分和兩種情況分離變量，再利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可求解.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增證明如