寧夏銀川六盤山高級中學(xué)高三高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）

2021年寧夏六盤山高級中學(xué)高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）一．選擇題（每小題5分）.1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0≤x≤1}，則A∩B＝（）A．[﹣1，1] B．{0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}2．設(shè)i?z＝4﹣3i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i3．單位向量，滿足|+|＝|﹣|，則與的夾角為（）A． B． C． D．4．若深圳人民醫(yī)院有5名醫(yī)護(hù)人員，其中有男性2名，女性3名．現(xiàn)要抽調(diào)兩人前往湖北進(jìn)行支援，則抽調(diào)的兩人剛好為一男一女的概率為（）A． B． C． D．5．今年5月25日工信部部長在“兩會部長通道”表示，中國每周大概增加1萬多個5G基站，4月份增加5G用戶700多萬人，5G通信將成為社會發(fā)展的關(guān)鍵動力，如圖是某機(jī)構(gòu)對我國未來十年5G用戶規(guī)模的發(fā)展預(yù)測圖，閱讀如圖關(guān)于下列說法，其中正確的是（）A．2022年我國5G用戶規(guī)模年增長率最高 B．2025年我國5G用戶數(shù)規(guī)模最大 C．從2020年到2026年，我國的5G用戶規(guī)模增長兩年后，其年增長率逐年下降 D．這十年我國的5G用戶數(shù)規(guī)模，后5年的平均數(shù)與方差都分別大于前5年的平均數(shù)與方差6．中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，如圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖．執(zhí)行該程序框圖，若輸入x＝2，n＝2，依次輸入a的值為1，2，3，則輸出的s＝（）A．10 B．11 C．16 D．177．函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)0＜x≤1時，f（x）＝log2021x，則＝（）A．1 B．﹣1 C． D．20218．如圖，在正方體ABCD﹣A'B'C'D'中，E、F分別為棱CC'、AB的中點，則異面直線A'D'與EF所成角的余弦值是（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，則下列說法錯誤的是（）A．f（x）的最小正周期是π B．f（x）的圖象關(guān)于的對稱 C．f（x）在[﹣，]上為減函數(shù) D．f（x）的一條對稱軸是10．已知雙曲線C：的右焦點為F，若以O(shè)F（O為坐標(biāo)原點）為直徑的圓被雙曲線C的一條漸近線所截得的弦長等于雙曲線C的虛軸長，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．211．線段的黃金分割點定義：若點C在線段AB上，且滿足AC2＝BC?AB，則稱點C為線段AB的黃金分割點，在△ABC中，AB＝AC，A＝36°，若角B的平分線交邊AC于點D，則點D為邊AC的黃金分割點，利用上述結(jié)論，可以求出cos36°＝（）A． B． C． D．12．已知點A（﹣，0），B（，0），C（﹣1，0），D（1，0），P（x，y），如果直線PA，PB的斜率之積為，記∠PCD＝α，∠PDC＝β，則＝（）A． B．2 C． D．二．填空題（每小題5分）.13．點P（x，y）滿足，則由點P構(gòu)成的平面區(qū)域的面積是．14．記Sn為正項等比數(shù)列{an}的前n項和，若a1+a2＝96，a3＝16，則S4的值為．15．能夠說明“若a＞b，則＜”是假命題的一組非零實數(shù)a，b的值依次為、．16．三棱錐A﹣BCD的一條棱長為a，其余棱長均為1，當(dāng)三棱錐A﹣BCD的體積最大時，它的外接球的表面積為．三．解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．已知數(shù)列an的前n項和為Sn，點（n，Sn）（n∈N*）在函數(shù)f（x）＝3x2﹣2x的圖象上，（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．18．現(xiàn)有兩個全等的等腰直角三角板，直角邊長為2，將它們的一直角邊重合，若將其中一個三角板沿直角邊折起形成三棱錐A﹣BCD，如圖所示，其中∠ABD＝60°，點E，F(xiàn)，G分別是AC，BC，AB的中點．（1）求證：EF⊥平面CDG；（2）求三棱錐G﹣ACD的體積．19．某醫(yī)療機(jī)構(gòu)承擔(dān)了某城鎮(zhèn)的新冠疫苗接種任務(wù)，現(xiàn)統(tǒng)計了前8天，每天（用t＝1，2，…，8表示）的接種人數(shù)y（單位：百）相關(guān)數(shù)據(jù)，并制作成如圖所示的散點圖：（1）由散點圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，求y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（2）根據(jù)該模型，求第10天接種人數(shù)的預(yù)報值；并預(yù)測哪一天的接種人數(shù)會首次突破2500人．參考數(shù)據(jù)：＝12.25，（ti﹣）2＝42，（yi﹣）（ti﹣）＝70．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（t1，y1），（t2，y2），…，（tn，yn），回歸方程＝+t中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為＝，＝﹣．20．如圖，A，B，M，N為拋物線y2＝2x上四個不同的點，直線AB與直線MN相交于點（1，0），直線AN過點（2，0）．（1）記A，B的縱坐標(biāo)分別為yA，yB，求yA?yB的值；（2）記直線AN，BM的斜率分別為k1，k2，是否存在實數(shù)λ，使得k2＝λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．21．已知函數(shù)f（x）＝1﹣axcosx（a≠0）．（1）當(dāng)a＝1時，求曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（2）求函數(shù)f（x）在[0，]的最小值．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．在花語中，四葉草象征幸運．已知在極坐標(biāo)系下，方程ρ＝2sin2θ對應(yīng)的曲線如圖所示，我們把這條曲線形象地稱為“四葉草”．（1）當(dāng)“四葉草”中的時，求以極點為圓心的單位圓與“四葉草”交點的極坐標(biāo)；（2）已知A為“四葉草”上的點，求點A到直線距離的最小值以及此時點A的極坐標(biāo)．[選修?45不等式證明選講?]23．已知：a2+b2＝1，其中a，b∈R．（1）求證：≤1；（2）若ab＞0，求（a+b）（a3+b3）的最小值．參考答案一．選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0≤x≤1}，則A∩B＝（）A．[﹣1，1] B．{0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}解：∵A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0≤x≤1}，∴A∩B＝{0，1}．故選：B．2．設(shè)i?z＝4﹣3i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i解：∵i?z＝4﹣3i，∴z＝＝＝＝﹣3﹣4i，∴復(fù)數(shù)z的虛部為﹣4，故選：A．3．單位向量，滿足|+|＝|﹣|，則與的夾角為（）A． B． C． D．解：根據(jù)題意，設(shè)與的夾角為θ，單位向量，滿足|+|＝|﹣|，則|+|2＝|﹣|2，變形可得：2+2+2?＝42+2﹣4?，變形可得cosθ＝，又由0≤θ≤π，則θ＝，故選：B．4．若深圳人民醫(yī)院有5名醫(yī)護(hù)人員，其中有男性2名，女性3名．現(xiàn)要抽調(diào)兩人前往湖北進(jìn)行支援，則抽調(diào)的兩人剛好為一男一女的概率為（）A． B． C． D．解：深圳人民醫(yī)院有5名醫(yī)護(hù)人員，其中有男性2名，女性3名．現(xiàn)要抽調(diào)兩人前往湖北進(jìn)行支援，基本事件總數(shù)n＝＝10，抽調(diào)的兩人剛好為一男一女包含的基本事件個數(shù)m＝＝6，則抽調(diào)的兩人剛好為一男一女的概率為P＝．故選：C．5．今年5月25日工信部部長在“兩會部長通道”表示，中國每周大概增加1萬多個5G基站，4月份增加5G用戶700多萬人，5G通信將成為社會發(fā)展的關(guān)鍵動力，如圖是某機(jī)構(gòu)對我國未來十年5G用戶規(guī)模的發(fā)展預(yù)測圖，閱讀如圖關(guān)于下列說法，其中正確的是（）A．2022年我國5G用戶規(guī)模年增長率最高 B．2025年我國5G用戶數(shù)規(guī)模最大 C．從2020年到2026年，我國的5G用戶規(guī)模增長兩年后，其年增長率逐年下降 D．這十年我國的5G用戶數(shù)規(guī)模，后5年的平均數(shù)與方差都分別大于前5年的平均數(shù)與方差解：由某機(jī)構(gòu)對我國未來十年5G用戶規(guī)模的發(fā)展預(yù)測圖，知：對于A，2022年我國5G用戶規(guī)模年增長率超過300.0%，達(dá)到最高，故A正確；對于B，2029年我國5G用戶數(shù)達(dá)到137205.3萬人，規(guī)模最大，故B錯誤；對于C，從2020年到2026年，我國的5G用戶規(guī)模增長兩年后，其年增長率逐年下降，故C正確；對于D，這十年我國的5G用戶數(shù)規(guī)模，后5年的平均數(shù)大于前5年的平均數(shù)，后5年的方差小于前5年的方差，故D錯誤．故選：AC．6．中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，如圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖．執(zhí)行該程序框圖，若輸入x＝2，n＝2，依次輸入a的值為1，2，3，則輸出的s＝（）A．10 B．11 C．16 D．17解：∵輸入的x＝2，n＝2，當(dāng)輸入的a為1時，S＝1，k＝1，不滿足退出循環(huán)的條件；當(dāng)再次輸入的a為2時，S＝4，k＝2，不滿足退出循環(huán)的條件；當(dāng)輸入的a為3時，S＝11，k＝3，滿足退出循環(huán)的條件；故輸出的S值為11，故選：B．7．函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)0＜x≤1時，f（x）＝log2021x，則＝（）A．1 B．﹣1 C． D．2021解：因為函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)0＜x≤1時，f（x）＝log2021x，則＝﹣f（）＝﹣log2021＝1．故選：A．8．如圖，在正方體ABCD﹣A'B'C'D'中，E、F分別為棱CC'、AB的中點，則異面直線A'D'與EF所成角的余弦值是（）A． B． C． D．解：取CD的中點M，連結(jié)ME，F(xiàn)M，因為F，M分別為AB，DC的中點，所以FM∥AD，又A'D'∥AD，所以A'D'∥FM，則∠EFM即為異面直線A'D'與EF所成角，不妨設(shè)正方體的棱長為2，則FM＝2，EM＝，所以EF＝，在Rt△EFM中，cos∠EFM＝，所以異面直線A'D'與EF所成角的余弦值是．故選：A．9．已知函數(shù)，則下列說法錯誤的是（）A．f（x）的最小正周期是π B．f（x）的圖象關(guān)于的對稱 C．f（x）在[﹣，]上為減函數(shù) D．f（x）的一條對稱軸是解：對于函數(shù)，它的最小正周期為＝π，故A正確；令x＝﹣，求得f（x）＝0，可得f（x）的圖象關(guān)于的對稱，故B正確；當(dāng)x∈[﹣，]，2x∈[0，]，故f（x）在[﹣，]上為減函數(shù)，故C正確；令x＝，求得f（x）＝0，故x＝不是f（x）的一條對稱軸，故D錯誤，故選：D．10．已知雙曲線C：的右焦點為F，若以O(shè)F（O為坐標(biāo)原點）為直徑的圓被雙曲線C的一條漸近線所截得的弦長等于雙曲線C的虛軸長，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．2解：如圖所示：雙曲線C：的右焦點為F（c，0），雙曲線的漸近線方程為y＝±x，則點F到y(tǒng)＝±x的距離AF＝＝b，∴OA＝＝a，∵以O(shè)F（O為坐標(biāo)原點）為直徑的圓被雙曲線C的一條漸近線所截得的弦長等于雙曲線C的虛軸長，∴a＝2b．∴e＝＝＝．故選：A．11．線段的黃金分割點定義：若點C在線段AB上，且滿足AC2＝BC?AB，則稱點C為線段AB的黃金分割點，在△ABC中，AB＝AC，A＝36°，若角B的平分線交邊AC于點D，則點D為邊AC的黃金分割點，利用上述結(jié)論，可以求出cos36°＝（）A． B． C． D．解：如圖，設(shè)AB＝AC＝1，AD＝x，則CD＝1﹣x，由AD2＝CD?AC，得x2＝1﹣x，解得x＝或x＝（舍）．∴AD＝．∴cos36°＝．故選：B．12．已知點A（﹣，0），B（，0），C（﹣1，0），D（1，0），P（x，y），如果直線PA，PB的斜率之積為，記∠PCD＝α，∠PDC＝β，則＝（）A． B．2 C． D．解：因為直線PA，PB的斜率之積為，所以＝﹣，整理得，（x），則C（﹣1，0），D（1，0）為橢圓的焦點，所以＝＝＝．故選：C．二．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點P（x，y）滿足，則由點P構(gòu)成的平面區(qū)域的面積是2．解：畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影所示：由，解得A（3，3）；由，解得B（1，1）；由，解得C（2，0）；因為直線x﹣y＝0與直線x+y＝2互相垂直，且|AB|＝＝2，|BC|＝＝，所以由點P構(gòu)成的平面區(qū)域的面積是S△ABC＝?|AB|?|BC|＝×2×＝2．故答案為：2．14．記Sn為正項等比數(shù)列{an}的前n項和，若a1+a2＝96，a3＝16，則S4的值為120．解：根據(jù)題意，設(shè)該正項等比數(shù)列的公比為q，則q＞0，因為a1+a2＝96，所以a1（1+q）＝96，又a3＝a1q2＝16，所以，整理可得：6q2﹣q﹣1＝0，解得q＝，或q＝﹣（舍去），所以a1＝64，所以S4＝＝120．故答案為：120．15．能夠說明“若a＞b，則＜”是假命題的一組非零實數(shù)a，b的值依次為1、﹣1．解：因為u＝x+在R上單調(diào)遞增，y＝，在（﹣∞，0）和（0，+∞）上單調(diào)遞減，于是y＝的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，0）和（0，+∞）．所以當(dāng)a＞0，b＞0時，或者當(dāng)a＜0，b＜0時，命題“若a＞b，則＜”是真命題，當(dāng)a＞0，b＜0時，a＞b成立，但＞0，＜0，所以＞，所以命題“若a＞b，則＜”是假命題，于是取一組特值滿足a＞0，b＜0即可，不妨取a＝1，b＝﹣1．故答案為：1、﹣1．16．三棱錐A﹣BCD的一條棱長為a，其余棱長均為1，當(dāng)三棱錐A﹣BCD的體積最大時，它的外接球的表面積為．解：由題意畫出三棱錐的圖形，其中AB＝BC＝CD＝BD＝AC＝1，AD＝a．取BC，AD的中點分別為E，F(xiàn)，可知AE⊥BC，DE⊥BC，且AE∩DE＝E，∴BC⊥平面AED，∴平面ABC⊥平面BCD時，三棱錐A﹣BCD的體積最大，此時AD＝a＝AE＝×＝．設(shè)三棱錐外接球的球心為O，半徑為R，由球體的對稱性知，球心O在線段EF上，∴OA＝OC＝R，又EF＝＝，設(shè)OF＝xOE＝，∴R2＝+x2＝，解得x＝．∴球的半徑R滿足R2＝＝，∴三棱錐外接球的表面積為4πR2＝4π×＝．故答案為：．三．解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．已知數(shù)列an的前n項和為Sn，點（n，Sn）（n∈N*）在函數(shù)f（x）＝3x2﹣2x的圖象上，（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．解：（1）由題意可知：Sn＝3n2﹣2n當(dāng)n≥2，an＝Sn﹣Sn﹣1＝3n2﹣2n﹣3（n﹣1）2+2（n﹣1）＝6n﹣5．又因為a1＝S1＝1..所以an＝6n﹣5．（2）所以Tn＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．18．現(xiàn)有兩個全等的等腰直角三角板，直角邊長為2，將它們的一直角邊重合，若將其中一個三角板沿直角邊折起形成三棱錐A﹣BCD，如圖所示，其中∠ABD＝60°，點E，F(xiàn)，G分別是AC，BC，AB的中點．（1）求證：EF⊥平面CDG；（2）求三棱錐G﹣ACD的體積．【解答】（1）證明：根據(jù)已知得AD＝BD，又G為AB的中點，所以DG⊥AB，因為AC＝BC，G為AB的中點，所以CG⊥AB，又DG∩CG＝G，DG?平面CDG，CG?平面CDG，所以AB⊥平面CDG，又因為AB∥EF，所以EF⊥平面CDG．（2）解：因為CD⊥AD，CD⊥BD，所以CD⊥平面ABD，取BD中點H，連接AH，F(xiàn)H，則AH⊥平面BDC，所以對于三棱錐A﹣BCD的體積，以三角形BCD為底，AH為高，所以，所以．19．某醫(yī)療機(jī)構(gòu)承擔(dān)了某城鎮(zhèn)的新冠疫苗接種任務(wù)，現(xiàn)統(tǒng)計了前8天，每天（用t＝1，2，…，8表示）的接種人數(shù)y（單位：百）相關(guān)數(shù)據(jù)，并制作成如圖所示的散點圖：（1）由散點圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，求y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（2）根據(jù)該模型，求第10天接種人數(shù)的預(yù)報值；并預(yù)測哪一天的接種人數(shù)會首次突破2500人．參考數(shù)據(jù)：＝12.25，（ti﹣）2＝42，（yi﹣）（ti﹣）＝70．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（t1，y1），（t2，y2），…，（tn，yn），回歸方程＝+t中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為＝，＝﹣．解：（1）由題意可得，，所以＝，故＝﹣×≈4.75，所以y關(guān)于t的回歸方程為t+4.75；（2）第10天接種人數(shù)的預(yù)報值為2145人，當(dāng)t＝12時，的預(yù)報值為×12+4.75＝24.79，當(dāng)t＝13時，的預(yù)報值為×13+4.75＝26.46＞25，故預(yù)計從第13天開始，接種人數(shù)會突破2500人．20．如圖，A，B，M，N為拋物線y2＝2x上四個不同的點，直線AB與直線MN相交于點（1，0），直線AN過點（2，0）．（1）記A，B的縱坐標(biāo)分別為yA，yB，求yA?yB的值；（2）記直線AN，BM的斜率分別為k1，k2，是否存在實數(shù)λ，使得k2＝λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．解：（1）設(shè)直線AB的方程為x＝my+1，代入y2＝2x得y2﹣2my﹣2＝0，則yA?yB＝﹣2，（2）由（1）同理得yM?yN＝﹣2，設(shè)直線AN的方程為x＝ny+2，代入y2＝2x得y2﹣2ny﹣4＝0，則yA?yN＝﹣4，又k1＝＝＝，同理k2＝，則λ＝＝＝＝＝2，∴存在實數(shù)λ＝2，使得k2＝2k1成立．21．已知函數(shù)f（x）＝1﹣axcosx（a≠0）．（1）當(dāng)a＝1時，求曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（2）求函數(shù)f（x）在[0，]的最小值．解：（1）當(dāng)a＝1時，f（x）＝1﹣xcosx，∴f'（x）＝xsinx﹣cosx，又f（0）＝1得切點（0，1），∴k＝f'（0）＝﹣1，所以切線方程為y﹣1＝﹣x，即x+y﹣1＝0；（2）法一：f（x）＝1﹣axcosx，∴f′（x）＝a（xsinx﹣cosx），x∈[0，]，令g（x）＝xsinx﹣cosx，∴g'（x）＝2sinx+xcosx，由，得g'（x）≥0，所以g（x）在上為單調(diào)增函數(shù)，又，所以g（x）＜0在上恒成立，即，當(dāng)a＞0時，f'（x）＜0，知f（x）在上為減函數(shù)，從而