文科數(shù)學全國通用版一輪復習課時跟蹤檢測第2章第9節(jié)函數(shù)模型及其應用

第二章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)(Ⅰ)第九節(jié)函數(shù)模型及其應用A級·基礎過關(guān)|固根基|20cm，點燃后每小時燃燒5cm，燃燒時剩下的高度h(cm)與燃燒時間t(解析：選B由題意知h＝20－5t(0≤t≤4)，圖象應為B項．2．某家具的標價為132元，若降價以九折出售(即優(yōu)惠10%)，仍可獲利10%(相對進貨價)，則該家具的進貨價是()A．118元 B．105元C．106元 D．108元解析：選D設進貨價為a元，由題意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.3．根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與eq\f(M,N)最接近的是()(參考數(shù)據(jù)：lg3≈)A．1033 B．1053C．1073 D．1093解析：選DM≈3361，N≈1080，eq\f(M,N)≈eq\f(3361,1080)，則lgeq\f(M,N)≈lgeq\f(3361,1080)＝lg3361－lg1080＝361lg3－80≈93.∴eq\f(M,N)≈1093.4．某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y1xx2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是()萬元 B．11萬元C．43萬元 D．萬元解析：選C設公司在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16－x)輛．所以利潤yxx2＋2(16－xx2x＋32eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(21,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(212,4)＋32.因為x∈[0，16]，且x∈N，所以當x＝10或11時，總利潤取得最大值43萬元．5．設某公司原有員工100人從事產(chǎn)品A的生產(chǎn)，平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值t萬元(t為正數(shù))．公司決定從原有員工中分流x(0＜x＜100，x∈N*)人去進行新開發(fā)的產(chǎn)品B的生產(chǎn)．分流后，繼續(xù)從事產(chǎn)品Ax%.若要保證產(chǎn)品A的年產(chǎn)值不減少，則最多能分流的人數(shù)是()A．15 B．16C．17 D．18解析：選B由題意，分流前每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為100t萬元，分流x人后，每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為(100－x)(1＋x%)t萬元，則由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜x＜100，x∈N*，,（100－xx%）t≥100t，))解得0＜x≤eq\f(50,3).因為x∈N*，所以x的最大值為16.6．當生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．當死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時，用一般的放射性探測器就測不到了．若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到，則它經(jīng)過的“半衰期”個數(shù)至少是()A．8 B．9C．10 D．11解析：選C設該死亡生物體內(nèi)原來的碳14的含量為1，則經(jīng)過n個“半衰期”后的含量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)＜eq\f(1,1000)，得n≥10，所以，若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到，則它至少需要經(jīng)過10個“半衰期”．7．(2019屆北京東城模擬)小菲在學校選修課中了解到艾賓浩斯遺忘曲線，為了解自己記憶一組單詞的情況，她記錄了隨后一個月的有關(guān)數(shù)據(jù)，繪制圖象，擬合了記憶保持量f(x)與時間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(7,20)x＋1，0<x≤1，,\f(1,5)＋\f(9,20)x－\s\up6(\f(1,2))，1<x≤30.))某同學根據(jù)小菲擬合后的信息得到以下結(jié)論：①隨著時間的增加，小菲的單詞記憶保持量降低；②9天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%；③26天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%.其中正確結(jié)論的序號有________．(請寫出所有正確結(jié)論的序號)解析：由函數(shù)解析式可知f(x)隨著x的增加而減少，故①正確；當1<x≤30時，f(x)＝eq\f(1,5)＋eq\f(9,20)x－eq\s\up10(\f(1,2))，則f(9)＝eq\f(1,5)＋eq\f(9,20)×9－eq\s\up10(\f(1,2))，即9天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%，故②正確；f(26)＝eq\f(1,5)＋eq\f(9,20)×26－eq\s\up10(\f(1,2))>eq\f(1,5)，故③錯誤．答案：①②8.有一批材料可以建成200m長的圍墻，如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣的材料隔成三個面積相等的矩形(如圖所示)，則圍成的矩形場地的最大面積為________m2.(圍墻厚度不計)解析：設圍成的矩形場地的長為xm，則寬為eq\f(200－x,4)m，則S＝x·eq\f(200－x,4)＝eq\f(1,4)(－x2＋200x)＝－eq\f(1,4)(x－100)2＋2500.∴當x＝100時，Smax＝2500m答案：25009．已知投資x萬元經(jīng)銷甲商品所獲得的利潤為P＝eq\f(x,4)；投資x萬元經(jīng)銷乙商品所獲得的利潤為Q＝eq\f(a,2)eq\r(x)(a＞0)．若投資20萬元同時經(jīng)銷這兩種商品或只經(jīng)銷其中一種商品，使所獲得的利潤不少于5萬元，則a的最小值為________．解析：設投資乙商品x萬元(0≤x≤20)，則投資甲商品(20－x)萬元．則利潤分別為Q＝eq\f(a,2)eq\r(x)(a＞0)，P＝eq\f(20－x,4)，由題意得P＋Q≥5，0≤x≤20時恒成立，則化簡得aeq\r(x)≥eq\f(x,2)，在0≤x≤20時恒成立．(1)x＝0時，a為一切實數(shù)；(2)0＜x≤20時，分離參數(shù)a≥eq\f(\r(x),2)，0＜x≤20時恒成立，所以a≥eq\r(5)，a的最小值為eq\r(5).答案：eq\r(5)10．已知某服裝廠生產(chǎn)某種品牌的衣服，銷售量q(x)(單位：百件)關(guān)于每件衣服的利潤x(單位：元)的函數(shù)解析式為q(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1260,x＋1)，0＜x≤20，,90－3\r(5)\r(x)，20＜x≤180，))求該服裝廠所獲得的最大效益是多少元？解：設該服裝廠所獲效益為f(x)元，則f(x)＝100xq(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(126000x,x＋1)，0＜x≤20，,100x（90－3\r(5)\r(x)），20＜x≤180.))當0＜x≤20時，f(x)＝eq\f(126000x,x＋1)＝126000－eq\f(126000,x＋1)，f(x)在區(qū)間(0，20]上單調(diào)遞增，所以當x＝20時，f(x)有最大值120000；當20＜x≤180時，f(x)＝9000x－300eq\r(5)·xeq\r(x)，則f′(x)＝9000－450eq\r(5)·eq\r(x)，令f′(x)＝0，所以x＝80.當20＜x＜80時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；當80≤x≤180時，f′(x)≤0，f(x)為單調(diào)遞減，所以當x＝80時，f(x)有極大值，也是最大值240000.由于120000＜240000.故該服裝廠所獲得的最大效益是240000元.B級·素養(yǎng)提升|練能力|aL水緩慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y＝aent.假設過5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再過mmin甲桶中的水只有eq\f(a,4)L，則m的值為()A．5 B．8C．9 D．10解析：選A∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函數(shù)y＝f(t)＝aent滿足f(5)＝ae5n＝eq\f(1,2)a，可得n＝eq\f(1,5)lneq\f(1,2)，∴f(t)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up10(\f(t,5))，因此，當kmin后甲桶中的水只有eq\f(a,4)L時，f(k)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up10(\f(k,5))＝eq\f(1,4)a，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up10(\f(k,5))＝eq\f(1,4)，∴k＝10，由題可知m＝k－5＝5.12．“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過廣告宣傳進入消費者視線的．已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關(guān)系R＝aeq\r(A)(a為常數(shù))，廣告效應為D＝aeq\r(A)－A.那么精明的商人為了取得最大廣告效應，投入的廣告費應為________．(用常數(shù)a表示)解析：令t＝eq\r(A)(t≥0)，則A＝t2，所以D＝at－t2＝－t－eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,4)a2，所以當t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2時，D取得最大值．答案：eq\f(1,4)a213．(2019年北京卷)李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%.(1)當x＝10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為________．解析：(1)當x＝10時，一次購買草莓和西瓜各1盒，共60＋80＝140(元)，由題可知顧客需支付140－10＝130(元)．(2)設每筆訂單金額為m元，當0≤m＜120時，顧客支付m元，李明得到m元，m≥m，顯然符合題意，此時x＝0；當m≥120時，根據(jù)題意得(m－x)80%≥m×70%，所以x≤eq\f(m,8)，而m≥120，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,8)))eq\s\do7(min)，而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,8)))eq\s\do7(min)＝15，所以x≤15.綜上，當0≤x≤15時，符合題意，所以x的最大值為15.答案：(1)130(2)1514．十九大提出對農(nóng)村要堅持精準扶貧，至2020年底全面脫貧．現(xiàn)有扶貧工作組到某山區(qū)貧困村實施脫貧工作，經(jīng)摸底排查，該村現(xiàn)有貧困農(nóng)戶100家，他們均從事水果種植，2017年底該村平均每戶年純收入為1萬元．扶貧工作組一方面請有關(guān)專家對水果進行品種改良，提高產(chǎn)量；另一方面，抽出部分農(nóng)戶從事水果包裝、銷售工作，其人數(shù)必須小于種植的人數(shù)．從2018年初開始，若該村抽出5x戶(x∈Z，1≤x≤9)從事水果包裝、銷售工作，經(jīng)測算，剩下從事水果種植的農(nóng)戶的年純收入每戶平均比上一年提高eq\f(x,20)，而從事包裝、銷售的農(nóng)戶的年純收入每戶平均為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,4)x))3＝，3≈3＝1.728)．(1)至2020年底，為使從事水果種植的農(nóng)戶能實現(xiàn)脫貧(每戶年均純收入不低于1萬6千元)，至少要抽出多少戶從事包裝、銷售工作？(2)至2018年底，該村每戶年均純收入能否達到1.35萬元？若能，請求出從事包裝、銷售的戶數(shù)；若不能，請說明理由．解：(1)至2020年底，種植戶平均收入＝eq\f(（100－5x）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,20)))\s\up12(3),100－5x)≥，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,20)))eq\s\up12(3)≥，即x≥20(eq\r(3,1.6)－1)．由題中所給數(shù)據(jù)，知1.15＜eq\r(3,1.6)＜1.2