一階微分方程

一階微分方程PAGEPAGE11第二節(jié)一階微分方程一階微分方程的一般形式為F(x,y,y′)＝0或y′f(x,y)，其中F(x,y,y′)是x，y，y′的已知函數(shù)，f(x,y)是x，y的已知函數(shù)．這一節(jié)只介紹幾種較簡(jiǎn)單的一階微分方程的解法．它們通過(guò)求積分就可以找到未知函數(shù)與自變量的函數(shù)關(guān)系，我們稱這種求解微分方程的方法為初等積分法．一、可分離變量的方程形如f(x)g(y)(1021)或M1(x)M2(y)dyN1(x)N2(y)dx(1022)的一階微分方程稱為可分離變量方程．其中f(x)，g(y)及M1(x)，M2(y)，N1(x)及N2(y)均為已知連續(xù)函數(shù)．方程(1021)的求解步驟如下：先將方程(1021)分離變量得f(x)dx，g(y)≠0，根據(jù)一階微分形式的不變性，再對(duì)上式兩端分別積分,得通解G(y)F(x)C，其中G(y)和F(x)分別是和f(x)的一個(gè)原函數(shù)，C為任意常數(shù)．若有實(shí)數(shù)y0使得g(y0)0,則yy0也是方程(1021)的解，此解可能不包含在通解中．例1求解方程＝．解分離變量得＝dx．兩邊積分得arcsinyxC或ysin(xC)．注意對(duì)于給定的C，上述解中x∈．此外，y±1也是方程的兩個(gè)特解，但它未包含在通解之中．這是由于分離變量時(shí)，將作為分母時(shí)丟失了兩個(gè)特解．故所求方程的通解為：arcsiny＝xC（C為任意常數(shù)），另外還有兩個(gè)特解y＝±1．例2已知某商品的需求量x對(duì)價(jià)格P的彈性e＝3P3，而市場(chǎng)對(duì)該商品的最大需求量為1(萬(wàn)件)，求需求函數(shù)．解需求量x對(duì)價(jià)格P的彈性e＝．依題意，得＝3P3，于是＝3P2dP，積分得lnxP3C1，即xＣ(C)．由題設(shè)知P＝0時(shí)，x1,從而C1．因此所求的需求函數(shù)為x．例3根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，某產(chǎn)品的凈利潤(rùn)y與廣告支出x之間有如下關(guān)系：＝k(Ny），其中k，N都是大于零的常數(shù)，且廣告支出為零時(shí)，凈利潤(rùn)為y0，0＜y0＜N，求凈利潤(rùn)函數(shù)yy(x)，解分離變量kdx，兩邊同時(shí)積分得ln｜Ny｜kxC1(C1為任意常數(shù))，因Ny＞0，所以ln｜Ny｜ln(Ny)，上式經(jīng)整理得yNCekx(C＞0）．將x0，yy0代入上式得CNy0，于是所求的利潤(rùn)函數(shù)為yN(Ny0)ekx．由題設(shè)可知＞0，這表明y(x)是x的單調(diào)遞增函數(shù)；另一方面又有N，即隨著廣告支出增加，凈利潤(rùn)相應(yīng)地增加，并逐漸趨向于yN．因此，參數(shù)N的經(jīng)濟(jì)意義是凈利潤(rùn)的最大值．二、齊次微分方程1．齊次微分方程形如（1023）的一階微分方程，稱為齊次微分方程，簡(jiǎn)稱齊次方程．對(duì)于方程(1023)，通常可通過(guò)變量替換u將方程化為可分離變量的方程來(lái)解．具體過(guò)程如下：令u(或yux)，其中u是新的未知函數(shù)．對(duì)yux兩端關(guān)于x求導(dǎo)，得ux．代入(1023)得uxf(u)．分離變量并積分得，即(u)ln|x|C(C為任意常數(shù))，其中(u)是的一個(gè)原函數(shù)，再將u代入上式中，便得到方程(1023)的通解()＝ln|x|C．上面的推導(dǎo)要求f(u)u≠0，如果f(u)u0，也就是＝．這時(shí)，方程(1023)為＝．這已是一個(gè)可分離變量的方程，不必作代換就可求出它的通解為yCx．例4求微分方程xyx2y2滿足條件y|xe＝2e的解．解原方程可化為，這是一個(gè)齊次方程．作代換u，即yux，則＝ux．代入前一方程得uxu即x，分離變量并積分得u22ln｜x｜2C(C將u替換為，便得原方程的通解：y22x2ln｜x｜2Cx2，再將初始條件代入通解得4e22e2·lne2Ce2，求得C1，于是，所求的特解為y22x2(ln｜x｜1）．例5設(shè)甲、乙兩種商品的價(jià)格分別為P1,P2，且價(jià)格P1相對(duì)于P2的彈性為，求價(jià)格P1與P2的函數(shù)關(guān)系．解將所給方程整理為．這是齊次方程．令u，即P1＝uP2，則＝uP2，代入上式得uP2＝·u．整理得du＝2．兩邊積分得ln｜u｜＝2ln｜P2｜＋C1（C1為任意常數(shù)）．將u替換為，便得方程的通解(注意到u＞0,P22＞０)＝CP1P2（C＝，C為正數(shù))．2．可化為齊次方程的微分方程形如（1024）的微分方程，當(dāng)C1＝C2＝０時(shí)，就是一個(gè)齊次方程．當(dāng)C1,C2中至少有一個(gè)不為零時(shí)，盡管本身不是齊次方程，但經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q后，可化為齊次方程．下面分兩種情況討論：(1)若a1b2a2b1≠0,這時(shí)方程組有惟一解xα，yβ．作變量替換則＝＝．于是方程(1024)化為．這是關(guān)于變量u和v的齊次方程．求出其通解后再換回原來(lái)的變量x和y，即得原方程的通解．(2)若a1b2a2b10，這時(shí)令＝＝，即有a1λa2,b1λb2．方程(1024)可寫為＝．作變量替換ta2xb2y,此時(shí)＝a2b2，方程(1024)化為＝a2b2．這是關(guān)于變量t和x的可分離變量的方程．例6求方程＝的解．解解方程組得x2,y3．作變換xu2，yv3，原方程化為．這是一個(gè)齊次方程，按齊次方程的解法可求得它的通解為ln(u2v2)2arctanC．再將ux2，vy3代入上式，便得原方程的通解為．ln［(x2)2(y3)2］2arctanC．三、一階線性微分方程形如y′＋P(x)yQ(x)（1025）的方程叫做一階線性微分方程．其中P(x)，Q(x)為x的已知連續(xù)函數(shù)，Q(x)稱為自由項(xiàng)．如果Q(x)≡0，方程(1025)即為y′P(x)y0．（1026）該方程稱為一階齊次線性微分方程．而當(dāng)Q(x)≠0時(shí)，方程(1025)稱為一階非齊次線性微分方程．也稱(1026)為(1025)所對(duì)應(yīng)的齊次方程．注意這里所說(shuō)的齊次方程與上段討論的齊次方程是不同的．下面來(lái)討論一階非齊次線性方程(1025)的解法．先考慮非齊次線性方程(1025)所對(duì)應(yīng)的齊次方程(1026)的通解．顯然y0是它的一個(gè)解，當(dāng)y≠0時(shí)分離變量得P(x)dx．兩邊積分得ln｜y｜C1，即yC（C±）．y0也是方程(1026)的解，這時(shí)在上式中取C0即可．于是得到方程(1026)的通解為yC(C為任意常數(shù))．(1027)再利用“常數(shù)變易法”求非齊次線性方程(1025)的通解．由于方程(1025)與(1026)的左端相同，右端不同，方程(1025)的左端比方程(1026)的左端多了一項(xiàng)Q(x)，因此，我們猜想方程(1025)的通解也具有(1027)的形式，而其中的C不可能還是常數(shù)，而是x的某個(gè)函數(shù)C(x)．于是，可設(shè)方程(1025)的解為yC(x)·，（1028）其中C(x)是待定函數(shù)．將(1028)代入方程(1025)，得[C(x)]P(x)C(x)Q(x)．化簡(jiǎn)，得C(x)＝Q(x)．上式兩端同時(shí)積分，得C(x)dx＋C（C為任意常數(shù)）．將上式代入(1028)式，得非齊次線性方程(1025)的通解y[dx＋C](C為任意常數(shù))．（1029）這種將任意常數(shù)變成待定函數(shù)求解的方法，稱為常數(shù)變易法．將通解(1029)改寫為yC．不難看出：通解由兩部分構(gòu)成，其中第一項(xiàng)是方程(1025)所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程(1026)的通解，第二項(xiàng)是方程(1025)本身的一個(gè)特解［對(duì)應(yīng)于通解(1029)中C0的特解］．這并不偶然，這是線性方程解的結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要性質(zhì)．例7求方程xy′yex(x＞0)的通解．解所給方程可化為y′．（10210）先求得方程(10210)對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的通解為y，再利用常數(shù)變易法，設(shè)方程(10210)的解為y，代入方程(10210)得＝，化簡(jiǎn)，得C(x)ex，積分得C(x)exC，故得方程(10210)的通解為y(exC)（C為任意常數(shù)）．這也就是所求方程的通解．以上是按“常數(shù)變易法”的思路求解，本題也可直接利用通解公式(1029)求解．但是，必須先將方程化為形如方程(1025)的標(biāo)準(zhǔn)形式．這里，P(x)，Q(x)＝，代入公式(1029)，得方程的通解為y＝(exC)．例8求方程y′＝滿足初始條件y(0)1的特解．解先求出所給方程的通解．這個(gè)方程乍一看不像一階線性方程，但把它改寫成xy2，則是以y為自變量，x為未知函數(shù)的一階線性微分方程．利用通解公式(1029)得x＝＝Cyy3，將初始條件y(0)1代入上述通解中，得C＝，故所求方程的特解為xyy3．例9已知連續(xù)函數(shù)f(x)滿足條件f(x)＝＋e2x，求f(x)．解因原方程右端函數(shù)可導(dǎo)，所以f(x)可導(dǎo)．對(duì)方程兩端同時(shí)求導(dǎo)，得f′(x)3f(x)2e2x由一階線性方程的通解公式，得f(x)＝＝e3x(2exC)－２e2xCe3x．例10設(shè)yf(x)是第一象限內(nèi)連接點(diǎn)A(0，1)，B(1，0)的一段連續(xù)曲線，M(x,y)為該曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C為M在x軸上的投影，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若梯形OCMA的面積與曲邊三角形CBM的面積之和為＋，求f(x)的表達(dá)式．圖102解參看圖102，由題設(shè)得［1f(x)］＝＋，求導(dǎo)，得［1f(x)］xf′(x)f(x)，即f′(x)f(x)(x≠0)．利用一階線性微分方程的通解公式，得f(x)＝＝e＝x＝x21Cx．當(dāng)x0時(shí)，f(0)1．說(shuō)明上述解在x0時(shí)有意義．將條件f(1)0代入到通解中，得C2，于是有f(x)x22x1．形如P(x)yQ(x)ya（≠0，1）（10211）的方程稱為伯努利(Bernoulli)方程．它不是線性方程，但是經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，可將它化成線性方程求解．事實(shí)上，只要將方程(10211)兩端除以y，得yP(x)y1＝Q(x)，即＋P(x)y1＝Q(x)．若令y1＝z，則上面這個(gè)方程為P(x)z＝Q(x)．（10212）這是一個(gè)線性方程．求出這個(gè)方程的通解后，用y1替換z，便得到伯努利方程的通解．例11求方程y′的通解．解這是＝的伯努利方程．方程兩邊同時(shí)除以，得＝x．令z＝y(tǒng)1＝，則上面的方程化為＝．這是一階線性微分方程，其通解為z＝＝＝．將替換z，得原方程的通解為y（C為任意常數(shù))．習(xí)題1021．求下列微分方程的通解或在給定的初始條件下的特解：(1)y′＝；(2)xydxdy0;(3)(xy2x)dx(yx2y)dy0;(4)sinxcos2ydxcos2xdy0;(5)；(6)yy′xey0,y(1)0;(7)y′e2xy，．2．物體冷卻速度與該物質(zhì)和周圍介質(zhì)的溫差成正比，具有溫度為T0的物體放在保持常溫為的室內(nèi)，求溫度T與時(shí)間t的關(guān)系：3．求下列微分方程的通解或在給定條件下的特解：(1)xy′y＝0；(2)y′sin；(3)3xy2dy＝(2y3x3)dx;(4)x2y′xyy2，y(1)1；(5)xy′y(lnylnx),y(1)1;(6)(yx2)dx(xy4)dy;(7)(xy)dx(3x3y4)dy0．4．求下列微分方程的通解或在給定初始條件下的特解：(1)y′ysinx;(2)y′yxnex；(3)(x2y)dydx0;(4)(1xsiny)y′cosy0；(5)y′(x1)ex,y(0)1;(6)y′，y(0);(7)y′lnx,y(1)1;(8)y′2xy(xsinx)·，y(0)1;(9)y′＝；(10)y′＝．5．設(shè)函數(shù)f(x)在［1,＋∞］上連續(xù)，若由曲線yf(x)，直線x1,xt(t＞1)與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為V(t)＝［t2f(t)f(1)］．試求yf(x)所滿足的微分方程，并求該微分方程滿足條件y(2)的特解．6．設(shè)某生物群體的出生率為常數(shù)a，由于擁擠及對(duì)食物的競(jìng)爭(zhēng)的加劇等原因，死亡率與當(dāng)時(shí)群體中的個(gè)體量成正比(比例系數(shù)為b＞0)．如果t0時(shí)生物個(gè)體總數(shù)為x0，求時(shí)刻t時(shí)的生物個(gè)體的總數(shù)