初三數(shù)學(xué)年旋轉(zhuǎn)相似講義

專題：旋轉(zhuǎn)相似模型：手拉手相似模型，旋轉(zhuǎn)相似成雙對。條件：CD∥AB（本質(zhì)即為△OCD∽△OAB），將△OCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖1和圖2的位置。結(jié)論：=1\*GB2⑴、△OCD∽△OAB△OAC∽△OBD。即連接對應(yīng)點(diǎn)所得的一對新三角形相似。=2\*GB2⑵、延長AC交BD于點(diǎn)E，則∠AEB=∠BOA（用蝴蝶形圖證明）（能得到點(diǎn)A、O、E、B四點(diǎn)共圓）模型特例：共直角頂點(diǎn)的直角三角形相似當(dāng)∠AOB=∠COD=90°時(shí)，除=1\*GB2⑴、△OCD∽△OAB△OAC∽△OBD=2\*GB2⑵、延長AC交BD于點(diǎn)E，則∠AEB=∠BOA=90°（用蝴蝶形圖證明）外，還有結(jié)論=3\*GB2⑶、=4\*GB2⑷、因?yàn)锳C⊥BD于點(diǎn)E，那么，若連AD、BC，則四邊形ABCD對角線互相垂直，則例2.如圖１，已知在正方形ABCD和正方形BEFG中，求證：AG＝CE；求的值分析：如圖2，證，∴AG=CE如圖2，連接BD，BF，DF，易證，，∴∴∴變式：如圖3，正方形ABCD和EFGH中，O為BC，EF中點(diǎn)(1)求證：AH=DG;(2)求的值。分析：(1)連接易證：AEDBC例3.如圖，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°，AC＝3，AEAEDBC分析：連接BE，由基本圖形易得可證△ACD∽△BCE，AD＝EQ\F(eq\r(,3),3)BE，∠BAE＝90°在Rt△ABE作，由勾股定理求得BE＝10AEDBC則AD＝EQ\F(10eq\r(,3),3)AEDBC練習(xí)1.如圖，點(diǎn)A是△DBC內(nèi)一點(diǎn)，求BD得長。分析：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似，由基本圖形可得出以下幾種方法，求出BD=10.練習(xí)2．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，F(xiàn)、G分別為AC、BC的中點(diǎn)，將△CFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直線AF與直線BG交于點(diǎn)I.(1)求證：AF⊥BG；(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于90°時(shí)，求的值；(3)若AC＝4，直接寫出△ACI面積的最大值___________.分析：（3）需分析出I點(diǎn)軌跡，由A、C、I、B四點(diǎn)共圓可得∠AIC=∠ABC，又AC=4，定邊定角得I軌跡為圓弧。練習(xí)3．將等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按圖1方式放置，∠A＝90°，AD邊與AB邊重合，AB＝2AD＝4．將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角不超過180°），BD的延長線交直線CE于點(diǎn)P．（1）如圖2，BD與CE的數(shù)量關(guān)系是___________，位置關(guān)系是___________；（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)AD⊥BD時(shí)，求CP的長；（3）當(dāng)點(diǎn)D落在BA的延長線上時(shí)，求點(diǎn)P所經(jīng)過的路徑的長．AAEDBCAEBC圖1圖2DADADBCEP（1）BD＝CEBD⊥CE（2）∵BD⊥CE，AD⊥BD，∴∠ADP＝∠DPE＝90°又∠DAE＝90°，AD＝AE，∴四邊形ADPE為正方形∵AB＝2AD＝4，∴PE＝AD＝2∴CE＝BD＝eq\r(,AB2－AD2)＝2eq\r(,3)∴CP＝2eq\r(,3)－2（3）取BC中點(diǎn)O，連接OA、OP∵在旋轉(zhuǎn)過程中，BD⊥CE，∴∠BPC＝90°AEBCDOP∴OP＝EQ\F(1,2)BC＝2eq\r(,2)AEBCDOP∴點(diǎn)P的運(yùn)動路徑是以O(shè)為圓心、半徑為2eq\r(,2)的一段圓弧即△ABC外接圓的一部分則∠AOP＝2∠ABP易知點(diǎn)D在以A為圓心、半徑為2的半圓上運(yùn)動當(dāng)BP與半圓A相切于點(diǎn)D時(shí)，∠ABP最大，從而∠AOP最大∵AD＝EQ\F(1,2)AB，∴∠ABP＝30°，∴∠AOP＝60°即當(dāng)△ADE從初始位置旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，點(diǎn)P沿圓弧從A點(diǎn)運(yùn)