【2024大題專(zhuān)練】05 圓錐曲線(xiàn)大題原卷版

【2024大題專(zhuān)練】05圓錐曲線(xiàn)大題一、解答題1．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)為，漸近線(xiàn)方程為.直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率之和為-2.(1)證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；(2)若在射線(xiàn)上的點(diǎn)滿(mǎn)足，求直線(xiàn)的斜率的最大值.2．（2023·江蘇無(wú)錫·江蘇省天一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中中，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大1，的軌跡為.(1)求曲線(xiàn)的方程；(2)已知點(diǎn)，分別為曲線(xiàn)上的第一象限和第四象限的點(diǎn)，且，求與面積之和的最小值.3．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交于點(diǎn)，.(1)若，求直線(xiàn)的斜率；(2)設(shè)，是上異于的點(diǎn)，且，，三點(diǎn)共線(xiàn)，求證：.4．（2023·福建廈門(mén)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為．(1)求的軌跡的方程；(2)過(guò)的直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，在第一象限，在處的切線(xiàn)為交軸于點(diǎn)，過(guò)作的平行線(xiàn)交于點(diǎn)是否存在最大值？若存在，求直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，和交點(diǎn)為.(1)求點(diǎn)的軌跡；(2)直線(xiàn)和曲線(xiàn)交與兩點(diǎn)，試判斷是否存在定點(diǎn)使？如果存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.6．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在橢圓：上，從原點(diǎn)向圓作兩條切線(xiàn)分別與橢圓交于點(diǎn)，，若直線(xiàn)，的斜率分別為，，且．(1)求圓的半徑；(2)探究是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)雙曲線(xiàn)鏡面反射，反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn).我國(guó)首先研制成功的“雙曲線(xiàn)新聞燈”，就是利用了雙曲線(xiàn)的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線(xiàn)燈”的軸截面是雙曲線(xiàn)一部分，如圖2，其方程為分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后（在同一直線(xiàn)上），滿(mǎn)足.

(1)當(dāng)時(shí)，求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)且斜率為2的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，試探究是否為定值，若不是定值，說(shuō)明理由，若是定值，求出定值.8．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)校考二模）已知圓是圓上任意一點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與半徑相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)．(1)求曲線(xiàn)的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的另一條直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn)，且的面積是面積的倍，求直線(xiàn)的方程．9．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8，且點(diǎn)在上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線(xiàn)與圓：交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求面積的取值范圍．10．（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)直線(xiàn)，均過(guò)點(diǎn)A，且互相垂直，直線(xiàn)與圓O：交于M，N兩點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓C交于另一點(diǎn)B，求面積的最大值.11．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為、，離心率，、分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，且.(1)求橢圓C的方程；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求面積的最大值；(3)若橢圓上另有一點(diǎn)M，使得直線(xiàn)與斜率、滿(mǎn)足，請(qǐng)分析直線(xiàn)BM是否恒過(guò)定點(diǎn).12．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)：（，）的漸近線(xiàn)方程為，焦距為10，，為其左右頂點(diǎn)．(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)是直線(xiàn)：上的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)、分別交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)、，，垂足為，求證：存在定點(diǎn)，使得是定值．13．（2023·湖南長(zhǎng)沙·周南中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為,焦距與短軸長(zhǎng)均為4.設(shè)過(guò)F2的直線(xiàn)l交E于M,N,過(guò)M,N分別作E在點(diǎn)M,N上的兩條切線(xiàn),記它們的交點(diǎn)為P,MN的中點(diǎn)為Q.(1)證明：O,P,Q三點(diǎn)共線(xiàn)；(2)過(guò)F1作平行于l的直線(xiàn)分別交PM,PN于A,B,求的取值范圍.參考結(jié)論：點(diǎn)T(,)為橢圓()上一點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)T(,)的橢圓的切線(xiàn)方程為.14．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，曲線(xiàn)的左右頂點(diǎn)分別為，虛軸長(zhǎng)與實(shí)軸長(zhǎng)的比值為．

(1)求曲線(xiàn)的方程；(2)如圖，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，求的軌跡方程．15．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知定點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的動(dòng)點(diǎn)，到定直線(xiàn)的距離分別為，，且，記的軌跡為曲線(xiàn).(1)求曲線(xiàn)的方程，并說(shuō)明曲線(xiàn)是什么曲線(xiàn)？(2)已知點(diǎn)，是直線(xiàn)與曲線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)，，在軸上的射影分別為，（，不同于原點(diǎn)），且直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，求與面積的比值.16．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交線(xiàn)段于點(diǎn).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)定義：兩個(gè)離心率相等的圓錐曲線(xiàn)為“相似”曲線(xiàn).若關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)與曲線(xiàn)相似，且焦點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn).過(guò)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，這兩條切線(xiàn)分別與曲線(xiàn)交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），證明：.17．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的5.(1)求拋物線(xiàn)方程及點(diǎn)的坐標(biāo).(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，延長(zhǎng)，分別交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn).令，，，，求的最小值.18．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在第一象限），過(guò)點(diǎn)作的切線(xiàn)交軸于點(diǎn)，直線(xiàn)交于另一點(diǎn)，直線(xiàn)交軸于點(diǎn).(1)求證：；(2)記，，的面積分別為，，，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于2時(shí)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).19．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)的左?右焦點(diǎn)分別為為雙曲線(xiàn)的右支上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，滿(mǎn)足，且.(1)求雙曲線(xiàn)的離心率；(2)若雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，且的面積為，求直線(xiàn)的方程.20．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，下頂點(diǎn)為是橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn).(1)求橢圓上點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值；(2)已知．過(guò)點(diǎn)作垂直直線(xiàn)，垂足為，是否存在定點(diǎn)，使得為定值，若存在求出定點(diǎn)坐標(biāo)和，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)A，B在橢圓C上，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，且的內(nèi)心恰好是點(diǎn)D．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M，N為橢圓上不重合兩點(diǎn)，且M，N的中點(diǎn)H在直線(xiàn)上，求面積的最大值．22．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C：與y軸交于，兩點(diǎn)，橢圓上異于A，B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)D到A，B兩點(diǎn)的斜率分別為，，已知．(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)D的直線(xiàn)，與橢圓交于另外一點(diǎn)H，若AH的斜率為，求的取值范圍．23．（2023·江蘇·金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）已知橢圓E：，橢圓上有四個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，C，D，，AD與BC相交于P點(diǎn).如圖所示.

(1)當(dāng)A，B恰好分別為橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)時(shí)，試探究：直線(xiàn)AD與BC的斜率之積是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求直線(xiàn)AB的斜率.24．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，點(diǎn).圓是的內(nèi)切圓，且延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，若.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)若橢圓上點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是，①過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)引的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別是，求證：直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)；②是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由.25．（2023·湖南邵陽(yáng)·邵陽(yáng)市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)的離心率為2，右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為第二象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線(xiàn)左支的兩條切線(xiàn)，分別與雙曲線(xiàn)的左支相切于兩點(diǎn)，，已知，的斜率之比為.

(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過(guò)定點(diǎn)請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)設(shè)和的面積分別為和，求的取值范圍.參考結(jié)論：點(diǎn)為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程為.26．（2023·湖北恩施·?？寄M預(yù)測(cè)）已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，以為直徑的圓和橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，若三角形的面積為1，其內(nèi)切圓的半徑為．(1)求橢圓的方程；(2)已知A是橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，直線(xiàn)分別與軸交于，求四邊形面積的最大值．27．（2023·湖北荊門(mén)·荊門(mén)市龍泉中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E：．若直線(xiàn)l：與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)F，點(diǎn)A，F(xiàn)，B在直線(xiàn)：上的射影依次為點(diǎn)D，K，G．(1)若直線(xiàn)l交y軸于點(diǎn)T，且，，當(dāng)m變化時(shí)，探究的值是否為定值？若是，求出的值；否則，說(shuō)明理由；(2)連接AG，BD，試探究當(dāng)m變化時(shí)，直線(xiàn)AG與BD是否相交于定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明：否則，說(shuō)明理由．28．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，且.(1)求的方程；(2)若直線(xiàn)與交于、兩點(diǎn)，過(guò)、分別做的切線(xiàn)，兩切線(xiàn)交于點(diǎn).在以下兩個(gè)條件①②中選擇一個(gè)條件，證明另外一個(gè)條件成立.①直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；②點(diǎn)在定直線(xiàn)上.29．（2023·山東濰坊·三模）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)直線(xiàn)：與橢圓交