專題06指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（重難點(diǎn)突破）

專題06指數(shù)與指數(shù)函數(shù)重難點(diǎn)一根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)、性質(zhì)：(eq\r(n,a))n＝a(a使eq\r(n,a)有意義)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))(2)、規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.(3)、有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.重難點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)、概念：函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù).(2)、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1當(dāng)x<0時(shí)，y>1；當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)重難點(diǎn)突破1指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算例1．（1）、（2022·四川省儀隴宏德中學(xué)高一開學(xué)考試）下列選項(xiàng)中，計(jì)算結(jié)果等于4a3的是（

）A． B．

C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，即可判斷出答案.【詳解】由題意可得，A錯(cuò)誤；時(shí)，，B錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；，D正確，故選：D（2）、（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）下列各式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】對(duì)于A，由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可得，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可得，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可得，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可得，所以D正確.故選：D.【變式訓(xùn)練11】、（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)（理））下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）①49的平方根為7；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)根式的運(yùn)算，逐一判斷即可.【詳解】49的平方根是，故①錯(cuò)誤；，故②正確；，故③錯(cuò)誤；，故④錯(cuò)誤．故選:A．【變式訓(xùn)練12】、（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）的值是【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：.故答案為：.例2、（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算法則對(duì)（1）（2）進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）；（2）【變式訓(xùn)練21】、（2022秋·新疆喀什·高一校考期中）計(jì)算下列各式的值．(1)(2)【答案】(1)6(2)0【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；【詳解】（1）原式（2）原式重難點(diǎn)突破2指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)例3．（1）、（2023秋·江蘇常州·高三華羅庚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)f（x）＝·2x的圖象大致形狀是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性、值域排除選項(xiàng)可得到結(jié)果．【詳解】由函數(shù)，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，且此時(shí)函數(shù)值大于1；在上單調(diào)遞減，且此時(shí)函數(shù)值大于－1且小于零，結(jié)合所給的選項(xiàng)，只有B項(xiàng)滿足條件，故選：B．（2）、（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）如圖是指數(shù)函數(shù)①，②，③，④的圖像，則a，b，c，d與0和1的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析得到，大于1，，大于0小于1，再通過取得到具體的大小關(guān)系．【詳解】當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)指數(shù)函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時(shí)是定義域內(nèi)的減函數(shù)，由圖可知，大于1，，大于0小于1．又由圖可知，即．，即．，，，與1的大小關(guān)系是．故選：．【變式訓(xùn)練31】、（2022·四川·成都外國(guó)語學(xué)校高二階段練習(xí)（文））函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)__________【答案】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得答案.【詳解】令，即時(shí)，，可得函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，故答案為：【變式訓(xùn)練32】、（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將函數(shù)改寫成分段函數(shù)，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】解：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的減函數(shù)，且時(shí)，，即圖象過點(diǎn)；符合條件的圖象是．故選：A．重難點(diǎn)突破3指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值（比較大?。├?.（1）、（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小．【詳解】∵是減函數(shù)，，所以，又，∴．故選：C．（2）、（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，，，則（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定這三個(gè)數(shù)的范圍，可比較大小.【詳解】，即；，即；，即.所以有.故選：B.【變式訓(xùn)練41】、（2023秋·廣東肇慶·高一?？奸_學(xué)考試）已知，，，，則a、b、c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，，，利用在上遞增判斷.【詳解】解：因?yàn)?，，，，且在上遞增，，，故選：A【變式訓(xùn)練42】、（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】計(jì)算可得，再分析，即可判斷【詳解】由題意，，，，故故選：B重難點(diǎn)突破4指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用例5、（1）、（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，求出的范圍，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】依題意，令，則，因?yàn)閱握{(diào)遞減，且所以，所以.故選：A.（2）、（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)镽 B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】ABD【分析】由函數(shù)的表達(dá)式可得函數(shù)的定義域可判斷A；令，則，，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的值域，可判斷B；根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可得函數(shù)的單調(diào)性可判斷C、D.【詳解】令，則．對(duì)于A，的定義域與的定義域相同，為R，故A正確；對(duì)于B，，的值域?yàn)?，所以函?shù)的值域?yàn)?，故B正確；對(duì)于C、D，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，在定義域上單調(diào)遞減，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則，得函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以C不正確，D正確.故選：ABD.【變式訓(xùn)練51】、（2023秋·江西·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法直接判斷即可.【詳解】由題意知：的定義域?yàn)?，令，則其在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：.【變式訓(xùn)練52】、（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在的值域?yàn)開_____．【答案】【分析】令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋海仉y點(diǎn)突破4指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用例6.（2023秋·高一課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)在[0，3]上的值域．【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間是[1，＋∞)，單調(diào)增區(qū)間是(－∞，1](2)【詳解】（1）函數(shù)的定義域是R.令u＝－x2＋2x，則y＝2u.當(dāng)x∈(－∞，1]時(shí)，函數(shù)u＝－x2＋2x為增函數(shù)，函數(shù)y＝2u是增函數(shù)，所以函數(shù)在(－∞，1]上是增函數(shù)．當(dāng)x∈[1，＋∞)時(shí)，函數(shù)u＝－x2＋2x為減函數(shù)，函數(shù)y＝2u是增函數(shù)，所以函數(shù)在[1，＋∞)上是減函數(shù)．綜上，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是[1，＋∞)，單調(diào)增區(qū)間是(－∞，1]．（2）由（1）知f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，3]上單調(diào)遞減，且f(0)＝1，f（1）＝2，f（3）＝，所以f(x)max＝f（1）＝2，f(x)min＝f（3）＝，所以f(x)的值域?yàn)?【變式訓(xùn)練61】、（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）函數(shù)是偶函數(shù)．(1)試確定的值及此時(shí)的函數(shù)解析式；(2)證明函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；(3)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．【答案】(1)，(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用偶函數(shù)的性質(zhì)求解即可.（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義法證明即可.（3）利用函數(shù)單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）由函數(shù)是偶函數(shù)，得，即，解得．所以.（2）由（1）知，，令，則，，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).（3）由（2）知，在上是減函數(shù)，所以在上也是減函數(shù)，則，所以．即函數(shù)的值域?yàn)?例7、（2020·調(diào)兵山市第一高級(jí)中學(xué)高一月考）已知函數(shù)（）.（1）若，求函數(shù)的值域；（2）若方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1），（）

設(shè)，得，

（1）當(dāng)時(shí)，，

所，，

所以函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

（2）方程有解等價(jià)于函數(shù)在上有零點(diǎn)，

也即在上有解，

而函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上的值域?yàn)椋?/p>

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式訓(xùn)練71】、（2022·山西·平遙縣第二中學(xué)校高三階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)已知且，若對(duì)于任意的，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)得，再檢驗(yàn)滿足即可；（2）先判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，再結(jié)合單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而分類討論求解即可.（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，解得，此時(shí)，對(duì)任意的，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?，即函?shù)為奇函數(shù)，合乎題意，所以，.（2）解：任取且，則，所以，，所以，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上為增函數(shù)，對(duì)于任意的，都有，則，所以，，因?yàn)?，則.當(dāng)時(shí)，則有，解得；當(dāng)時(shí)，則有，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.重難點(diǎn)突破4指數(shù)與指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用例8．（2022·陜西渭南·高二期末（理））深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的．在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中L表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，D表示衰減系數(shù)，G表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度．已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.8，衰減速度為22，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為22時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為0.4，則學(xué)習(xí)率衰減到0.1以下所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（

）A．11 B．22 C．44 D．67【答案】D【分析】根據(jù)已知條件代入可解得,進(jìn)而得，根據(jù)，解不等式即可求解.【詳解】由得,故，由題意得,故至少迭代67輪，故選：D【變式訓(xùn)練81】、（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）我們知道比較適合生活的安靜環(huán)境的聲強(qiáng)級(jí)（噪音級(jí)）為，聲強(qiáng)（單位：）與聲強(qiáng)級(jí)（單位：）的函數(shù)關(guān)系式為（，為常數(shù)）．某型號(hào)高鐵行駛在無村莊區(qū)域的聲強(qiáng)為，聲強(qiáng)級(jí)為，駛進(jìn)市區(qū)附近降低速度后的聲強(qiáng)為，聲強(qiáng)級(jí)為，若要使該高鐵駛?cè)胧袇^(qū)時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)達(dá)到安靜環(huán)境要求，則聲強(qiáng)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用題意得到，解出的值，代回得到，通過單調(diào)性可以得到最大值【詳解】由題意可知，解得，，所以，易得當(dāng)越大時(shí)，越大，所以當(dāng)時(shí)，達(dá)到安靜環(huán)境要求下的取得最大值．故選：B．1．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)（，且）的圖象可能是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分別討論或時(shí)，圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可得出答案.【詳解】A，B選項(xiàng)中，，于是，所以圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)應(yīng)在之間，顯然A，B的圖象均不正確；C，D選項(xiàng)中，，于是，圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)應(yīng)在小于，所以D項(xiàng)符合.故選：D2．（2022·廣西南寧·高二期末（理））已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】引入中間值，利用對(duì)數(shù)和指數(shù)比較大小即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以．故選：C3．（2021春·云南保山·高一統(tǒng)考期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，即可得答案.【詳解】由于指數(shù)函數(shù)在R上為減函數(shù)，故；指數(shù)函數(shù)在R上為增函數(shù)，故，故，故選：D4．（2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的方法同增異減可得答案.【詳解】令，則，因?yàn)闉閱握{(diào)遞減函數(shù)，且函數(shù)是開口向上對(duì)稱軸為軸的拋物線，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：A.5．（2023秋·高一單元測(cè)試）（多選題）若3a·9b＝，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．a(chǎn)＋b＝－1 B．a(chǎn)＋b＝1C．a(chǎn)＋2b＝－1 D．a(chǎn)＋2b＝1【答案】ABD【分析】根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算公式計(jì)算即可.【詳解】3a·9b＝3a·32b＝3a＋2b＝＝3－1，則a＋2b＝－1.故選：ABD.6．（2023秋·廣東江門·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱C．函數(shù)的值域?yàn)?D．函數(shù)是減函數(shù)【答案】AC【分析】求函數(shù)的奇偶性可判斷AB；分離參數(shù)可得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域可判斷C；根據(jù)單調(diào)性的定義可判斷D.【詳解】的定義域?yàn)?，，則，所以為奇函數(shù)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,A正確，B錯(cuò)誤；，因?yàn)?所以,，所以,故的值域?yàn)?C正確；設(shè),則,因?yàn)?，所以，所?即，所以函數(shù)是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤，故選:AC.7．（2022·福建省福州延安中學(xué)