戴華《矩陣論》 第一章線性空間與內(nèi)積空間

矩陣論懷麗波目錄第一章線性空間與內(nèi)積空間（4學時）第二章線性映射與線性變換（4學時）第三章l矩陣與矩陣的Jordan標準形（6學時）第四章矩陣的因子分解（8學時）第五章Hermite矩陣與正定矩陣（4學時）第六章范數(shù)與極限（6學時）教學目的：理解線性空間和內(nèi)積空間的概念掌握子空間與維數(shù)定理了解線性空間和內(nèi)積空間同構(gòu)的含義掌握正交基及子空間的正交關(guān)系掌握Gram-Schmidt正交化方法

線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，是矩陣論中極其重要的概念之一。它是向量空間在元素和線性運算上的推廣和抽象。線性空間中的元素可以是向量、矩陣、多項式、函數(shù)等，線性運算可以是我們熟悉的一般運算，也可以是各種特殊的運算。例4次數(shù)不超過的所有實系數(shù)多項式按通常多項式加法和數(shù)與多項式的乘法，構(gòu)成線性空間例3閉區(qū)間上的所有實值連續(xù)函數(shù)按通常函數(shù)的加法和數(shù)與函數(shù)的乘法，構(gòu)成線性空間例2所有階的實（復(fù)）矩陣按矩陣的加法和數(shù)乘，構(gòu)成線性空間。例1所有n維實（復(fù)）向量按向量的加法和數(shù)乘，構(gòu)成線性空間Rn(Cn)。例5集合不是一個線性空間。因為加法不封閉。例6線性非齊次方程組的解集不構(gòu)成線性空間，這里是對應(yīng)齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系，為的一個特解。向量的線性相關(guān)性：

線性代數(shù)中關(guān)于向量的線性組合、線性表示、線性相關(guān)、線性無關(guān)、秩等定義和結(jié)論都可以推廣到一般線性空間。證明：取k1，k2，k3∈R，令k1

1+k2

2+k3

3

則有k1-k2=0,k2

+k3=0該方程組有非零解，所以

1,

2,

3線性相關(guān).

證明：

取

1=

2=

3=則

1,

2,

3線性無關(guān).對線性空間V中的任一向量可表示成A==a11

1+a12

2+a22

3即A可由

1,

2,

3線性表出。所以Dim（V）=3注:

（1）若把線性空間看作無窮個向量組成的向量組，那么的基就是向量組的極大無關(guān)組,的維數(shù)就是向量組的秩.

（2）個數(shù)與線性空間的維數(shù)相等的線性無關(guān)組都是的基.例1.3.1

線性空間是實數(shù)域上的二維空間，其基可取為，即C中任一復(fù)數(shù)k=a+bi（a,b

R）都有a+bi=(1,i)(),所以(a,b)T即為k的坐標。ab例1.3.2實數(shù)域R上的線性空間R[x]n中的向量組1，x，x2,…xn-1是基底，R[x]n的維數(shù)為n。例1.3.3實數(shù)域R上的線性空間的維數(shù)為n

n，標準基為Eij：（i=1,2…n;j=1,2…n）第i行第j列的元素為1，其它的都為0。例1.3.4

在線性空間中，顯然是的一組基，此時多項式在這組基下的坐標就是證明也是的基,并求及在此基下的坐標。由題，在基下的坐標為而且，基到基的過渡矩陣為所以例1.3.5

已知矩陣空間的兩組基：求基(I)到基(II)的過渡矩陣。解引入的標準基：顯然類似地，則基(III)到基(I)的過渡矩陣為而基(III)到基(II)的過渡矩陣為所以從而因此基(I)到基(II)的過渡矩陣為注意：

通過上面的例子可以看出線性空間的基底并不唯一，但是維數(shù)是唯一確定的。由維數(shù)的定義,線性空間可以分為有限維線性空間和無限維線性空間。目前，我們主要討論有限維的線性空間。N(A)稱為矩陣A的零子空間或核空間,也記為Ker(A)；例1.4.1對于任意一個有限維線性空間V，它必有兩個平凡的子空間，即由單個零向量構(gòu)成的子空間{0}和V本身。例1.4.2實數(shù)域R上的線性空間中全體上三角矩陣集合，全體下三角矩陣集合，全體反對稱矩陣集合分別都構(gòu)成的子空間。例1.4.3

設(shè)A

Rm

n，記A={a1,a2,…an},其中ai

Rm，則k1a1+k2a2…+knan是Rm的子空間，稱為矩陣A的列空間（或值域）,記為R(A)或Im(A)。即R(A)={y|y=Ax,x

Rn}

注：判定非空集合是否為線性空間，要驗算運算的封閉性，以及8條運算律，相當?shù)芈闊?。至于判定線性空間的子集是否為線性子空間，則很方便.下面考慮兩個子空間的運算：注意：線性空間V的兩個子空間的V1,V2并一般不是V的子空間；例1.4.4

設(shè)是線性空間的子空間，且則證明

由子空間和的定義，有V1+V2=span(

1,

2…

s)+span(

1,

2…

t)={(k1

1+k2

2…+ks

s)+(l1

1+l2

2…+lt

t)|ki,lj

P}=span(

1,

2…

s,

1,

2…

t)例1.4.5設(shè)求的基與維數(shù)。所以可令設(shè)，則因此所以的基為，維數(shù)為解解關(guān)于的齊次方程組，得由例1.4.4

由前得即然而線性無關(guān)，這樣是的極大無關(guān)組，所以它也是的基，故定理1.4.7（維數(shù)公式）設(shè)是數(shù)域P上線性空間的兩個有限維子空間，則它們的交與和都是有限維的，并且注意到例1.4.5中這并不是偶然的。

在維數(shù)公式中，和空間的維數(shù)不大于子空間維數(shù)之和。那么何時等號成立呢？例1.4.6

設(shè)分別是階實對稱矩陣和反對稱矩陣的全體。顯然容易證明均為線性空間的子空間。試證明證明：因為任意實方陣可以分解為一個實對稱矩陣和一個實反對稱矩陣的和，即又根據(jù)定理1.4.9可知結(jié)論成立。

這說明，維數(shù)是有限維線性空間的唯一的本質(zhì)特征。在同構(gòu)的意義下，n維向量空間Pn并不只是線性空間V的一個特殊例子，而是所有的n維線性空間的代表。即每一個數(shù)域P上的線性空間都與n維向量空間Pn同構(gòu)。因此n維向量空間Pn中的一些結(jié)論在任意線性空間也成立。定義1.6.2

設(shè)V為內(nèi)積空間，V中向量

的長度或范數(shù)定義為