求曲線(xiàn)的方程

求曲線(xiàn)的方程一、復(fù)習(xí)回顧曲線(xiàn)的方程和方程的曲線(xiàn)的概念：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線(xiàn)C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f,y=0的實(shí)數(shù)解滿(mǎn)足下列關(guān)系：1曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；2以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線(xiàn)上這個(gè)方程叫做曲線(xiàn)的方程；這個(gè)曲線(xiàn)叫做方程的曲線(xiàn)解:B1引入:在數(shù)學(xué)中,建立曲線(xiàn)方程,然后用方程研究曲線(xiàn)的方法,叫做解析法或坐標(biāo)法。解析幾何的兩大基本問(wèn)題——1據(jù)已知條件,求表示平面曲線(xiàn)的方程由曲線(xiàn)求方程2通過(guò)方程,研究平面曲線(xiàn)的性質(zhì)由方程來(lái)研究曲線(xiàn)新知探究：滿(mǎn)足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡曲線(xiàn),yf,y=02坐標(biāo)法和解析幾何的本質(zhì)、基本問(wèn)題．解析幾何的本質(zhì)——坐標(biāo)法——對(duì)于一個(gè)幾何問(wèn)題,在建立直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上,用坐標(biāo)表示點(diǎn),用方程表示曲線(xiàn),通過(guò)研究方程的性質(zhì)間接地來(lái)研究曲線(xiàn)的性質(zhì),這一研究幾何問(wèn)題的方法稱(chēng)為坐標(biāo)法用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題新知探究：如果某條曲線(xiàn)C是由動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，我們就稱(chēng)曲線(xiàn)C是點(diǎn)M的軌跡，曲線(xiàn)C的方程稱(chēng)為M的軌跡方程。注意：“軌跡”、“方程”要區(qū)分：2若是求軌跡，求得方程還不夠，還應(yīng)指出方程所表示的曲線(xiàn)類(lèi)型（定形、定位、定量）。1求軌跡方程，求得方程就可以了；3軌跡和軌跡方程：二、例題分析0xyAB例1:如果A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是-1,-1,3,7,動(dòng)點(diǎn)P到A,B的距離相等你知道動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是什么嗎？如何證明你的結(jié)論？0xyABM二、例題分析例1:如果A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是-1,-1,3,7,動(dòng)點(diǎn)P到A,B的距離相等你知道動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是什么嗎？如何證明你的結(jié)論？0xyABC解:設(shè)M,y是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上任意一點(diǎn),也就是點(diǎn)M屬于集合由兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)M所適合條件可表示為：將上式兩邊平方，整理得：2y－7=0③例1:如果A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是-1,-1,3,7,動(dòng)點(diǎn)P到A,B的距離相等你知道動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是什么嗎？如何證明你的結(jié)論？2y－7=0③1由求方程的過(guò)程可知，垂直平分線(xiàn)上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程③解；我們證明方程③是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的方程2設(shè)點(diǎn)M1的坐標(biāo)1,y1是方程③的解，即:點(diǎn)M1到A、B的距離分別是12y1-7=0,1=7-2y1即點(diǎn)M1在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上由1、2可知方程③是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的方程變式1:已知等腰三角形底邊的兩個(gè)端點(diǎn)是Ａ-1,-1Ｂ3,7,求第三個(gè)頂點(diǎn)C的軌跡方程．ABC0xy2y-7=0,且不過(guò)點(diǎn)1,3注:求得的軌跡方程要與動(dòng)點(diǎn)的軌跡一一對(duì)應(yīng),否則要“多退少補(bǔ)”,多余的點(diǎn)要剔除用,y的取值范圍來(lái)限制,不足的點(diǎn)要補(bǔ)充5如果曲線(xiàn)或軌跡有對(duì)稱(chēng)中心，通常以對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)7盡可能使曲線(xiàn)上的關(guān)鍵點(diǎn)在坐標(biāo)軸上6如果曲線(xiàn)或軌跡有對(duì)稱(chēng)軸，通常以對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系的要點(diǎn)：2以已知定直線(xiàn)為坐標(biāo)軸軸或y軸;3以已知線(xiàn)段所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸軸或y軸，以已知線(xiàn)段的中點(diǎn)為原點(diǎn);4以已知互相垂直的兩定直線(xiàn)為坐標(biāo)軸;8讓盡量多的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上1以已知定點(diǎn)為原點(diǎn);動(dòng)點(diǎn)具有的幾何條件比較明顯時(shí)，由題設(shè)所給或通過(guò)分析圖形的幾何性質(zhì)而得出的動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)足的幾何條件列出等式，再用坐標(biāo)代替這等式，化簡(jiǎn)得曲線(xiàn)的方程，這種方法叫直接法．適用范圍:任何情況練習(xí):如圖,圓O1和圓O2的半徑都等于1,O1O2=4,過(guò)動(dòng)點(diǎn)?,N分別為切點(diǎn),使得，建立平面直角坐標(biāo)系,并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程解:以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),O1O2所在直線(xiàn)為軸,建立直角坐標(biāo)系如圖所示,則O1-2,0,O22,0由已知得PM2=2PN2,∵圓的半徑為1,∴PO21-1=2PO22-1,設(shè)P,y,則22y2-1=2,即-62y2=33故所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為-62y2=33xyA(6,0)OBM例2.已知定點(diǎn)A(6,0),曲線(xiàn)C:x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)B,點(diǎn)M滿(mǎn)足,求點(diǎn)M的軌跡方程.相關(guān)點(diǎn)代入法:規(guī)律技巧:在求軌跡方程時(shí)經(jīng)常遇到已知一動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,求另一動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的問(wèn)題,而解決這類(lèi)問(wèn)題的解法稱(chēng)為代入法或相關(guān)點(diǎn)法而此法的關(guān)鍵是如何來(lái)表示出相關(guān)的點(diǎn)練習(xí):點(diǎn)A3,0為圓2y2=1外一點(diǎn),,當(dāng)?shù)能壽E方程分析:相關(guān)點(diǎn)代入法:解法1:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為,y∵M(jìn)為線(xiàn)段AB的中點(diǎn),∴A的坐標(biāo)為2,0,B的坐標(biāo)為0,2y∵l1⊥l2,且l1、l2過(guò)點(diǎn)P2,4,例4:過(guò)點(diǎn)的軌跡方程∴PA⊥PB,PA·PB=-1整理得2y-5=0≠1∵當(dāng)=1時(shí),A?B的坐標(biāo)分別為2,0?0,4,∴線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是1,2,它滿(mǎn)足方程2y-5=0綜上所求,點(diǎn)M的軌跡方程是2y-5=0規(guī)律技巧:在平面直角坐標(biāo)系中,遇到垂直問(wèn)題,常利用斜率之積等于-1解題,但需注意斜率是否存在,即往往需要討論,如解法1求軌跡方程有時(shí)利用平面幾何知識(shí)更為方便快捷解法2:∵l1⊥l2,OA⊥OB,∴O,A,∴|MO|∴點(diǎn)M的軌跡為線(xiàn)段O的軌跡方程是即2y-5=0在求曲線(xiàn)方程的過(guò)程中，根據(jù)題中所給幾何特征，利用平面幾何知識(shí)將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系得出方程，這種方法叫做幾何法。練習(xí):平面α的斜線(xiàn)AB交α于點(diǎn)B,過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)l與AB垂直,且交α于點(diǎn)C,則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是A一條直線(xiàn)B一個(gè)圓C一個(gè)橢圓D雙曲線(xiàn)的一支解析:設(shè)l與l′是動(dòng)直線(xiàn)AC中的任意兩條,則這兩條直線(xiàn)確定一個(gè)平面β,且斜線(xiàn)AB⊥β由過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線(xiàn)垂直,可知過(guò)定點(diǎn)A和AB垂直的直線(xiàn)都在β內(nèi),故點(diǎn)C在平面α與β的交線(xiàn)上,故選AA3將幾何特征轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系而得出方程2準(zhǔn)確寫(xiě)出幾何特征本節(jié)課的關(guān)鍵問(wèn)題1如何建立平面直角坐標(biāo)系？4簡(jiǎn)化方程的過(guò)程是否同解變形分析:建立坐標(biāo)系時(shí),要充分利用已知條件中的定點(diǎn)、定直線(xiàn),使問(wèn)題中的幾何特征顯現(xiàn)出來(lái),從而使曲線(xiàn)方程的形式更簡(jiǎn)單作MB⊥x軸,垂足為B,則點(diǎn)M屬于即將①式移項(xiàng)平方化簡(jiǎn)得因?yàn)榍€(xiàn)在軸上方,所以y>的坐標(biāo)0,0是這個(gè)方程的解,但不屬于已知曲線(xiàn)所以曲線(xiàn)的方程應(yīng)是B32，0和y軸的距離相等的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是____解:設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，y，則由題設(shè)得化簡(jiǎn)得:y2=4-1這就是所求的軌跡方程y2=4-15在三角形ABC中，若|BC|=4，BC邊上的

中線(xiàn)AD的長(zhǎng)為3，求點(diǎn)A的軌跡方程設(shè)A，y，又D0，0，所以化簡(jiǎn)得:2y2=9y≠0這就是所求的軌跡方程解:取B、C所在直線(xiàn)為軸，線(xiàn)段BC的中垂線(xiàn)為y軸，建立直角坐標(biāo)系1直接法:求軌跡方程最基本的方法,直接通過(guò)建立,y之間的關(guān)系,構(gòu)成F,y=0即可①直接法②定義法③代入法④參數(shù)法求軌跡方程的常見(jiàn)方法:3代入法:’’,y’是定曲線(xiàn)F,y=0上的動(dòng)點(diǎn),另一動(dòng)點(diǎn)P，y依賴(lài)于P’’,y’，那么可尋求關(guān)系式’=f,y,y’=g,y后代入方程F’,y’=0中，得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程2定義法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿(mǎn)足某種已知曲線(xiàn)的定義，則可用曲線(xiàn)定義寫(xiě)出方程。30思考2點(diǎn)差法32返回33返回練習(xí)求到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于2的點(diǎn)的軌跡方程已知點(diǎn)M到軸的距離和到點(diǎn)F0,4的距離相等，求點(diǎn)F的軌跡方程3已知兩點(diǎn)A2,0,B-2,0,的軌跡方程BDACB37小結(jié)1求曲線(xiàn)方程的一般步