13、第十二章-動(dòng)量矩定理1

第十二章動(dòng)量矩定理第十二章動(dòng)量矩定理§12-1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理mF

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動(dòng)量定理建立了作用力與動(dòng)量變化之間的關(guān)系，它是描述質(zhì)點(diǎn)系隨同質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)情況，而不能描述質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)情況。一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩二、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理mF

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將質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間取一次導(dǎo)數(shù)有：投影式為:例：質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在平面oxy內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為：，其中a,b,p皆為常量，求：該質(zhì)點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)o的動(dòng)量矩。解：因質(zhì)點(diǎn)在oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，故該質(zhì)點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的動(dòng)量矩就等于對(duì)oz軸的動(dòng)量矩。如果作用于質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)于某定點(diǎn)o的矩恒等于零，那么質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的動(dòng)量矩保持不變，即：§11-2.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒定律如果作用于質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)于某定軸的矩恒等于零，那么質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸的動(dòng)量矩保持不變，即：§11-3.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理1、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)o的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一點(diǎn)o的動(dòng)量矩的矢量和，即：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某軸z的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一z軸的動(dòng)量矩的代數(shù)和，即：2、繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的動(dòng)量矩rimimivizω質(zhì)點(diǎn)mi對(duì)z軸的動(dòng)量矩為:整個(gè)剛體對(duì)z軸的動(dòng)量矩為:即，轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩為:其中，為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為一常數(shù).yoxz3、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理········mimivi

對(duì)于第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，有:0即為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理ri假設(shè)在運(yùn)動(dòng)過程中，作用在質(zhì)點(diǎn)系上的合力對(duì)某固定軸的矩恒為0，那么該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該軸的動(dòng)量矩守恒。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理的投影式為：m1m2OR解：研究系統(tǒng)，分析受力：m1gm2gYOXOv1v2分析運(yùn)動(dòng)：例1：半徑為R的滑輪上繞一不可伸長的繩子，繩子兩端分別掛有質(zhì)量為m1和m2的兩重物，設(shè)m1＞m2，求m1運(yùn)動(dòng)的加速度?；喖袄K子的質(zhì)量不計(jì)。例2：由動(dòng)量矩定理可知：1、質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩，只有作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力才能使質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩發(fā)生變化。2、當(dāng)外力對(duì)于某定點(diǎn)或定軸的主矩〔或力矩的代數(shù)和〕等于零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于該點(diǎn)〔或該軸〕的動(dòng)量矩保持不變，稱動(dòng)量矩守恒。1.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

定義:將剛體體內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該質(zhì)點(diǎn)到某一確定軸的距離平方的乘積之和定義為剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.用J表示,即式中分別為第個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和到該軸的距離J=§11-4.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、平移軸定理說明假設(shè)剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的,就可以引入積分形式表示:

式中為質(zhì)量為的微元到該軸的距離M表示積分范圍普及剛體全部質(zhì)量.

剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是一個(gè)與其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)的而僅與其質(zhì)量分布有關(guān)的特征量

M:剛體的總質(zhì)量:剛體對(duì)z軸的回轉(zhuǎn)半徑或慣量半徑如剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表示為

它可視為將剛體的全部質(zhì)量都集中于距z軸距離為的某一點(diǎn)對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.例：

一直均質(zhì)的細(xì)長桿的質(zhì)量為M，長為L，求桿對(duì)通過其質(zhì)心，且垂直與桿的z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和回轉(zhuǎn)半徑。xyCx(1)建立坐標(biāo)系，如下圖，沿桿向取微段，其坐標(biāo)為〔x,0,0〕，其質(zhì)量為解：=(2)上述質(zhì)量微元離z軸的距離為，桿對(duì)z軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：(3)桿對(duì)z軸的回轉(zhuǎn)半徑為例：厚度相等的均質(zhì)薄圓盤的半徑為R，質(zhì)量為M，求圓盤對(duì)過其中心，且垂直于圓盤平面的z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和回轉(zhuǎn)半徑x

yCr解：1．取半徑為r,寬度為的圓環(huán)，其質(zhì)量是:3．圓盤對(duì)z軸的回轉(zhuǎn)半徑為2．上述圓環(huán)的各質(zhì)點(diǎn)到z軸的距離都為r,于是圓盤對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:說明由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量疊加定理，可以快捷的的求出由幾個(gè)簡單圖形組合而成的剛體對(duì)任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。有空心剛體=無空心整體-空心局部(轉(zhuǎn)動(dòng)慣量〕剛體對(duì)任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)過質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上剛體質(zhì)量與兩軸之間距離平方的乘積記為2.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理

剛體對(duì)任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JZ等于對(duì)與該軸平行的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JC加上剛體的總質(zhì)量與兩軸間距離d的平方的乘積?？梢?，剛體對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。例：均質(zhì)圓輪質(zhì)量為m，半徑為R，求對(duì)質(zhì)心軸C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。CRdθrdr解：取單位厚度的圓輪研究，取一面積微元dm∵∴對(duì)輪緣上任一點(diǎn)，有：解：取一微元dx∵∴對(duì)桿端，有：例：均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長為l，求對(duì)質(zhì)心軸C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。CdxxOxz§11-5.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程將質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理應(yīng)用于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的情形，有：及定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩即為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程。剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體上的主動(dòng)力對(duì)該軸的矩的代數(shù)和。由上可知：1、如果作用于剛體上的主動(dòng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩的代數(shù)和不等于零，那么剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)一定發(fā)生改變；2、如果作用于剛體上的主動(dòng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩的代數(shù)和等于零，那么剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，如果主動(dòng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩的代數(shù)和為恒量，那么剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。3、在一定的時(shí)間間隔內(nèi)，當(dāng)主動(dòng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩一定時(shí)，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大，轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)變化越小，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越小，轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)變化大。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的難易程度，因此說，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程可以解決兩類問題：1、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，求作用于剛體上的主動(dòng)力；2、作用于剛體上的主動(dòng)力，求剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律。例：半徑為R、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓輪繞質(zhì)心軸z以勻角速ω0轉(zhuǎn)動(dòng)。今欲制動(dòng)，閘瓦壓力Q、摩擦系數(shù)f，求制動(dòng)所需時(shí)間。Qω0O解：研究輪子，分析受力：FmgYOXO列出動(dòng)力學(xué)方程：問：制動(dòng)過程中，輪子轉(zhuǎn)過了多少圈？§11-6.質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理上式即為質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心C的動(dòng)量矩定理，其形式與對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理完全相同?！沧C明從略〕質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一點(diǎn)O的動(dòng)量矩等于集中于系統(tǒng)質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)于點(diǎn)O的動(dòng)量矩再加上此系統(tǒng)對(duì)于質(zhì)心C的動(dòng)量矩Lc(為矢量和）§11-7.剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨任選基點(diǎn)的平動(dòng)和繞該基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。假設(shè)以質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心C為基點(diǎn)，那么隨質(zhì)心C的平動(dòng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理、繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)用相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，即得剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程：其投影式為：或：

實(shí)際上，動(dòng)量矩定理除了對(duì)固定點(diǎn)O、固定軸z、質(zhì)心C可以取矩外，還可以對(duì)瞬心P取矩，但是要求瞬心P到質(zhì)心C的距離保持為常量，其公式的形式不變。O：固定點(diǎn)z：固定軸C：質(zhì)心P：瞬心，要求PC=常量在圓輪作純滾動(dòng)及橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)中，此式顯得特別方便。例：如下圖，兩均質(zhì)圓輪半徑分別為rA和rB，重為PA和PB，鼓輪B上作用主動(dòng)力偶矩M，A輪與斜面間無相對(duì)滑動(dòng)，求B輪從靜止開始轉(zhuǎn)過φ角時(shí)的角速度ωB及支座B處的反力。αBAMPAPB解：先研究B，作受力圖：

YBXBT〔1〕εB再研究ANTFεA〔2〕〔3〕xy再列補(bǔ)充方程——一般為運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：〔4〕〔5〕以上5個(gè)未知量均可求解。從中解出εB為常量，那么有：欲求支座反力，那么需對(duì)輪B列質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：〔6〕〔7〕BMPBYBXBTxy概念題.圓輪重Q，受外力作用，問地面光滑和有摩擦?xí)r，圓輪質(zhì)心如何運(yùn)動(dòng)?FFF??1).地面光滑時(shí):左圖質(zhì)心保持不動(dòng)，因?yàn)樗椒较虻暮屯饬榱?右圖質(zhì)心將沿力F方向運(yùn)動(dòng).2).地面有摩擦?xí)r:左圖質(zhì)心將向右運(yùn)動(dòng)，右圖中:a.假設(shè)主動(dòng)力F≤Nf，那么質(zhì)心不動(dòng);b.假設(shè)主動(dòng)力F＞Nf，那么質(zhì)心向右運(yùn)動(dòng).概念題.1、兩相同的均質(zhì)圓輪繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度分別為ω1和ω2，且ω1>ω2，問：1〕哪個(gè)動(dòng)量大?分別為多少?2〕哪個(gè)動(dòng)量矩大?分別為多少?答：1〕一樣大，均為02〕Jω1>Jω22、汽車為何不能在光滑的水平路面上行使？答：系統(tǒng)在水平方向無外力，質(zhì)心在水平面運(yùn)動(dòng)守恒。概念題.1、均質(zhì)圓輪半徑均為r，求在以下不同形式下的動(dòng)量、對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩。ωωω只滾不滑CCOOO答：1〕動(dòng)量：0、mrω、mrω2〕動(dòng)量矩：Joω、Joω、Joω2、三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量同為m，同時(shí)自點(diǎn)A以相同的速度v0沿不同的方向拋出，問該三點(diǎn)落到水平面時(shí)的速度的大小和方向是否相同？答：JZε=Pr，兩系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同，所以角加速度不同。概念題.1、兩質(zhì)量同為m的均質(zhì)輪，一作用一力P，一掛一重物重P，問兩輪的角加速度是否相同？是多少？PPPOO答：vx=v0cosα，vy=v0sinα-gt，由于v0方向不同，所以速度不同。概念題.1、怎樣用旋轉(zhuǎn)的方法區(qū)別生蛋和煮熟的雞蛋，為什么？答：旋轉(zhuǎn)時(shí)間較長的是熟蛋，時(shí)間短的是生蛋。因?yàn)?，熟蛋的殼、青、黃為一整體，而生蛋的那么相對(duì)別離，開始時(shí)由于慣性，殼轉(zhuǎn)，青、黃不轉(zhuǎn)，內(nèi)阻力使其早早停止轉(zhuǎn)動(dòng)。2、大隊(duì)人馬過橋時(shí)，為什么不能步調(diào)一致？答：共振3、芭蕾舞演員伸臂抬腿旋轉(zhuǎn)，收回臂、腿時(shí)將會(huì)出現(xiàn)什么現(xiàn)象？為什么？答：旋轉(zhuǎn)速度更快，因?yàn)閷?duì)z軸動(dòng)量矩守恒。4、開山定向爆破時(shí)，根據(jù)什么原理確定飛出的石塊的落地位置？質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。5、夯實(shí)地基的電夯是根據(jù)什么原理制成的？質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。概念題.1、水在直管中流動(dòng)時(shí)對(duì)管壁有無動(dòng)壓力？無。2、人坐在轉(zhuǎn)椅上，雙腳離地，能否用雙手將轉(zhuǎn)椅轉(zhuǎn)動(dòng)？為什么？不能，因?yàn)閷?duì)z軸動(dòng)量矩守恒3、騎自行車轉(zhuǎn)彎時(shí)，車身要向里傾，而船只轉(zhuǎn)彎時(shí)，船身卻要向外傾，為什么？練習(xí)題4：均質(zhì)圓柱體半徑為r，重為Q，放在粗糙的水平面上，設(shè)質(zhì)心速度v0，具有初角速度ω0，且rω0<v0，圓柱與地面間的摩擦系數(shù)為fk，問〔1〕經(jīng)過多少時(shí)間，圓柱體才能只滾不滑地向前運(yùn)動(dòng)？并求該瞬時(shí)圓柱體中心的速度，〔2〕到達(dá)只滾不滑狀態(tài)時(shí)圓柱體中心移動(dòng)了多少距離？v0ω0C解:受力如圖:QNF用平面運(yùn)動(dòng)微分方程:只滾不滑時(shí)，代入后積分上式有:只滾不滑前，xyS=?同學(xué)們自己做.練習(xí)題:均質(zhì)圓柱體重P，半徑為r，放在傾角為600的斜面上，一細(xì)繩纏繞其上，圓柱體與斜面間的摩擦系數(shù)為f=1/3。求圓柱體沿斜面下落的加速度。600ACP2rB解：研究圓柱體，分析受力：TFN由剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程有：xyD此處，D為瞬心ac補(bǔ)充：ε高爐運(yùn)送礦石用的卷揚(yáng)機(jī)如下圖。鼓輪的半徑為R，質(zhì)量為m1，輪繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。小車和礦石總質(zhì)量為m2。作用在鼓輪上的力偶矩為M，鼓輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)貫量為J，軌道的傾角為θ。設(shè)繩的質(zhì)量和各處摩擦均忽略不計(jì)，求小車的加速度a。θOMωW1vW2FN

取小車與鼓輪組成質(zhì)點(diǎn)系，視小車為質(zhì)點(diǎn)。以順時(shí)針為正，此質(zhì)點(diǎn)系對(duì)O軸的動(dòng)量矩為作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力除力偶M，重力W1和W2外，尚有軸承O的反力FOx和FOy，軌道對(duì)小車的約束力FN。θOMωW1FOxFOyvW2W2NW2tFN解：而W2t=P2sinθ=m2gsinθ，那么系統(tǒng)外力對(duì)O軸的矩為其中W1，F(xiàn)Ox，F(xiàn)Oy對(duì)O軸力矩為零。將W2沿軌道及其垂直方向分解為W2t和W2N，W2N與FN相抵消。由質(zhì)點(diǎn)系對(duì)O軸的動(dòng)量矩定理，有

因，，于是解得

假設(shè)，那么,小車的加速度沿斜坡向上。θOMωW1FOxFOyvW2W2NW2tFN勻質(zhì)圓柱的質(zhì)量是