重難專攻十概率中綜合問題

重難專攻（十）概率中的綜合問題

新高考對(duì)概率的考查由原來對(duì)生活實(shí)踐情境中某一概率模型（某一知識(shí)點(diǎn)）的單一考查逐步演變到對(duì)生活實(shí)踐情境類問題的綜合考查，近幾年高考真題由原來的中檔解答題逐步延深到綜合壓軸題，所考查的知識(shí)內(nèi)涵多以知識(shí)交匯為主，特別是2022年新高考Ⅰ卷還引入了概率統(tǒng)計(jì)中的證明做為創(chuàng)新題型呈現(xiàn)，這樣不但打破了原來的備考思維模式，而且新的考法對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求更高，下面從三類熱點(diǎn)問題引導(dǎo)學(xué)生探究概率中綜合問題的破解規(guī)律.概率與函數(shù)的交匯問題【例1】

甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽（沒有平局），采用“五局三勝”制.已知在每局比賽中，甲獲勝的概率為p，0＜p＜1.（1）設(shè)甲以3∶1獲勝的概率為f（p），求f（p）的最大值；

（2）記（1）中f（p）取得最大值時(shí)的p為p0，以p0作為p的值，用X表示甲、乙兩人比賽的局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值E（X）.

所以X的分布列為X345P

｜解題技法｜

概率與函數(shù)的交匯問題，多以概率問題為解題主線，通過設(shè)置變量，利用隨機(jī)變量的概率、均值與方差的計(jì)算公式構(gòu)造函數(shù).求解時(shí)可借助二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性或?qū)?shù)確定最優(yōu)解.解決此類問題應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：（1）準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，利用公式搭建函數(shù)模型時(shí)，由于隨機(jī)變量的均值、方差，隨機(jī)事件概率的計(jì)算中涉及變量較多，式子較為復(fù)雜，所以準(zhǔn)確運(yùn)算化簡(jiǎn)是關(guān)鍵；（2）注意變量的范圍，一是題中給出的范圍，二是實(shí)際問題中變量自身范圍的限制.?

①在甲答對(duì)了某道題的條件下，求該題是甲自己答對(duì)的概率；②甲答了4道題，計(jì)甲答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的數(shù)學(xué)期望E（X）﹔

概率與數(shù)列的交匯問題【例2】

2022年2月6日，中國女足在落后兩球的情況下，最終以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國女足，成功奪得亞洲杯冠軍.在之前的半決賽中，中國女足通過點(diǎn)球大戰(zhàn)6比5驚險(xiǎn)戰(zhàn)勝日本女足，其中門將朱鈺兩度撲出日本隊(duì)員的點(diǎn)球，表現(xiàn)神勇.

所以X的分布列為X0123P

（2）好成績的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙、丁4名女足隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能被接住.記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知p1＝1，p2＝0.

②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn，比較p10與q10的大小.

｜解題技法｜

概率與數(shù)列問題的交匯，多以概率的求解為主線，建立關(guān)于概率的遞推關(guān)系.解決此類問題的基本步驟為：（1）精準(zhǔn)定性，即明確所求概率的“事件屬性”，這是確定概率概型的依據(jù)，也是建立遞推關(guān)系的準(zhǔn)則；（2）準(zhǔn)確建模，即通過概率的求解，建立遞推關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型問題；（3）解決模型，也就是遞推數(shù)列的求解，多通過構(gòu)造的方法轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的問題求解.求解過程應(yīng)靈活運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)，準(zhǔn)確應(yīng)用相關(guān)公式.?

（1）從游客中隨機(jī)抽取3人，記這3人的合計(jì)得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

X

3

4

5

6P

（2）從游客中隨機(jī)抽取n（n∈N*）人，記這n人的合計(jì)得分恰為n＋1分的概率為Pn，求P1＋P2＋…＋Pn；

（3）從游客中隨機(jī)抽取若干人，記這些人的合計(jì)得分恰為n分的概率為an，隨著抽取人數(shù)的無限增加，an是否趨近于某個(gè)常數(shù)？若是，求出這個(gè)常數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由.

概率中的證明問題【例3】

（2022·新高考Ⅰ卷·節(jié)選）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090

｜解題技法｜

概率中的證明問題是新高考中新增題型，解決此類問題的關(guān)鍵是理解隨機(jī)事件中互斥、對(duì)立、獨(dú)立事件的概念及相互關(guān)系，理解條件概率、全概率公式的意義及性質(zhì)，掌握隨機(jī)變量的分布列、均值、方差的計(jì)算公式，掌握二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布概率模型的特點(diǎn)及求解規(guī)律.會(huì)靈活運(yùn)用上述定義、性質(zhì)及公式進(jìn)行邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算，進(jìn)而推出要證結(jié)論成立.?1.設(shè)事件A，B，C相互獨(dú)立，證明：（1）C與AB相互獨(dú)立；證明：因?yàn)锳，B，C相互獨(dú)立，故P（AB）＝P（A）P（B），P（BC）＝P（B）P（C），P（AC）＝P（C）P（A），P（ABC）＝P（A）P（B）P（

C

）.（1）P（C（AB））＝P（CAB）＝P（C）P（A）P（B）＝P（C）P（AB），這表示C與AB相互獨(dú)立.（2）C與A∪B相互獨(dú)立.證明：（2）P（C（A∪B））＝P（CA∪CB）＝P（CA）＋P（CB）－P（CAB）＝P（C）P（A）＋P（C）P（B）－P（C）P（AB）＝P（C）P（A∪B），這表示C與A∪B相互獨(dú)立.2.若離散型隨機(jī)變量為ξ，求證：（1）E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b；證明：（1）令η＝aξ＋b（a，b為常數(shù)），設(shè)ξ的分布列為P（ξ＝xi）＝pi，i＝1，2，3，…，n，∴P（η＝axi＋b）＝P（ξ＝xi），∴η的分布列為ηax1＋bax2＋b…axn＋bPp1p2…pn∴E（η）＝（ax1＋b）p1＋（ax2＋b）p2＋…＋（axn＋b）pn＝a（x1p1＋x2p2＋…＋xnpn）＋b（p1＋p2＋…＋pn）＝aE（ξ）＋b，∴E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b.（2）D（aξ＋b）＝a2D（ξ）.（a，b為常數(shù)）

?1.設(shè)0＜p＜1，隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ0p1P1－p則當(dāng)p在區(qū)間（0，1）內(nèi)遞增時(shí)

（

）A.D（ξ）減小B.D（ξ）增大C.D（ξ）先減小后增大D.D（ξ）先增大后減小

命題②：若n＝2m，隨機(jī)變量Y所有可能的取值為1，2，…，m，且P（Y＝j(luò)）＝pj＋p2m＋1－j（j＝1，2，…，m），則H（X）≤H（Y）.則以下說法正確的是

（

）A.命題①正確，命題②錯(cuò)誤B.命題①錯(cuò)誤，命題②正確C.兩個(gè)命題都錯(cuò)誤D.兩個(gè)命題都正確

3.（多選）從裝有a個(gè)紅球和b個(gè)藍(lán)球的袋中（a，b均不小于2），每次不放回地隨機(jī)摸出一球.記“第一次摸球時(shí)摸到紅球”為事件A1，“第一次摸球時(shí)摸到藍(lán)球”為事件A2，“第二次摸球時(shí)摸到紅球”為事件B1，“第二次摸球時(shí)摸到藍(lán)球”為事件B2，則下列說法正確的是

（

）B.P（B1｜A1）＋P（B2｜A1）＝1C.P（B1）＋P（B2）＝1D.P（B2｜A1）＋P（B1｜A2）＝1

A.P2＝1

5.（多選）設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列如下表：ξ123…20232024Pa1a2a3…a2023a2024則下列說法正確的是

（

）D.當(dāng)數(shù)列{an}滿足P（ξ≤k）＝k2ak（k＝1，2，…，2024）時(shí)，（n＋1）an＝（n－1）an－1（n≥2）

6.已知隨機(jī)變量X的分布列為X1234Pp1－p－p2－p3p3p2其中

p∈（0，1），隨機(jī)變量X的期望為E（X），則當(dāng)E（X）取得最小值時(shí)，p＝

?.

7.已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示：ξabP則當(dāng)a逐漸增大時(shí)，E（ξ）－D（ξ）＝

?.

答案：28.已知樣本空間為Ω，事件A，B，C均為Ω內(nèi)的隨機(jī)事件.求證：（1）P（Ω｜A）＝1；

（2）如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）；

?9.證明：當(dāng)P（AB）＞0時(shí)，P（ABC）＝P（A）P（B｜A）·P（C｜AB）.據(jù)此你能發(fā)現(xiàn)計(jì)算P（A1A2…An）的公式嗎？

10.袋中共有8個(gè)乒乓球，其中有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，這些乒乓球除顏色外完全相同.從袋中隨機(jī)取出一球，如果取出紅球，則把它放回袋中；如果取出白球，則該白球不再放回，并且另補(bǔ)一個(gè)紅球放入袋中，重復(fù)上述過程n次后，袋中紅球的個(gè)數(shù)記為Xn.（1）求隨機(jī)變量X2的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X2）；

X2345P

（2）求隨機(jī)變量Xn的數(shù)學(xué)期望E（Xn）關(guān)于n的表達(dá)式.

11.根據(jù)社會(huì)人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，若一個(gè)家庭有X個(gè)孩子，則X的概率分布列如下表所示（取一個(gè)家庭有4個(gè)及以上孩子的概率為0）.X0123Pα（1－p）2αα（1－p）

（2）為了調(diào)控未來人口結(jié)構(gòu)，需要對(duì)參數(shù)p進(jìn)行宏觀調(diào)控，研究表明p的值受到各種因素的影響（例如生育保險(xiǎn)的增加，教育、醫(yī)療福利的增加等）.①若希望P（X＝2）增大，如何調(diào)控p的值；

12.一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，…，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的，且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P（X＝i）＝pi（i＝0，1，2，3）（pi≠0）.（1）已知p0＝0.35，p1＝0.3，p2＝0.25，p3＝0.1，求E（X）；解：（1）由題知E（X）＝0×p0＋1×p1＋2×p2＋3×p3＝1.1.（2）設(shè)p（0＜p＜1）表示該生物臨近滅絕的概率，當(dāng)E（X）＞1時(shí)，證明：p是關(guān)于x的方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的最小正實(shí)根.解：（2）證明：因?yàn)閜＝p0＋p1p＋p2p2＋p3p3，所以p是方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的正實(shí)根，令f（x）＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x（x＞0），則f'（x）＝p1＋2p2x